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1、庐江县高三五校联考数学试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分）1.若11iz，则zz（）A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.若集合24xMx，3log1Nxx，则MN（）A.23xx B.0 x x C.022xxx或 D.R 3.已知数列 na的前n项和2nnSp，则1p 是 na为等比数列的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知1sincos62，则sin 26（）A.12 B.12 C.34 D.34 5.已知圆台上底面半径为 1，下底面半径为 3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积
2、之比为（）A.136 B.433 C.1312 D.43 6.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）根据一般标准，高三男生的体重超过 65kg 属于偏胖，低于 55kg 属于偏瘦已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为 0.05，0.04，0.02，0.01，第二小组的频数为 400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（）A.1000，0.50 B.800，0.50，C.800，0.60 D.1000，0.60 7.已知点1F，2F分别是椭圆为C：222210 xyabab的左、右焦点，
3、过点1,0Fc作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q，若直线PQ与双曲线22143xy的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（）A.31 B.33 C.32 D.53 8.设函数 f x的定义域为R，1f x为奇函数，2f x为偶函数，当 1,2x时，2f xaxb.若 036ff，则92f（）A.94 B.32 C.74 D.52 二、多选题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分，部分答对得 2 分）9.已知函数 2sin0,2fxx，其图像相邻对称中心间的距离为3，直线12x 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A.函数 f x的最小正周期为
4、43 B.函数 f x在区间,6 4 上单调递增 C.点5,012是函数 f x图像的一个对称中心 D.将函数 f x图像上所有点横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移4个单位长度，可得到正弦函数 sing xx的图像 10.已知数列 na的首项为 4，且满足*1210nnnananN，则（）A.nan为等比数列 B.na为递增数列 C.na的前n项和11 24nnSn D.12nna的前n项和22nnnT 11.在正方体1111ABCDABC D中，M，N，P分别是面1AB，面11B D，面1DA的中心，则下列结论正确的是（）A.1NPDC B.MN平面A
5、CP C.1DC 平面MNP D.PM与1BC所成的角是60 12.已 知 函 数 yf x在R上 可 导，且 01f，其 导 函 数 fx满 足 10 xfxf x，对于函数 exfxg x，下列结论正确的是（）A.函数 g x在,1上为减函数 B.1x 是函数 g x的极小值点 C.函数 g x必有 2 个零点 D.22ee f ee f 三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）13.二项式6111xx展开式中3x的系数为_.14.已知ABC是边长为 1 的等边三角形，设向量a，b满足ABa，ACab，则3ab_.15.已知F为双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点，
6、A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若C的离心率为 5，则AB的斜率为_.16.已知关于x的不等式210 xxkee有且仅有三个整数解，则实数k的取值范围是_.四、解答题（本大题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，其余均为 12 分，共 70 分）17.在等比数列 na中，公比1q，等差数列 nb满足113ba，42ba，133ba.（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）记 1nnnncba，求数列 nc的前2n项和2nS.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2coscos0acBbC.（1）求B；（2）若3a，点D在AC边上且BDAC，15 31
7、4BD，求C.19.为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进入实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过 30 分钟，如果某人 30 分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立.（1）求实验能被完成的概率；（2）根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望.20.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G是D
