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1、函数的单调性及凹凸性2023/2/31第1页，本讲稿共20页问题的提出问题的提出若若 在区间（在区间（a,b)上单调增加上单调增加若若 在区间（在区间（a,b)上单调减少上单调减少一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法2023/2/32第2页，本讲稿共20页若定理定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).证证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕证毕2023/2/33第3页，本讲稿共20页例例1.确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为2023/2/34第4页，本讲稿共20页说明说明:1)单调区间的分
2、界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,2023/2/35第5页，本讲稿共20页单调区间求法单调区间求法 问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调。定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间。分界点：导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点。单调区间求法:2023/2/36第6页，本讲稿共20页例例2.证明时,成立不等式证证:令从而因此且后面证后面证2023/2/37第7页，本讲稿共20页2023/2/39第9页，本讲稿共20页另例另例证证2023/2/310第
3、10页，本讲稿共20页二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABMN2023/2/311第11页，本讲稿共20页定义定义.设函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图形是凹凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.图形是凸凸的.2023/2/312第12页，本讲稿共20页曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定图形分析图形分析定理定理2.2.(凹凸判定法)(1)在 I 内则 在 I
4、 内图形是凹的;(2)在 I 内则 在 I 内图形是凸的.设函数在区间I 上有二阶导数2023/2/313第13页，本讲稿共20页证证:利用一阶泰勒公式可得两式相加两式相加说明(1)成立;(2)证毕2023/2/314第14页，本讲稿共20页例例3.判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,2023/2/315第15页，本讲稿共20页例例4.求曲线的拐点.解解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸
5、2023/2/316第16页，本讲稿共20页例例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸2023/2/317第17页，本讲稿共20页内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点2023/2/318第18页，本讲稿共20页思考与练习思考与练习上则或的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在2023/2/319第19页，本讲稿共20页 .2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及作业作业P151 3(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14 ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 2023/2/320第20页，本讲稿共20页