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1、 第第 八章八章 应力应变状态分析应力应变状态分析一一一一.研究应力状态的意义研究应力状态的意义研究应力状态的意义研究应力状态的意义8-1 8-1 引言引言（1 1）同一点各个方向的应力不同；）同一点各个方向的应力不同；(2)(2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低碳钢的压缩破坏。碳钢的压缩破坏。二、一点的应力状态二、一点的应力状态 1.一一点点的的应应力力状状态态：通通过过受受力力构构件件一一点点处处各各个个不不同同截截面面上的应力情况上的应力情况。2.研研究究应应力力状状态态的的目目的的：找找出出该该点点的的最最大大正正应应力力和和剪剪应应力力
2、数数值值及及所所在在截截面面的的方方位位，以以便便研研究究构构件件破破坏坏原原因因并并进进行行失失效效分分析。析。三、研究应力状态的方法三、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOs sys sys szs szt tzyt tyzt tyzt tzyt tyxt tyxt txyt txys sxs sxt tzxt txzt tzxt txz应力与应变分析应力与应变分析 （1）应应力力分分量量的的角角标标规规定定：第第一一角角标标表表示示应应力力作作用
3、用面面，第第二二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求；几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量应力
4、与应变分析应力与应变分析PMeMePPMeMec)同同b)，但从，但从上表面截取上表面截取Ct ts ss sb)横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面As=s=P/As st=Mt=Me/WnABCBCAPCABt tBt tCs sCs sCs sAs sA低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。铸铁铸铁低碳钢低碳钢为什么要研究一点的应力状态？为什么要研究一点的应力状态？CL10TU2主平面主平面剪应力为零的平面剪应力为零的平面主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主方向：主方向：主平
5、面的法线方向主平面的法线方向 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。互相垂直的主平面。互相垂直的主平面。互相垂直的主平面。三个主应力用三个主应力用三个主应力用三个主应力用1 1 1 1、2 2 2 2 、3 3 3 3 表示，按代数值大小表示，按代数值大小表示，按代数值大小表示，按代数值大小顺序排列，即顺序排列，即顺序排列，即顺序排列，即 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 二二.基本概念基本概念应力状态的分类：应力状态
6、的分类：应力状态的分类：应力状态的分类：单向应力状态：单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零；三个主应力中只有一个不等于零；二向和三向应力状态统称为二向和三向应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；（平面应力状态）：两个主应力不等于零；三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零8-2 8-2 平面应力状态下的应力分析平面应力状态下的应力分析CL10TU8一一.应力单元体应力单元体二二二二.应力分析的解析法应力分析的解析法应力分析的解析法应力分析的解析法（1 1）斜截面应力）
7、斜截面应力：拉应力为正：拉应力为正：顺时针转动为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正：逆时针转动为正 平衡对象平衡对象用用 斜截斜截 面截取的微元局部面截取的微元局部F 平衡方程平衡方程t tyx 参加平衡的量参加平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积A，2.2.斜面上的应力斜面上的应力微元体的平衡方程微元体的平衡方程 s s-cos)cos(Ax-s s yA(sin)sint tyxA s s+t t A(cos)sinxy+t t A(sin)cosyxn法向的平衡法向的平衡-t tA+s s xA(cos)sin+t t xyA(cos)cos-s s yA(sin)cos-t
8、 t yxA(sin)sint tyxt t 切向平衡切向平衡注：三角公式讨论：2.2.主应力主应力由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力和最小主应力。和最小主应力。由由由：三三三三.应力分析的图解法应力分析的图解法应力分析的图解法应力分析的图解法应力圆应力圆应力圆应力圆1.莫尔莫尔(Mohr)圆圆 在在t t-s s 坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上面上 应力对应的点应力对应的点a和和d 连连ad交交 s s 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，d应力应力圆半径。圆半径。ADa(s sx,t txy)d(s sy
