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1、应力应变状态分析第1页，本讲稿共59页第第 7 章章 应力、应变状态分析应力、应变状态分析 本章主要研究：本章主要研究：应力状态分析基本理论应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论应变状态分析基本理论 应力应变一般关系应力应变一般关系 应变能分析计算应变能分析计算第2页，本讲稿共59页第第 7 章章 应力、应变状态分析应力、应变状态分析 1 引言引言 2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 3 应力圆应力圆4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 7 各向同性材料的应力应
2、变关系各向同性材料的应力应变关系 8 复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能 9 复合材料的应力应变关系简介复合材料的应力应变关系简介第3页，本讲稿共59页1 引言引言 实例实例 应力与应变状态应力与应变状态 平面与空间应力状态平面与空间应力状态第4页，本讲稿共59页 实例实例微体微体A第5页，本讲稿共59页微体微体abcd第6页，本讲稿共59页微体微体A第7页，本讲稿共59页 应力与应变状态应力与应变状态通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态该点处的应力状态 应力状态应力状态应变状态应变状态构件内一点在各个不同方位的的应
3、变状况，称为该构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该点处的应变状态点处的应变状态研究方法研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态力与应变状态研究目的研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础第8页，本讲稿共59页 平面与空间应力状态平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且应力作用仅在微体四侧
4、面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面线均平行于微体的不受力表面平面应平面应力状态力状态平面应力状态的平面应力状态的一般形式一般形式微体各侧面均作用有应微体各侧面均作用有应力力空间应力状态空间应力状态空间应力状态一般形式空间应力状态一般形式第9页，本讲稿共59页2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析 斜截面应力分析斜截面应力分析 例题例题第10页，本讲稿共59页 斜截面应力分析斜截面应力分析问题：问题：试建立试建立 s sa a,t ta a 与与 s sx,t tx,s sy,t ty 间的关系间的关系问题问题符号规定：符号规定：方位用方位用 a a 以以 x 轴为始边、轴为
5、始边、者为正者为正 切应力切应力 t t 以企图使微体沿以企图使微体沿 旋转者为正旋转者为正方位用方位用 a a 表示；表示；应力为应力为 s sa a,t ta a斜截面：斜截面：/z 轴；轴；第11页，本讲稿共59页斜截面应力公式斜截面应力公式第12页，本讲稿共59页由于由于t tx 与与 t tx 数值相等数值相等,并利用三角函数的变换关系并利用三角函数的变换关系,得得 上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题性、非线弹性与非弹性
6、问题第13页，本讲稿共59页 例题例题例例 2-1 试计算截面试计算截面 m-m 上的应力上的应力解：解：第14页，本讲稿共59页3 应力圆应力圆 应力圆应力圆 应力圆的绘制与应用应力圆的绘制与应用 例题例题第15页，本讲稿共59页 应力圆应力圆应力圆应力圆第16页，本讲稿共59页 应力圆的绘制与应用应力圆的绘制与应用绘制应力圆绘制应力圆 圆心横坐标圆心横坐标第17页，本讲稿共59页图解法求斜截面应力图解法求斜截面应力同理可证：同理可证：第18页，本讲稿共59页点、面对应关系点、面对应关系 转向相同，转角加倍转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端互垂截面，对应同一直径两端第19页，本讲
7、稿共59页 例题例题例例 3-1 利用应力圆求截面利用应力圆求截面 m-m 上的应力上的应力解：解：第20页，本讲稿共59页4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力 主平面与主平面与主应力主应力 纯剪切应力与扭转破坏纯剪切应力与扭转破坏 例题例题第21页，本讲稿共59页 平面应力状态的极值应力平面应力状态的极值应力第22页，本讲稿共59页 主平面与主应力主平面与主应力主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主应力符号与规定主应力符号与规定相邻主平面相互垂直，构成一正六相邻主平面
8、相互垂直，构成一正六面形微体面形微体主平面微体主平面微体（按代数值排列）（按代数值排列）s s1 1s s2 2s s3 3s s i =?=?第23页，本讲稿共59页应力状态分类应力状态分类 单向应力状态：单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称二向与三向应力状态，统称复杂应力状态复杂应力状态第24页，本讲稿共59页 纯剪切应力与扭转破坏纯剪切应力与扭转破坏纯剪切状态的最大
