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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年北京市第八中学高二上学期期末练习数学试题 一、单选题 1已知直线1:10laxy，2:(2)10laxay 若12ll，则实数a（）A1或1 B0或1 C1或2 D3或2【答案】C【解析】利用两条直线斜率之积为1求解.【详解】若12ll，则 2120aa，解得2a 或1a.故选：C.【点睛】若直线1:l1110A xB yC和直线2222:0lA xB yC，当直线12ll时有，12120A AB B.2在832xx的展开式中，常数项为（）A-112 B112 C-1120 D1120【答案】B【分析】求出832xx的通项公式，令 8403r，
2、求得 2r,即可得展开式的常数项.【详解】二项式 832xx 的展开式的通项公式为 88 433188C(2)(2)CrrrrrrrrTxxx 令 8403r,求得 2r,可得展开式的常数项为 284C112.故选:B.3已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52，则C的渐近线方程为 A14yx B13yx C12yx Dyx 【答案】C【详解】22512cbeaa，故2214ba，即12ba，故渐近线方程为12byxxa .【解析】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则12ADBCBD（）第 2
3、 页 共 19 页 AAD BFA CAF DEF【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.【详解】因为BCBDDC，1122BCBDDCDF，所以12ADBCBDADDFAF 故选：C 5下列利用方向向量法向量判断线面位置关系的结论中，正确的是（）A两条不重合直线12,l l的方向向量分别是2,3,1,2,3,1ab，则12ll B直线l的方向向量为1,1,2a，平面的法向量为6,4,1u，则l C两个不同的平面,的法向量分别是2,2,1,3,4,2uv，则 D直线l的方向向量0,3,0a，平面的法向量是0,5,0u，则l【答案】C【分析】根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项
4、一一判断即可.【详解】对于 A：因为2,3,1,2,3,1ab，所以/ab不成立，所以12ll不成立.故 A 错误；对于 B：因为1,1,2a，6,4,1u,所以 1 614210a u ，所以au，所以/l或l.故 B 错误；对于 C：因为2,2,1,3,4,2uv，,所以 232 4120u v ，所以vu，所以.故 C 正确；第 3 页 共 19 页 对于 D：因为0,3,0a，0,5,0u,所以35au，所以l.故 D 错误；故选：C 6“1a”是“直线10axy 的倾斜角大于4”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由直线
5、10axy 的倾斜角大于4得到不等式，求出a的范围，从而利用充分条件，必要条件的定义得解【详解】设直线的倾斜角为，直线10axy 可化为1yax，所以tana 由直线的倾斜角大于4可得：tan1或tan0，即：1a 或0a，所以1a 1a 或0a，但1a 或0a 1a 故选 A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题 7当动点P在正方体1111ABCDABC D的体对角线1AC上运动时，异面直线BP与1AD所成角的取值范围是 A,6 4 B,6 3 C,4 3 D,3 2 【答案】B【解析】以D为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为
6、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 BP 与 AD1所成角的取值范围【详解】以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴正向，建立空间直角坐标系Dxyz，则11,0,1AD ，11,1,1CA，设1CPCA，则 0,1，,CP，1,BP，故1cos,AD BP 11AD BPADBP 212321，第 4 页 共 19 页 对于函数 2321h x 212333，0,1有：min1233hxh，max12hxh，故113cos,22AD BP，又1,0,AD BP，故1,63AD BP.故选B.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考
7、查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 8过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,A B两点,点O是原点,若3AF;则AOB的面积为（）A22 B2 C3 22 D2 2【答案】C【详解】试题分析：抛物线24yx焦点为1,0F，准线方程为=1x，由3AF 得1(2,2 2),(,2)2AB或1(2,2 2),(,2)2AB 所以12AOBABSOFyy13 212 2222，故答案为 C【解析】1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系 9已知M：222220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动点，过点P作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当|PMAB最小时，直线AB
8、的方程为（）A210 xy B210 xy C210 xy D210 xy 【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,A P B M共圆，且ABMP，根据 44PAMPMABSPA可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程【详解】圆的方程可化为22114xy，点 M到直线l的距离为222 1 1 25221d ，所以直线 l与圆相离 依圆的知识可知，四点,A P B M四点共圆，且ABMP，所以第 5 页 共 19 页 14442PAMPMABSPAAMPA，而 24PAMP，当直线MPl时，min5MP，m
