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1、关于应力状态与应变状态分析现在学习的是第1页，共43页 71 应力状态的概念应力状态的概念72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）77 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能现在学习的是第2页，共43页7 应力状态的概念应力状态的概念一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸
2、P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP现在学习的是第3页，共43页四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。xyzs s xs sz s s yt txy现在学习的是第4页，共43页xyzs s xs sz s s yt txy五、剪应力互等定理（五
3、、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。0 :zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxytt现在学习的是第5页，共43页t tzx六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAs sxs sxMPxyzBCs sxs sxBt txzt txyt tyx现在学习的是第6页，共43页七、主单元体、主面、主应力：七、主单元体、主面、
4、主应力：主单元体(Principal bidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(Principal Plane)：剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz现在学习的是第7页，共43页单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ThreeDimensional State of Stre
5、ss）：三个主应力都不为零的应力状态。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txz现在学习的是第8页，共43页72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法s sxt txys syxyzxys sxt txys syO现在学习的是第9页，共43页规定：s 截面外法线同向为正；t 绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn图2现在学习的是第
6、10页，共43页图1xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn图2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：现在学习的是第11页，共43页02cos22sin:000tsssxyyxdd令二、极值应力二、极值应力yxxysst22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力 00t）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （xys sxt txys syO现在学习的是第12页，共43页xys sxt txys sy
7、Os1在剪应力相对的项限内，且偏向于sx 及sy大的一侧。0dd:1t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（01045,4成即极值剪应力面与主面min2max1 ;ssss 2s1s现在学习的是第13页，共43页例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt222122xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx现在学习的是第14页，共43页破坏分析ttsstt22minmax2xyyx）（tssts321;0;4522tg00sstyxxy
8、0022tg11tssxyyxMPa200;MPa240:ssts低碳钢MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁现在学习的是第15页，共43页73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（Stress Circle）xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）现在学
9、习的是第16页，共43页建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx)AB与s 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx,t txy)B(s sy,t tyx)x2 nD(s s ,t t 现在学习的是第17页，共43页s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx,t txy)B(s sy,t tyx)x2 nD(s s ,t t 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应
10、力圆的对应关系面上的应力(s，t)应力圆上一点(s，t)面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2；且转向一致。现在学习的是第18页，共43页223122xyyxyxROCtssssss）（半径四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径OCs s t t A(s sx,t txy)B(s sy,t tyx)x2 1 1mintmaxt2 0 0s s1s s2s s3现在学习的是第19页，共43页s s3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)ABs s 1s s2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分
11、线与s 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0s s1s s2BAC2s0s s t t(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点现在学习的是第20页，共43页s s3s s1s s2BAC2s0s s t t(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss300s s 10s s2AB现在学习的是第21页，共43页tsst2cos2sin2xyyx解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60MPa325MPa956060tsxyO
12、现在学习的是第22页，共43页74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线zzxyIbQStzxIMys12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxxtssss）（现在学习的是第23页，共43页2 21 1s s1 1s s3 3s s3 33 3s s1 1s s3 34 4s s1 1s s1 1s s3 35 50450s st tA1A2D2D1COs sA2D2D1CA1Ot t20s st tD2D1CD1O20=90s sD2A1Ot t20CD1A2s st tA2D2D1C
13、A1O现在学习的是第24页，共43页拉力压力主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。s s1s s3s s1s s3现在学习的是第25页，共43页qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacds s1s s3s s3s s1现在学习的是第26页，共43页75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法s s2s s1xyzs s31s2s3sst1 1、空间应力状态、空间应
14、力状态现在学习的是第27页，共43页2 2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：t tmax231maxssts s2s s1xyzs s31s2s3sst现在学习的是第28页，共43页例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面501s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1,得:275058321sss44maxt5040 xyz3010 (M Pa)s s（M Pa）t t ABCABs s1s s2s s3t tmax现在学习的是第
15、29页，共43页76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 -应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系ExxsxyEsxzEs二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系Gxyxyt)0 x,y,z(i,jij)(0 x,y,zii0zxyzxyzs sxxyzt t x y现在学习的是第30页，共43页三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 -应变关系应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1 xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1 xyzs szs syt
16、txys sx现在学习的是第31页，共43页主应力主应力 -主应变关系主应变关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系:0zxyzztts方向一致02tg2sstyxxyyxxy02tg13221sssE12331sssE32111sssExyxyGtyxxEs21xyyEs21s s1s s3s s2现在学习的是第32页，共43页主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致?0202tg)()1)(1222tgsstyxxyyxxyyxxyEG现在学习的是第33页，共43页五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322
17、111aaaV3211VVV体积应变：)(21 )(21321zyxEEssssss体积应变与应力分量间的关系:s s1s s3s s2a1a2a3现在学习的是第34页，共43页例例5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。03 :s自由面上解MPa3.4410)1603.0240(3.0110210 16292121sE所以，该点处的平面应力状态MPa3.2010)2403.0160(3.0110210 16291222sE1s2s现在学习的是第35页，共43
18、页669132103.3410)3.443.22(102103.0ssE;MPa3.20;0;MPa3.44321sss 334 2.现在学习的是第36页，共43页例例6 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t=350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a现在学习的是第37页，共43页1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应
19、力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程42DpDmss4pDmps sms smxD图b现在学习的是第38页，共43页用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)Dlplts2s2pDt3、求内压（以应力应变关系求之）ss241EpDEmttMPa36.3)25.02(5.01035001.0102104 )2(469DEptst sm外表面yps s ts s tDqdq)d2(qDlpz图cO现在学习的是第39页，共43页7 77 7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能332211212121sssu)(31321ssssms
20、s2s s3s s 1图图 a图图 cs s3-s sms s 1-s sms s2-s smbaE)(21321sss0c312321232221221sssssssssEs sm图图 bs sms sm现在学习的是第40页，共43页21323222161ssssssEux:单元体的应变能为图c称为形状改变比能或歪形能。图图 cs s3-s sms s 1-s sms s2-s sm现在学习的是第41页，共43页例例7 用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gu2212tt纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：312321232221221sssssssssEutttt)(002)(02122E21tE12EGt txyAs1s3现在学习的是第42页，共43页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第43页，共43页