9、,t tyx)cR2.2.应力圆的画法应力圆的画法3.3.应力圆的几种对应关系应力圆的几种对应关系(3)转向对应转向对应半径旋转方向与方向半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；面法线旋转方向一致；(4)二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。旋转角度的两倍。(1)单元体与应力圆对应单元体与应力圆对应 单元体的应力单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；(2)点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；切应力；点与面对应点与面对应
10、caA圆与单元体对应圆与单元体对应初始面Cq q2q2qaA AA A ayx转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应ADc主应力与主切应力主应力与主切应力d(s sy,t tyx)a(s sx,t txy)(1)(1)根据单元体上的应力根据单元体上的应力x x、y y 、x x画应力圆画应力圆:4.用应力圆求任意斜截面上的应力用应力圆求任意斜截面上的应力（2）求任意斜截面上的应力）求任意斜截面上的应力 例例8-18-1分别用解析法和图解法求图示单元分别用解析法和图解法求图示单元体的体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应
11、力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大剪应力值。最大剪应力值。解：解：()使用解析法求解使用解析法求解s=105MPa,1,=s02s=-65MPa31atsstan=-=xxy220()使用图解法求解使用图解法求解tsaa=10222=s105max65s=-mint=85max5a=220.作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：例例8-38-3一点处的应力状态如图所示，试用一点处的应力状态如图所示，试用应力圆求主应力。应力圆求主应力。CL10TU71 例例8-38-3一点的应力状态如图所示（应力单位一点的应力状态如图所示（应力单位 MPaMPa），试作应力圆求主应力及其
12、作用平面。），试作应力圆求主应力及其作用平面。327，-237127，-73低碳钢低碳钢铸铁铸铁 例例8-4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为、壁厚为 t，承，承受内力受内力p作用作用CL10TU4 )tDp p(ms sms sts s承受内压承受内压p作用薄壁圆筒的应力计算作用薄壁圆筒的应力计算)tDp p(ms s 1.三向应力状态应力圆：三向应力状态应力圆：平行平行s s3斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、s s2作出应
13、力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；平行平行s s2斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；平行平行s s1斜截面上应力由斜截面上应力由s s2、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力三向应力状态下的最大剪应力 t tmax所在平面与所在平面与s s1和和s s3两个主平面夹角为两个主平面夹角为45o。二、例题二、例题 8-8-三向应力状态下的最大应力三
14、向应力状态下的最大应力s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s2s s1s s3s s3C1C3s s1s s2Ot ts st t12t t23t t13C2 例例9-4 试试确确定定左左图图所所示示应应力力状状态态的的主主应应力力和和最最大大剪剪应应力力，并并确确定定主主平平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解解：给给定定应应力力状状态态中中有有一一个个主主应应力力是是已已知知的的，即即s sz=90MPa。因因此此，可可将将该该应应力力状状态态沿沿z方方向向投投影影，得得到到平平面面应应力力状状态态，可可直直接接求主应力及其方位
15、。求主应力及其方位。s sx=300MPa，s sy=140MPa，t txy=-150MPa，因此：，因此：根据根据s s1、s s2、s s3的排列顺序，可知：的排列顺序，可知：s s1=390MPa，s s2=90MPa，s s3=50MPa xzyxzy90300150140As sy=140t txy=150s sx=300A视视s s2y31o31os s1xs s3主应力方位：主应力方位：最大剪应力所在平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或-14o。单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力：一、广义虎克定律一、广义虎克定律1
16、.有关概念：有关概念：主应变主应变：沿主应力方向的应变，分别用：沿主应力方向的应变，分别用e e1e e2e e3表示；表示；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律广义虎克定律：推导方法：推导方法：叠加原理叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系：一般情况：一般情况：8-8-广义虎克定律广义虎克定律s s1s s2s s3s s1s s1Is s2s s2IIs s3IIIs s1Is s1s s2IIs s2s s1方向上的应变：方向上的应变：s s2方向上的应变：方向上的应变：s s3方向上的应变：方向上的应变：IIIs s3