9、in1PA，此时PMAB最小 1:112MP yx 即 1122yx，由1122220yxxy解得，10 xy 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y，即 2210 xyy，两圆的方程相减可得：210 xy，即为直线AB的方程 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题 10点P在直线:(0)l yxp p上，若存在过P的直线交抛物线22(0)ypx p于,A B两点，且2 PAAB，则称点P为“M点”，那么下列结论中正确的是（）A直线l上的所有点都是“M点”B直线l上仅有有限个点是“M 点
10、”C直线l上的所有点都不是“M 点”D直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“M点”【答案】A【分析】首先判断直线l与抛物线的位置关系，确定,A B P三点的位置关系，利用共线向量表示出,A B两点的坐标，再根据两点都在抛物线上可联立方程组根据方程是否有根确定P点是否存在，即可得出结果.【详解】由题意可知，将直线:l yxp和抛物线22ypx联立消去x整理得，22220ypyp；此时该方程2224840ppp 恒成立，即0 x恒有解，也就是对于直线:l yxp上任意一点P，过P的直线与抛物线22ypx交于,A B两点，都有2 PAAB，所以 A 正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题以新定
11、义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，关键是将点在直线和抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题，注意等价转化方能找到题眼求解.二、填空题 11过点(3，1)作圆22(2)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为_.【答案】2 2【详解】最短弦为过点3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，2232122d，所以最短弦长为 222222 222 2.rd【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力.圆的半径、弦心距、第 7 页 共 19 页 半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求
12、弦心距的长度.12 若7270127(12)xaa xa xa x，则1234567aaaaaaa_.（用数字作答）【答案】2【分析】令0 x，可得01a，令1x，可得012345671aaaaaaaa，即可得答案.【详解】解：令0 x，则有01a，令1x，则有012345671aaaaaaaa，所以1234567011 12aaaaaaaa .故答案为：2 13用1,2,3三个数字组成一个四位数，要求每个数字至少出现一次，共可组成个不同的四位数_（用数字作答）.【答案】36【分析】根据题意分成三种情况，分别根据定序问题查出各类所包含的情况数，进而求出所有组成的不同四位数.【详解】已知用1,2
13、,3三个数字组成一个四位数且每个数字至少出现一次，所以包含一下三种形式：两个 1，一个 2，一个 3；一个 1，两个 2，一个 3；一个 1，一个 2，两个 3.其余情况可以组成4422A432 1122 1A 种情况.同理情况均可以组成12种情况.因此一共可以组成36个不同数字.故答案为：36 14已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B 两点若1FAAB，120FB F B，则 C 的离心率为_【答案】2.【分析】通过向量关系得到1F AAB和1OAF A，得到1AOBAOF，结合双曲线的渐近线可得21
14、,BOFAOF 02160,BOFAOFBOA 从而由0tan603ba可求离心率.第 8 页 共 19 页【详解】如图，由1,F AAB得1.F AAB又12,OFOF得 OA 是三角形12FF B的中位线，即22/,2.BFOA BFOA由120FB F B，得121,F BF B OAF A则1OBOF有1AOBAOF，又 OA 与 OB 都是渐近线，得21,BOFAOF 又21BOFAOBAOF，得02160,BOFAOFBOA 又渐近线 OB 的斜率为0tan603ba，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑
15、推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题 15将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 01 三角数表从上往下数，第 1次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 n 次全行的数都为 1 的是第_行；第 61 行中 1 的个数是_ 【答案】21n;32【详解】试题分析：由已知中的数据 全行都为 1 的是第21n行；662163n ，故第 63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共有 32第 9 页 共 19 页 个 1，第 61 行共有 32 个 1故答案为2132n，.【解析】归纳推理 三、解答题 16如图，在
16、三棱锥PABC中，PA 底面,90ABCBAC.点,D E N分别为棱,PA PC BC的中点，M是线段AD的中点，4,2PAACAB.(1)求证：MN平面BDE；(2)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值；(3)求点 A到平面EMN的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2121(3)2 2121 【分析】（1）由线线平行证 MF平面BDE、NF平面BDE，即可依次证平面 MNF平面BDE、MN平面BDE；（2）以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，由向量法求线面角；（3）由向量法求MA与平面EMN的夹角的正弦值，则点 A 到平面EMN的距离为sinMA.【详解】（1）证明：取 A
