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1、常系数齐次线性方程(2)的通解我们已经会求，因此，为了求出常系数非齐次线性方程(1)的通解，只需再求出非齐次方程(1)的一个特解.下面介绍求常系数非齐次线性方程的通解的一、当自由项为下面两种类型的函数时,可用待定系数法求出常系数非齐次线性方程从而，得到常系数非齐次线性，两种方法。的特解方程的通解。第1页/共34页1、次多项式，是是常数。可设方程(1)的特解：其中的取值如下：当不是特征根当是特征根且为单根当是特征根且为重根是一个次多项式，其系数是待定的。第2页/共34页说明：此结论可推广到阶常系数线性方程的情形。这时，将取为特征方程含根的重复次数。第3页/共34页例1 求 的一个特解。解这是常系
2、数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：自由项即，即，不是特征根取第4页/共34页可设非齐次方程的特解待定常数代入非齐次方程，得即比较系数，得解得第5页/共34页例2 求 的通解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：自由项即，即，是特征根取齐次方程的通解：(单根)第6页/共34页可设非齐次方程的特解待定常数代入非齐次方程，得第7页/共34页即比较系数，得解得原方程的通解：第8页/共34页2、是多项式，是常数。可设方程(1)的特解：、其中,、是两个次多项式，其系数是待定的。的取值如下：当不是特征根当是特征根第9页/共34页说明：此结论可推广到阶常系数线性方程的情形。这时，将
3、取为特征方程含根的重复次数。第10页/共34页例3 求 的一个特解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：即，,不是特征根取第11页/共34页可设非齐次方程的特解代入非齐次方程，整理后，得第12页/共34页比较系数，得解得第13页/共34页第14页/共34页例4 写出 的特解解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：即，,是特征根取的形式。第15页/共34页可设非齐次方程的特解这里为待定常数。第16页/共34页问题：怎样求的一个特解？方法：求出的一个特解求出的一个特解(1)(2)则由叠加原理得：就是的特解。第17页/共34页二、当自由项不是上述两种类型的函数时,可用
4、常数变易法来求出常系数非齐次线性方程的通解。第18页/共34页二阶常系数非齐次线性方程(1)对应的齐次方程为(2)求出齐次方程(2)的通解为：设为非齐次方程(1)的解，这里是待定函数.第19页/共34页两个未知函数只需满足一个关系式(1)可规定它们再满足一个关系式为了使的表达式中不含我们令这样代入非齐次方程(1)，得(3)第20页/共34页整理后，得即(4)将(3)(4)联立，即第21页/共34页(3)(4)在系数行列式的条件下，解得，只表一个原函数第22页/共34页非齐次方程 的解为：这就是非齐次方程(1)的通解。第23页/共34页例5 求 的通解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程
5、：特征方程：齐次线性方程的通解是：设为非齐次方程的解，是待定函数.第24页/共34页则解得第25页/共34页非齐次方程的解为：这就是原方程的通解。第26页/共34页说明常数变易法求出变系数二阶非齐次线性方程上面，我们用常数变易法求出了常系数非齐次线性方程的通解。如果已知一个二阶变系数非齐次线性方程对应的齐次方程的通解，那么，也可用的通解。(参见教材 P329 例3 )第27页/共34页课堂练习：1、求微分方程的一个特解.2、求微分方程的一个特解.3、求微分方程的通解.4、求微分方程的通解.第28页/共34页5、设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为：则该方程的通解为6、微分方程的特解的形式7、已知曲线的一条积分曲线，是微分方程此曲线通过原点且在原点处的切线斜率为0，试求：曲线到轴的最大距离。为第29页/共34页作 业P3471(1)(3)(5)(6)(8)(9)(10),2(2),61(10)提示：第30页/共34页第31页/共34页课堂练习答案：第32页/共34页7：通解：第33页/共34页感谢您的观看！第34页/共34页