8、F的中点.（1）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小；（2）当3AB，2AD，求二面角EAGC的大小.21.已知椭圆C：222210 xyabab的四个顶点A，B，C，D所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线28yx与x轴的交点.（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于M，N两点，若MDND，且3,0D，求MND面积的最大值.22.已知a为实数，函数 2ln4f xaxxx.（1）若3x 是函数 f x的一个极值点，求实数a的值.（2）设 2g xax，若01,xee，使得 00f xg x成立，求实数a的取值范围.参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分
9、）1.【答案】D【解析】11iz，111zii ，1zi，2zz，故选 D.2.【答案】B【解析】2Mx x，03Nxx，故0MNx x，故选 B.3.【答案】C【解析】若1p ，21nnS，数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故1p 是 na为等比数列的充分条件，若数列 na为等比数列，当1n 时，112aSp，当2n时，111222nnnnnnaSSpp，则21222aap，解得1p .故1p 是 na为等比数列的必要条件.4.【答案】B【解析】311sincossincossin62262，21sin 2sin 2cos21 2sin662662，故选 B.5.【答案】D【
10、解析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为0R，球与圆台的两个底面和侧面均相切，1 34lrR ，201 33R ，圆台的侧面积与球的表面积之比为201 3444433rRlSSR侧表，故选 D.6.【答案】D【解析】第二小组的频率为 0.40，所以该校高三年级的男生总数为40010000.40（人）；体重正常的频率为0.400.200.60.7.【答案】C【解析】将点11,0Pc yy代入C：222210 xyabab.得21bya，2,bPca，过点2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q，22PFQF.设2,aQyc，得2212byaccc，解得2ya，2,2a
11、Qac，直线PQ与双曲线22143xy的一条渐近线平行，22232baaacc，即222343baacac，整理，得3223230eee，32e.8.【答案】D【解析】1f x为奇函数，f x关于1,0中心对称，10f.因2f x为偶函数，故 f x关于2x 轴对称，周期为 4.02ff，31ff.即 126ff，26f.046abab，22ab.故913952222242fff .故选 D.二、多选题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分，部分答对得 2 分）9.【答案】B，C【解析】已知函数 2sin0,2fxx，其图像相邻对称中心间的距离为3，故最小正周期23T，3，直线12x 是其中
12、一条对称轴，有3122k，34k，Zk，由2，4，可以求得 2sin 34fxx.最小正周期23T，选项 A 错误；,6 4x 时，3,44 2x 是正弦曲线的单调递增区间，故选项 B 正确；由于5012f，故点5,012是函数 f x图像的一个对称中心，选项 C 正确；将函数 f x图像上所有点横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移4个单位长度，可得到 sincos2g xxx，选项 D 错误.故选：BC.10.【答案】A，B，D【解析】对于 A：因为1121021nnnnaananann，所以nan为等比数列，2q，故 A 正确.对于 B：由于数列nan
13、是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以114 22nnnan，所以12nnan，则2111 22212nnnnnanann，故数列 na单调递增，故 B 正确；对于 C：由于12nnan，故2311 2222nnSn，34221 2222nnSn，-得：23122222nnnSn，整理21 24nnSn，故C 错误；对于 D：由于12nnan，所以12nnan，所以，2112322nn nnnTn ，故 D 正确.11.【答案】A，B，D【解析】连接11AC，1A D，则NP是11AC D的中位线，1NPDC，故选项 A 正确；连接11B D，1B A，则1MNAD，MN平面1ACD，即
14、MN平面ACP，故选项 B 正确；连接11B D，1B A，1AD，则平面MNP即为平面11B AD，显然1DC不垂直平面11B AD，故选项 C 错误；PMBD，1DBC即为PM与1BC所成的角，160DBC，故选项 D 正确.故选 ABD.12.【答案】A，B，D【解析】由题意得：xfxf xgxe；由 10fxfxx知：当1x时，0fxf x，即 0gx；当1x 时，0fxf x，即 0g x，g x在,1上单调递减，在1,上单调递增，A 正确；x 是 g x的极小值点，B 正确；g x在1,上单调递增，2gg e，即 22eff eee，22ee f ee f，D 正确；00010fg
15、e ，100gg，若 f x在,0或在1,上无零点，则 g x无两个零点，C 错误.故选 ABD.三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）13.【答案】5【解析】666111111xxxxx，展开式中3x的系数为3466CC5.14.【答案】7【解 析】法 一：BCACABabab，则1BCb，1a，而1ACab，两边平方，可得21a b，239617aba b ，所以37ab.故答案为：7.法二：因为222223224442 17abaabABACABAB ACAC，所以37ab.故答案为：7.15.【答案】4【解析】设焦距为2c，则,0F c，2,bB ca，,0Aa，因为C的