17、B中点 F，连接 MF、NF，M是线段AD的中点，MFBD，BD平面BDE，MF 平面BDE，MF平面BDE.点,D E N分别为棱,PA PC BC的中点，NFACDE，DE平面BDE，NF 平面BDE，NF平面BDE.MFNFF，MFNF、平面 MNF，平面 MNF平面BDE，MN平面 MNF，MN平面BDE.第 10 页 共 19 页（2）PA 底面,90ABCBAC，以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则有0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,1,1,2,0,0,2,2ABCMNE，1,2,1,0,2,1,0,4,0MNMEAC，设平面EMN的法向量为,nx y z
18、，则2020n MNxyzn MEyz，令1y，则有4,1,2n，设AC与平面EMN所成角为，则直线AC与平面EMN的夹角的正弦值为421sincos,21214n ACn ACn AC.（3）由（2）得，0,0,1MA，设MA与平面EMN所成角为，则点 A到平面EMN的距离为22 21sincos,12121n MAMAMAn MAn.17学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)（1）求在 1 次游戏
19、中,摸出 3 个白球的概率;获奖的概率;（2）求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列.【答案】（I）（i）1.5；（ii）7.10（II）X 的分布列见解析，数学期望57【详解】解：(1)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3)2325CC1223CC15.设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3，又 第 11 页 共 19 页 P(A2)22322253C CC C113225C CC1223CC12，且 A2，A3互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3)1215710.(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X0)711029
20、100，P(X1)C2171071102150，P(X2)710249100，所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 9100 2150 49100 X 的数学期望 E(X)091001215024910075.18已知椭圆:C2231mxmy(0)m 的长轴长为26，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程和离心率.(2)设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧.若BABP，求四边形OPAB面积的最小值.【答案】(1)22162xy,63cea；(2)3 3 【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数m的值，从而求出椭圆方程及其离心
21、率；（2）根据题意，易知BDAP，通过动点P的坐标求出点B的坐标，将四边形OPAB分割成三角形OPA和三角形OAB进行运算即可.【详解】（1）由题意知椭圆:C 221113xymm，第 12 页 共 19 页 所以21am，213bm，故1222 6am，解得16m，所以椭圆C的方程为22162xy.因为222cab，所以离心率63cea.（2）设线段AP的中点为D.因为BABP，所以BDAP.由题意知直线BD的斜率存在，设点P的坐标为000,0 x yy，则点D的坐标为003,22xy，直线AP的斜率003APykx，所以直线BD的斜率0031BDAPxkky，故直线BD的方程为000033
22、22yxxyxy.令0 x，得2200092xyyy，故2200090,2xyBy.由2200162xy，得220063xy，化简得200230,2yBy.因此，OAPOABOPABSSS四边形 2000231133222yyy 200023322yyy 0033222yy 00332 222yy 3 3 第 13 页 共 19 页 当且仅当00322yy时，即032,22y 时等号成立 故四边形OPAB面积的最小值为3 3 19如图，在三棱柱PADQBC中，侧面ABCD为正方形，4AB，6,PAPDABAP DCDP，点M在线段PB上，/PD平面MAC.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二
23、面角BPDA的大小；(3)在线段AC上是否存在点N，使得直线MN与平面BDP所成的角为30，若存在，求出ANAC的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)60；(3)存在，38ANAC或78ANAC.【分析】（1）设ABCDO，根据线面平行的性质可得/PDOM，进而即得；（2）取AD的中点G，根据线面垂直的判定定理可得PG 平面ABCD，然后利用坐标法利用面面角的向量求法即得；（3）设ANAC，利用线面角的向量求法结合条件即得.【详解】（1）设ACBDO，连接OM，因为侧面ABCD为正方形，所以O为BD的中点，因为/PD平面MAC，PD 平面PBD，平面PBD平面MACOM，所
24、以/PDOM，又O为BD的中点，第 14 页 共 19 页 所以M为PB的中点；（2）因为/,ABDC DCDP，所以ABDP，又,ABAP APDPP AP平面ADP，DP 平面ADP，所以AB平面ADP，取AD的中点G，则PGAD，由AB平面ADP，PG 平面ADP，可得ABPG，又,ABADA AB平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PG 平面ABCD，如图以G为原点建立空间直角坐标系，则22,0,0,2,0,0,0,0,2,2,4,0,2,4,0,1,2,2DAPCBM，所以4,4,0,2,0,2BDPD，设平面PBD的法向量为,mx y z，则440220m BDxym PDxz，