17、用应变表示应力：用应变表示应力：上式中上式中：二、例题二、例题 例例9-5 在在一一体体积积较较大大的的钢钢块块上上有有一一直直径径为为50.01mm的的凹凹座座，凹凹座座内内放放置置一一直直径径为为50mm的的钢钢制制圆圆柱柱如如图图，圆圆柱柱受受到到P=300kN的的轴轴向向压压力力。假假设设钢钢块块不不变变形形，试试求求圆圆柱柱的的主主应应力力。取取E=200GPa，n n=0.30。PpPP/Apppp 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为：求得：求得：由广义虎克定律：由广义虎克定律：在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀
18、到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变之间的间隙，可得应变e e2的值为：的值为：解：解：在柱体横截面上的压应力为：在柱体横截面上的压应力为：圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为，内径为D，承受内，承受内压压p作用。作用。应力的坐标变换应力的坐标变换应力圆应力圆谢谢 谢谢 大大 家家!下节下节下节下节结束结束结束结束目录目录目录目录第九章第九章 应力
19、与应变分析应力与应变分析第一节第一节 应力状态的概念应力状态的概念第二节第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节第三节 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力第四节第四节 广义虎克定律广义虎克定律第五节第五节 三向应力状态下的变形比能三向应力状态下的变形比能一、一点的应力状态一、一点的应力状态 1.一一点点的的应应力力状状态态：通通过过受受力力构构件件一一点点处处各各个个不不同同截截面面上的应力情况上的应力情况。2.研研究究应应力力状状态态的的目目的的：找找出出该该点点的的最最大大正正应应力力和和剪剪应应力力数数值值及及所所在在截截面面的的方方位
20、位，以以便便研研究究构构件件破破坏坏原原因因并并进进行行失失效效分分析。析。第一节第一节 应力状态的概念应力状态的概念二、研究应力状态的方法二、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOs sys sys szs szt tzyt tyzt tyzt tzyt tyxt tyxt txyt txys sxs sxt tzxt txzt tzxt txz应力与应变分析应力与应变分析 （1）应应力力分分量量的的角角标标规规定定：第第一一角角标标表表示示应应力力作
21、作用用面面，第第二二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求；几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量
22、应力与应变分析应力与应变分析PMeMePPMeMec)同同b)，但从，但从上表面截取上表面截取Ct ts ss sb)横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面As=s=P/As st=Mt=Me/WnABCBCAPCABt tBt tCs sCs sCs sAs sA三、应力状态分类三、应力状态分类(按主应力按主应力)1.主平面主平面：单元体上剪应力为零的面；：单元体上剪应力为零的面；主单元体主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；主平面；主主应应力力：主主平平面面上上的的
23、正正应应力力，用用s s1、s s2、s s3表示，表示，有有s s1s s2s s3。应力与应变分析应力与应变分析旋转旋转yxzs s2s s3s s1xyzs sxs szt txyt txzt tzxt tzyt tyzt tyxs sy2.应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类：只有一个主应力不为零称只有一个主应力不为零称单向应力状态单向应力状态；只有一个主应力为零称只有一个主应力为零称两向应力状态两向应力状态(平面应力状态平面应力状态)；三个主应力均不为零称三个主应力均不为零称三向应力状态三向应力状态(空间应力状态空间应力状态)；单单向向应应力力状状态态又又称称简简单单应应力力状
24、状态态，平平面面和和空空间间应应力状态又称力状态又称复杂应力状态复杂应力状态。应力与应变分析应力与应变分析一、平面应力分析的解析法一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示：平面应力状态图示：第二节第二节 平面应力状态下的平面应力状态下的应力研究、应力圆应力研究、应力圆 s syt tyxt txys sxs sxs sxt txys sys sys sxt tyx应力与应变分析应力与应变分析2.任意任意 角斜截面上的应力角斜截面上的应力s sxt txys sys sys sxt tyxABxy nt s st ts sxt txyt tyxs syxdAs sxs syt txyt t
