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1、数学椭圆数学椭圆(tuyun)及其标准方程北师大及其标准方程北师大选修选修第一页，共22页。在生活中，还有另外一种曲线在生活中，还有另外一种曲线(qxin)比较常见，例如比较常见，例如运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线引引 言言第1页/共21页第二页，共22页。数数 学学 实实 验验通过通过(tnggu)图片已经知道了椭圆的图片已经知道了椭圆的形状，能否动手画一个椭圆呢？形状，能否动手画一个椭圆呢？先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离(jl)等于定长的点的轨迹就是圆等于定长的点的轨迹就是圆.如果把这一个定点如果把这一个定点(dn
2、 din)分裂成分裂成两个定点两个定点(dn din)，会画出什么图，会画出什么图形呢？形呢？第2页/共21页第三页，共22页。数数 学学 实实 验验1.取一条定长的细绳；取一条定长的细绳；2.把它的两端把它的两端(lin dun)固定在图纸上的固定在图纸上的两点两点F1、F2；3.用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢）把细绳拉紧，在图纸上慢慢慢移动，看看能画出什么图形？移动，看看能画出什么图形？请同学们按照下列请同学们按照下列(xili)操作，动手画一操作，动手画一画：画：第3页/共21页第四页，共22页。根据刚才的实验请同学们回答根据刚才的实验请同学们回答(hud)下下面面几个问
3、题：几个问题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有(mi yu)？说明了什么？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？大小有怎样的关系？数数 学学 观观 察察第4页/共21页第五页，共22页。思考：思考：结合实验，请同学结合实验，请同学(tng xu)们们思考：椭圆是怎样定义的？思考：椭圆是怎样定义的？数数 学学 归归 纳纳椭圆定义：椭圆定义：我们我们(w men)把平面内与
4、两个定点把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的）的点的轨迹叫椭圆点的轨迹叫椭圆.两个定点两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距两焦点之间的距离叫做焦距.第5页/共21页第六页，共22页。数数 学学 推推 理理根据根据(gnj)(gnj)椭圆的定义如何求椭圆的方椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？程呢？先来回忆：求曲线的方程的基本先来回忆：求曲线的方程的基本(jbn)(jbn)步骤步骤（1）建系设点）建系设点;（2）写出点集；）写出点集；（3）列出方程）列出方程(fngchng)；（4）化简方程；）化简方程；（5）
5、检验）检验第6页/共21页第七页，共22页。第一步：第一步：如何建立如何建立(jinl)(jinl)适当的坐标适当的坐标系呢？系呢？数数 学学 推推 理理想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的两条相互垂直(chuzh)的对称轴为坐的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？OxyMF1F2方案方案(fng n)一一F1F2方案二方案二OxyM第7页/共21页第八页，共22页。设设M(x,y)是椭圆是椭圆(tuyun)上任意一点，上任意一点，椭圆椭圆(tuyun)的两个焦点分的两个焦点分 别为别为F1和和F
6、2，椭圆，椭圆(tuyun)的焦距为的焦距为2c(c0)，M与与F1和和F2 的距离的和等于的距离的和等于2a (2a2c0)请同学们自己完成请同学们自己完成(wn chng)剩剩下的步骤，求出椭圆的方程下的步骤，求出椭圆的方程.数数 学学 推推 理理第8页/共21页第九页，共22页。解：以焦点解：以焦点F1、F2的所在直线为的所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的的垂直平分线为垂直平分线为y轴，建立平面轴，建立平面(pngmin)直角坐标直角坐标系系(如图如图).设设M(x,y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和
7、等于正常数常数2a(2a2c)，则，则F1、F2的坐标的坐标(zubio)分别是分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y由椭圆由椭圆(tuyun)的的定义得：定义得：因为因为方案一方案一数数 学学 推推 理理第9页/共21页第十页，共22页。整理整理(zhngl)得得两边两边(lingbin)再平方，得再平方，得移项移项(y xin)，再平方，再平方数数 学学 推推 理理第10页/共21页第十一页，共22页。数数 学学 推推 理理第11页/共21页第十二页，共22页。它表示它表示(biosh)焦点在焦点在y轴上轴上的椭圆的椭圆它表示它表示(biosh)焦点在焦点在x轴上轴上的椭圆的椭圆1
8、oFyx2FM12yoFFMx数数 学学 归归 纳纳椭圆(tuyun)的标准方程有哪些特征呢？第12页/共21页第十三页，共22页。椭圆(tuyun)的标准方程的特征：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个）椭圆标准方程的形式：左边是两个(lin)分式分式的平方和，右边是的平方和，右边是1;（3）椭椭圆圆(tuyun)的的标标准准方方程程中中a、b、c满满足足a2=b2+c2（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上;数数 学学 归归 纳纳第13页/共21页第十四页，共22页。例例1 1 已知椭圆已知椭圆(tuyu
9、n)(tuyun)的两个焦点坐标分别是的两个焦点坐标分别是(-(-2,0),2,0),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .求它的标准方求它的标准方程程.解解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以所以(suy)(suy)设设它的标准方程为它的标准方程为由椭圆由椭圆(tuyun)的定义知的定义知例例 题题 演演 练练第14页/共21页第十五页，共22页。例例 题题 演演 练练又因为又因为(yn wi)(yn wi),所以所以因此因此,所求椭圆的标准所求椭圆的标准(biozhn)(biozhn)方方程为程为所以所以(suy)思考？能用其他方法求它的方程么思考？能用其他方法
10、求它的方程么？第15页/共21页第十六页，共22页。解法二解法二:因为椭圆因为椭圆(tuyun)(tuyun)的焦点在的焦点在x x轴上轴上,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为:联立联立,因此因此,所求椭圆的标准所求椭圆的标准(biozhn)(biozhn)方方程为程为:又又焦点焦点(jiodin)的坐标为的坐标为例例 题题 演演 练练第16页/共21页第十七页，共22页。1.已知已知F1、F2是椭圆是椭圆(tuyun)的两个焦点，的两个焦点，过过F1的直线交椭圆的直线交椭圆(tuyun)于于M、N两点，则三角形两点，则三角形MNF2的周长为的周长为 .课课 堂堂 练练 习习202.2.
11、已知椭圆的两个焦点已知椭圆的两个焦点(jiodin)(jiodin)分别是分别是F1(F1(2,0)2,0)、F2(2,0),F2(2,0),且过且过P(2,3)P(2,3)点，求椭圆的方程点，求椭圆的方程 .yoF1F2MxN第17页/共21页第十八页，共22页。图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的之间的关系关系(gun x)c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM最后回忆一下本节课的主要最后回忆一下本节课的主要(zhyo)内容内容第18页/共21页第十九页，共22页。课后作业课后作业(zuy)：1.1.在椭圆的定义中，若在椭圆的定义中，若a=ca=c能得到能得到(d(d do)do)什么图形？若什么图形？若acac能得到能得到(d do)(d do)什么图形？什么图形？2.2.查查资料，看看查查资料，看看(kn kn)(kn kn)椭圆还椭圆还有其他的定义方法么？有其他的定义方法么？第19页/共21页第二十页，共22页。第20页/共21页第二十一页，共22页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第21页/共21页第二十二页，共22页。