9、应力纯剪切状态的最大应力第25页，本讲稿共59页圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析第26页，本讲稿共59页 例题例题解：解：1.解析法解析法例例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位第27页，本讲稿共59页2.图解法图解法第28页，本讲稿共59页5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 三向应力圆三向应力圆 最大应力最大应力 例题例题第29页，本讲稿共59页 三向应力圆三向应力圆与任一截面相对与任一截面相对应的点，或位于应的点，或位于应力圆上，或位应力圆上，或位于由应力圆所构于由应力圆所构成的阴影区域内成的阴影区域内第30页，本讲稿共5
10、9页 最大应力最大应力最大切应力位于与最大切应力位于与 s s1 1 及及 s s3 3 均成均成4545 的截面的截面第31页，本讲稿共59页 例题例题例例 5-1 已知已知 s sx=80 MPa，t tx=35 MPa，s sy=20 MPa，s sz=-40 MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力求主应力、最大正应力与最大切应力解：解：画三向应力圆画三向应力圆第32页，本讲稿共59页6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析 任意方位的应变任意方位的应变 应变圆应变圆 最大应变与主应变最大应变与主应变 例题例题第33页，本讲稿共59页 任意方位的应变任意方位的应变平面应变状态特点平
11、面应变状态特点微体内各点的位移均平行于某一平面微体内各点的位移均平行于某一平面第34页，本讲稿共59页平面应变状态任意方位应变平面应变状态任意方位应变问题：问题：已知应变已知应变 e ex,e ey与与 g gxy，求求 a a 方位的应变方位的应变 e ea a 与与 g ga a 使左下直角增大之使左下直角增大之 g g 为正为正规定：规定：方位角方位角 a 以以 x 轴为始边轴为始边，为正为正第35页，本讲稿共59页分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析方法要点：叠加法，切线代圆弧分析分析第36页，本讲稿共59页第37页，本讲稿共59页第38页，本讲稿共59页综合综合第39页，本讲稿共59
12、页 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关结论结论 任一方位应变：任一方位应变：垂直方位切应变：垂直方位切应变：互垂方位的切应变数互垂方位的切应变数值相等，符号相反值相等，符号相反第40页，本讲稿共59页 应变圆应变圆第41页，本讲稿共59页 最大应变与主应变最大应变与主应变第42页，本讲稿共59页切应变为零方位的正应变切应变为零方位的正应变主应变主应变主应变位于互垂方位主应变位于互垂方位主应变表示：主应变表示：e e1 1 e e2 2 e e3 3第43页，本讲稿共
13、59页 例题例题例例 6-1 图示应变花，由实验测得图示应变花，由实验测得0,45与与 90方位的应变方位的应变分别为分别为e e0 0,e e45 45 与与e e90 90，求，求 e ex,e ey 与与 g gxy解：解：第44页，本讲稿共59页第45页，本讲稿共59页7 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 广义胡克定律广义胡克定律 主应力与主应变的关系主应力与主应变的关系 例题例题第46页，本讲稿共59页 广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律（平面应力状态）广义胡克定律（平面应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内第47页，
14、本讲稿共59页广义胡克定律（三向应力状态）广义胡克定律（三向应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内第48页，本讲稿共59页 主应力与主应变的关系主应力与主应变的关系 主应变与主应力的方位重合主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位 最大拉应变发生在最大拉应力方位最大拉应变发生在最大拉应力方位如果如果 s s1 1 0 0，且因，且因 m m 1/2 1/2，则，则第49页，本讲稿共59页 例题例题例例 7-1 对于各向同性材料，试证明：对于各向同性材料，试证明：证：证：根据
15、几何关系求根据几何关系求e e4545。根据广义胡克定律求根据广义胡克定律求 e e4545。比较比较第50页，本讲稿共59页例例 7-2 边长为边长为a=10 mm的正方形钢块，放置在槽形刚体的正方形钢块，放置在槽形刚体内，内，F=8 kN，m m =0.30.3，求钢块的主应力，求钢块的主应力 解：第51页，本讲稿共59页8 复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能 应变能密度一般表达式应变能密度一般表达式 体应变体应变 畸变能密度畸变能密度第52页，本讲稿共59页 应变能密度一般表达式应变能密度一般表达式单位体积内的应变能单位体积内的应变能应变能密度应变能密度第53页，本讲稿共59页
16、 体应变体应变微体的体积变化率微体的体积变化率体应变体应变第54页，本讲稿共59页 畸变能密度畸变能密度体积改变体积改变形状不变形状不变形状改变形状改变体体积不变积不变相应的应变能密度相应的应变能密度畸变能密度畸变能密度 vd第55页，本讲稿共59页9 复合材料应力应变关系简介复合材料应力应变关系简介 正轴应力应变关系正轴应力应变关系 偏轴力学特性偏轴力学特性第56页，本讲稿共59页 正轴应力应变关系正轴应力应变关系E1纵向弹性模量纵向弹性模量m m12纵向泊松比纵向泊松比E2横向弹性模量横向弹性模量m m21横向泊松比横向泊松比G12纵向切变模量纵向切变模量第57页，本讲稿共59页 偏轴力学特性偏轴力学特性 拉伸与剪切之间存在耦合效应拉伸与剪切之间存在耦合效应 应力主轴与应变主轴不重合应力主轴与应变主轴不重合 弹性常数弹性常数具有方向性具有方向性第58页，本讲稿共59页谢谢 谢谢第59页，本讲稿共59页