25、yx 得得 应力与应变分析应力与应变分析符号规定：符号规定：角角以以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s s拉为正，压为负拉为正，压为负 t t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：主应力及其方位：由主平面定义，令由主平面定义，令t t =0，得：，得：可求出两个相差可求出两个相差90o的的 0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。令令得：得：即主平面上的正应力取得所有方向上的即主平面上的正应力取得所有方向上的极值极值。应力与应变分析应力与应变分析 主应力大小：主应力大
26、小：由由s s、s s、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出：s s1s s2s s3 判断判断s s、s s作用方位作用方位(与两个与两个 0如何对应如何对应)t txy箭箭头头指指向向第第几几象象限限(一一、四四)，则则s s(较较大大主主应应力力)在在第第几几象象限限，即即先先判判断断s s大大致致方方位位，再再判判断断其其与与算算得得的的 0相相对对应应，还还是是与与 0+90o相对应。相对应。t txys ss s 0*t txys ss s 0*应力与应变分析应力与应变分析4.极值切应力：极值切应力：令：令：，可求出两个相差，可求出两个相差90o 的的 1，代表两个相互垂直
27、的极值切应力方位。，代表两个相互垂直的极值切应力方位。极值切应力：极值切应力：(极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分析应力与应变分析403020单位：单位：MPa s s t t 40203014.9os ss ss ss s 例例一一 图图示示单单元元体体，试试求求：=30o斜斜截截面面上上的的应应力力；主主应应力力并并画画出出主主单单元元体；体；极值切应力。极值切应力。t tABCDx45o-45oMeMeDCBAs s3 3s s1 1s s1 1s s3 3分析圆轴扭转时的应力状态分析圆轴扭转时的应力状态4)圆圆轴轴扭扭转转时时，横横截截面面为为纯纯剪剪
28、切切应应 力力状状态态，最最大大拉拉、压压应应力力在在与与轴轴 线线成成45o斜斜截截面面上上，它它们们数数值值相相 等，均等于横截面上的剪应力；等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料对于塑性材料(如低碳钢如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对对于于脆脆性性材材料料(如如铸铸铁铁、粉粉笔笔)抗抗拉拉性性能能差差，扭扭转转破破 坏时，通常沿与轴线成坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。的螺旋面发生拉断。例例9-2 分析圆轴扭转时的应力状态。分析圆轴扭转时的应力状态。二
29、、平面应力分析的图解法二、平面应力分析的图解法应力圆应力圆 1.理论依据：理论依据：以以s s、t t为坐标轴，则任意为坐标轴，则任意 斜截面上的应力斜截面上的应力s sx、t txy为：为：以以)为半径的圆。为半径的圆。2.应力圆的绘制：应力圆的绘制：定坐标及比例尺；定坐标及比例尺；取取x面，定出面，定出D()点；取点；取y面，定出面，定出D()点；点；连连DD交交s s轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，DD1为直径作圆；为直径作圆；s sxs sxt txyt tyxt txyt tyxs sys syOs st txyn C220A1s sB1 s s22(s(s,t,t)E EG
30、1t tG2 t t D(s sy,t tyx)BAD(s sx,t txy)s s t t 3.应力圆的应用应力圆的应用 点点面面对对应应关关系系：应应力力圆圆上上一一点点坐坐标标代代表表单单元元体体某某个个面面上上的的应应力；力；角角度度对对应应关关系系：应应力力圆圆上上半半径径转转过过2，单单元元体体上上坐坐标标轴轴转转过过;旋旋向向对对应应关关系系：应应力力圆圆上上半半径径的的旋旋向向与与单单元元体体坐坐标标轴轴旋旋向向相相同；同；求求外外法法线线与与x轴轴夹夹角角为为 斜斜截截面面上上的的应应力力，只只要要以以D为为起起点点，按按 转动方向同向转过转动方向同向转过2 到到E点，点，E
31、点坐标即为所求应力值。点坐标即为所求应力值。用用应应力力圆圆确确定定主主平平面面、主主应应力力：由由主主平平面面上上剪剪应应力力t t=0，确确定定D转转过过的的角角度度；D转转至至s s轴轴正正向向A1点点代代表表s s所所在在主主平平面面，其其转转过过角度为角度为2 ，转至，转至s s轴负向轴负向B1点代表点代表s s所在主平面；所在主平面；确确定定极极值值剪剪应应力力及及其其作作用用面面：应应力力圆圆上上纵纵轴轴坐坐标标最最大大的的G1点点为为t t，纵轴坐标最小的，纵轴坐标最小的G2点为点为t t”，作用面确定方法同主应力。，作用面确定方法同主应力。求：求：1)=30o斜截面上的应力；
32、斜截面上的应力；2)主应力及其方位；主应力及其方位；3)极值剪应力。极值剪应力。s sOt tD(30,-20)D(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：单位：MPax s s t t 40.3-40.3 例例9-3 用应力圆法重解例用应力圆法重解例9-1题。题。1.三向应力状态应力圆：三向应力状态应力圆：平行平行s s3斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、s s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；平行平行s s2斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；平行平行s s1斜截面上应力