16、离心率为 5，所以5ca，AB的斜率为22bbakcaa ca ，又因为222bcacaa caa caa，且5ca，所以254bcaaaka caaa .故答案为：4.16.【答案】21,3ee【解析】令 21xfxkexe，则 xfxexk，当xk时，0fx，此时 f x在,k单调递减；当xk时，0fx，此时 f x在,k 单调递增；当xk时，f x有最小值为2kee，显然210kxkee有解，则20kee，则2k，此时 2220fk e，故2x 是原不等式的整数解.当 10f时，即20kee时，2ke，此时 42424330fk eee ee，故此时最多有两个整数解；当 10f时，即20
17、kee时，ke，此时 323222322210fk eee eeeee，故1,2,3x 是原不等式的整数解，则 242010430fkefk ee ，解得22113keke，故213eke.综上所述，实数k的取值范围是21,3ee.四、解答题（本大题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，其余均为 12 分，共 70 分）17.【答案】见解析；【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为等比数列 na的公比为1q q，113ba，42ba，133ba，所以11211312bda qbda q，则23333 123dqdq，解得23dq或01dq（舍），所以数列 na的通项公式为：13 33nnn
18、a；数列 nb的通项公式为32121nbnn；（2）由（1）可得 1213nnncn，所以数列 nc的前2n项和 21223223571411413333nnnnSnn 221213 1 3333335794141221 3222nnnnnnn .18.【答案】见解析【解析】（1）由正弦定理得：2sinsincossincos2sincossincossincosACBBCABCBBC 2sincossin2sincossin0ABBCABA 0,A，sin0A，2cos10B，即1cos2B 0,B，23B（2）由余弦定理得：222239bacaccc BDAC11sin22ABCSacBb
19、 BD 把3a，23B，15 314BD 带入得：75bc 227395ccc，解得：5c.19.【答案】见解析【解析】（1）记实验能被完成为事件A，丙丁乙甲顺利完成实验分别为事件B、C、D、E，则 34P B，25P C，23P D，12P E，并且每人能否完成实验相互独立.则实验不能被完成为事件A的概率为 122311111235440P AP BP CP DP E ，实验能被完成的概率为 13914040P A .（2）设按照丙丁乙甲的顺序参加实验的人数为随机变量X，X所有可能的取值为 1，2，3，4，314P XP B，321214510P XP BCP BP C，3221311453
20、10P XP BCDP BP CP D ，4P XP BCDEP BCDE P BP CP DP EP BP CP DP E 3221111114532220 ，则X的分布列为 X 1 2 3 4 P 34 110 110 120 X的数学期望为 31112912341.45410102020E X .20.【答案】（1）30CBP.（2）60.【解析】（1）因为APBE，ABBE，,AB AP 平面ABP，ABAPA，所以BE 平面ABP，又BP 平面ABP，所以BEBP，又120EBC，因此30CBP.（2）以B为坐标原点，分别以BE，BP，B所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直
21、角坐标系.由题意得0,0,3A，2,0,0E，1,3,3G，1,3,0C，故2,0,3AE，1,3,0AG，2,0,3CG，设111,mx y z是平面AEG的一个法向量.由00m AEm AG可得1111230,30,xzxy 取12z，可得平面AEG的一个法向量3,3,2m.设222,nxy z是平面ACG的一个法向量.由00n AGn CG可得222230,230,xyxz 取22z ，可得平面ACG的一个法向量3,3,2n.所以1cos2m nmnmn，.因此所求的角为 60.21.【答案】略【解析】（）由28yx，令0y，得2 2x ，则2 2c，所以228ab 又由题意，得1462
22、a b，即3ab 由解得3a，1b，故椭圆C的方程2219xy.（）由题意可知直线MN斜率不为 0，不妨设直线MN的方程为xkym，11,M x y，22,N xy.由2219xkymxy消去x得2229290kykmym，则12229kmyyk，212299my yk.因为MDND，所以0DM DN 由113,DMxy，223,DNxy 得1212330 xxy y 将11xkym，22xkym代入上式，得 2212121330ky yk myym将代入上式，解得125m 或3m（舍）.所以125m（此时直线MN经过定点12,05E，与椭圆有两个交点），故221212122225914411
23、3942255259MNDkSDE yyyyy yk 设219tk，则109t，则29144525MNDStt，所以当2510,2889t时，MNDS取得最大值38.22.【答案】（1）6a （2）实数a的取值范围为1,【解析】（1）函数 f x的定义域为0,，22424axxafxxxx.3x 是函数 f x的一个极值点，30f，解得6a .6a .（2）由 00f xg x，得20000ln2a xxxx.记 ln0F xxx x，则 10 xFxxx，当01x时，0Fx，则 F x在0,1上单调递减；当1x 时，0Fx，则 F x在1,上单调递增.110F xF，200002lnxxaxx.记 22lnxxG xxx，1,xee，2222ln2112ln2lnlnxxxxxxxxGxxxxx.1,xee时，22ln2 1 ln0 xx，2ln20 xx.当1,1xe时，0G x，则 G x在1,1e上单调递减；当1,xe时，0G x，则 G x在1,e上单调递增.min11G xG，min1aG x.故实数a的取值范围为1,