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1、1.求方程的通解.方程的通解为课堂练习2.求方程的通解.方程的通解为第1页/共23页四、二阶线性微分方程举例四、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例4.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.第2页/共23页据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力位移满足定解问题:第3页/共23页方
2、程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)第4页/共23页解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)第5页/共23页方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征第6页/共23页二阶常系数非齐次线性微分方程 第六节第六节一、一、二、第六章（略）第10页/共23页一、线性非齐次方程解的结构一、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 1.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得第11页/共23页是非齐
3、次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.第12页/共23页二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法第13页/共23页一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得 为 m 次多项式.(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为 m 次待定系数多项式第14页/共23页(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程
4、的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第15页/共23页例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为第16页/共23页例例2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为第17页/共23页 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为（略）3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.常系数二阶线性非齐次微分方程的特解常系数二阶线性非齐次微分方程的特解:第18页/共23页1.求方程 y a2 y ex的通解.（P365,1(2)）课堂练习3.写出方程的特解形式.2.求特解：y4y5 y|x0 1 y|x0 0.(P366,3(2)(P365,2(1)第19页/共23页第20页/共23页第21页/共23页作作 业业P358：1(2)(4);2(2).P365:1(5)(6);2(2).习题课2 第九节 第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页