33、由斜截面上应力由s s2、s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定；由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力三向应力状态下的最大剪应力 t tmax所在平面与所在平面与s s1和和s s3两个主平面夹角为两个主平面夹角为45o。二、例题二、例题 第三节第三节 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s2s s1s s3s s3C1C3s s1s s2Ot ts st t12t t23t t
34、13C2 例例9-4 试试确确定定左左图图所所示示应应力力状状态态的的主主应应力力和和最最大大剪剪应应力力，并并确确定定主主平平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解解：给给定定应应力力状状态态中中有有一一个个主主应应力力是是已已知知的的，即即s sz=90MPa。因因此此，可可将将该该应应力力状状态态沿沿z方方向向投投影影，得得到到平平面面应应力力状状态态，可可直直接接求主应力及其方位。求主应力及其方位。s sx=300MPa，s sy=140MPa，t txy=-150MPa，因此：，因此：根据根据s s1、s s2、s s3的排列顺序，可知：的
35、排列顺序，可知：s s1=390MPa，s s2=90MPa，s s3=50MPa xzyxzy90300150140As sy=140t txy=150s sx=300A视视s s2y31o31os s1xs s3主应力方位：主应力方位：最大剪应力所在平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或-14o。单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力：一、广义虎克定律一、广义虎克定律1.有关概念：有关概念：主应变主应变：沿主应力方向的应变，分别用：沿主应力方向的应变，分别用e e1e e2e e3表示；表示；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；
36、正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律广义虎克定律：推导方法：推导方法：叠加原理叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系：一般情况：一般情况：第四节第四节 广义虎克定律广义虎克定律s s1s s2s s3s s1s s1Is s2s s2IIs s3IIIs s1Is s1s s2IIs s2s s1方向上的应变：方向上的应变：s s2方向上的应变：方向上的应变：s s3方向上的应变：方向上的应变：IIIs s3用应变表示应力：用应变表示应力：上式中上式中：二、例题二、例题 例例9-5 在在一一体体积积较较大大的的钢钢块块上上有有一一直直径径为为50.01mm的的凹凹座
37、座，凹凹座座内内放放置置一一直直径径为为50mm的的钢钢制制圆圆柱柱如如图图，圆圆柱柱受受到到P=300kN的的轴轴向向压压力力。假假设设钢钢块块不不变变形形，试试求求圆圆柱柱的的主主应应力力。取取E=200GPa，n n=0.30。PpPP/Apppp 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为：求得：求得：由广义虎克定律：由广义虎克定律：在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周
38、向应力均为应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变之间的间隙，可得应变e e2的值为：的值为：解：解：在柱体横截面上的压应力为：在柱体横截面上的压应力为：一、总应变比能一、总应变比能1.有关概念：有关概念：应变能应变能(变形能变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用能量。用U表示；表示；比能比能：单位体积的应变能，用：单位体积的应变能，用u表示；表示；2.总应变比能：总应变比能：取取主主应应力力状状态态，假假定定三三个个主主应应力力按按某某一一比比例例由由零零增增加加到到最最终终值值，则该单元
39、体所储存的应变能为：则该单元体所储存的应变能为：比能：比能：代入虎克定律：代入虎克定律：第五节第五节 三向应力状态下的变形比能三向应力状态下的变形比能 s s2s s1s s3e e1e e2e e3dxdydz二、体积改变比能二、体积改变比能uv与形状改变比能与形状改变比能ud1.有关概念：有关概念：单元体的变形：单元体的变形：体积改变体积改变和和形状改变形状改变。体体积积改改变变比比能能：与与体体积积改改变变相相对对应应的的那那一一部部分分比比能能，用用uv表示；表示；形形状状改改变变比比能能：与与形形状状改改变变相相对对应应的的那那一一部部分分比比能能，用用ud表示；表示；2.uv、ud公式公式体积改变比能：体积改变比能：s s3s s2s s1体积应变只与平均体积应变只与平均正应力有关，则体正应力有关，则体积改变比能只与平积改变比能只与平均正应力有关。均正应力有关。体积改变体积改变s sms sms sms s3-s-sms s2-s-sms s1-s-sm形状改变形状改变形状改变比能：形状改变比能：一般情况：一般情况：