25、令1x，则1,1,2m，又平面ADP的法向量可取0,1,0n，所以11cos,1 22m nm nmn，所以二面角BPDA的大小为60；（3）假设在线段AC上存在点N，使得直线MN与平面BDP所成的角为30，设ANAC，因为2,0,0,2,4,0,4,4,0ACAC，所以4,4,0AN，42,4,0N，又21,2,2M，所以241,42,2MN，又平面PBD的一个法向量为1,1,2m，第 15 页 共 19 页 所以222241 42221cos,22241422m MNm MNmMN ，整理可得26440210，解得38或78，所以在线段AC上存在点N，使得直线MN与平面BDP所成的角为30
26、，ANAC的值为38或78.20已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2 2,离心率为33(1)求椭圆C的方程;(2)一条动直线l与椭圆C交于不同两点,M N O为坐标原点,OMN的面积为62,求证:22OMON为定值.【答案】(1)22132xy(2)5 【分析】(1)设出椭圆方程,根据短轴长和离心率,求出,a b c,写出方程即可;(2)先考虑斜率不存在的情况,设直线方程,求出,M N两点坐标,列出关于OMN的面积,进而求出22OMON的值,再考虑斜率存在的情况,设出直线方程,判别式大于零,韦达定理,求出点O到直线的距离,进而求出OMN的面积使其为62,可得直线中关于参数的等式,再
27、列出22OMON的式子,进行化简求值即可.【详解】（1）解:由题知,设椭圆方程为22221xyab,0ab,因为短轴长为2 2,所以2b,因为离心率为33,所以22222ccabaaa22332aa,解得:3,1ac,故椭圆方程为:22132xy;（2）由题知当直线l斜率不存在时,第 16 页 共 19 页 不妨设:l xn,33n,将x n代入椭圆方程22132xy,可得2223ny ,33n,不妨假设22,23nM n,22,23nN n,则12OMNSMN n=2223nn=62,化简可得:232n,62n ,此时66,1,122MN,故 2222226611522OMON ,当直线l斜
28、率存在时,不妨设:l ykxm,11,M x y,22,N xy,联立22132ykxmxy,即222236360kxkmxm,22264 23360kmkm,解得:2223km,由韦达定理得:12221226233623kmxxkmx xk,因为0,0O,则点O到直线ykxm的距离为:21mk,12221214kxxxxMN 第 17 页 共 19 页 222224 36612323mkmkkk 2222221364 362323kk mmkk 2222124 3223kkmk,所以222221624 32212321OMNmkkmkkS,化简可得:222322kmm,满足题意,所以2121
29、22336,2kmxxxxmm,故有121222yyk xxmm,1212yykxmkxm 221212k x xkm xxm 22223632mkkkmmmm 221m,则1222122222OOyMxxyN 221212121222xxxxyyyy 22222336222212kmmmmm 222222936442kmmmmm 22296kmm 225mm 5,综上:22OMON为定值 5.【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用中的定值问题,关于定值的问题思路有:(1)先根据题意考虑特殊情况,斜率不存在,或斜率为零;(2)根据特殊情况求出定值;(3)设普通的直线方程,联立方程组
30、;第 18 页 共 19 页(4)判别式大于零,韦达定理;(5)根据题意建立关于1212,xx x x的等式;(6)写出需要求的式子,用1212,xx x x代换,化简即可.21 在平面直角坐标系中，O为坐标原点 对任意的点(,)P x y，定义OPxy 任取点11()A xy，22()B xy，记12()A xy，21()B xy，若此时2222OAOBOAOB成立，则称点A，B相关（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；(2,1)A，(3,2)B；(4,3)C，(2,4)D（2）给定*nN，3n，点集(,),nx ynxnnyn x yZ （i）求集合n中与点(1,1)A相关的点
31、的个数；（ii）若nS ，且对于任意的A，BS，点A，B相关，求S中元素个数的最大值【答案】（1）相关；不相关.（2）（i）245n 个（ii）81n.【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.（2）（i）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合n中与点(1,1)A相关的点的个数；（ii）由（1）可知相关点满足12120 xxyy，利用分类讨论证明 11221xyxy，即可求得S中元素个数的最大值【详解】若点11,A x y，22,B xy相关，则12,A x y，21,B xy，而
32、OPxy，不妨设11220,0,0,0 xyxy，则由定义2222OAOBOAOB可知222211221221xyxyxyxy，化简变形可得12120 xxyy，（1）对于(2,1)A，(3,2)B；对应坐标取绝对值，代入可知(23)(12)0成立，因此相关；对应坐标取绝对值，代入可知(42)(34)0，因此不相关.（2）（i）在第一象限内，(1)(1)0 xy，可知1xn且1yn，有2n个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有2n个点.在x轴正半轴上，点1,0满足条件；在x轴负半轴上，点1,0满足条件；第 19 页 共 19 页 在y轴正半轴上，点0,1满足条件；在y轴负半轴上，
33、点0,1满足条件；原点0,0满足条件；因此集合n中共有245n 个点与点(1,1)A相关.（ii）若两个不同的点11,A x y，22,B xy相关，其中1x，20 x，1y，20y，可知12120 xxyy.下面证明 11221xyxy.若12xx，则12yy，成立；若12xx，则12yy，若12xx，则12yy，亦成立.由于 1122()(00)2xyxynnn，因此最多有21n个点两两相关，其中最多有21n个点在第一象限；最少有 1 个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.因此S中元素个数的最大值为4(21)2 1 181nn .【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.