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1、会计学13.1.1空间空间(kngjin)向量及其加减运算向量及其加减运算26173第一页，共30页。一、平面向量一、平面向量(xingling)复习复习定义定义(dngy)：既有大小既有大小(dxio)又有方向的量叫向量又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示；字母表示法：字母表示法：用字母用字母a、b等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示相等的向量：相等的向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD第1页/共30页第二页，共30页。平面平面(pngmin)向量的加减法运向量的加减法运算算向量向量(xi
2、ngling)的加法：的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则(fz)aba+b三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)第2页/共30页第三页，共30页。向量向量(xingling)的减法的减法aba-b三角形法则三角形法则(fz)减向量终点减向量终点(zhngdin)指向被减指向被减向量终点向量终点(zhngdin)第3页/共30页第四页，共30页。平面平面(pngmin)向量向量的加法运算律的加法运算律加法加法(jif)交换律：交换律：abba 加法加法(jif)结合结合律：律：(ab)ca(bc)第4页/共30页第五页，共30页。推广推广(tugung)首尾相接的若干向量之和，首尾
3、相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末等于由起始向量的起点指向末尾尾(mwi)向量的终点的向量向量的终点的向量即：即：第5页/共30页第六页，共30页。首尾相接的若干向量构成首尾相接的若干向量构成(guchng)一个封闭图形，一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：第6页/共30页第七页，共30页。二、空间向量及其加减二、空间向量及其加减(ji jin)运算运算 空间空间(kngjin)向向量量（1）定义：空间中具有大小）定义：空间中具有大小(dxio)和和方向的方向的量叫做空间向量量叫做空间向量空间向量的大小叫做向量的空间向量的大小叫做向量的模模第7页/共30页第八
4、页，共30页。二、空间向量及其加减二、空间向量及其加减(ji jin)运运算算 空间空间(kngjin)向量向量（2）表示）表示(biosh)方法：方法：几何表示：用有向线段表示空间向量几何表示：用有向线段表示空间向量有向线段的长度表示空间向量的模；有向线段的长度表示空间向量的模；代数表示：用表示有向线段起点终点的代数表示：用表示有向线段起点终点的大写字母加箭头表示空间向量；也可用带大写字母加箭头表示空间向量；也可用带有箭头的小写字母表示空间向量；有箭头的小写字母表示空间向量；空间向量的模表示成空间向量的模表示成 或或与平面向量相同与平面向量相同第8页/共30页第九页，共30页。空间空间(kn
5、gjin)向量向量（3）特殊的空间）特殊的空间(kngjin)向量：向量：单位向量：大小单位向量：大小(dxio)（模）为（模）为1向量；向量；零向量：零向量：大小（模）为零的向量；大小（模）为零的向量；记作记作二、空间向量及其加减二、空间向量及其加减运算运算零向量零向量的方向是任意的的方向是任意的若若 是单位向量，则是单位向量，则若若 ，则，则 是单位向量是单位向量第9页/共30页第十页，共30页。二、空间向量及其加减二、空间向量及其加减(ji jin)运算运算 空间空间(kngjin)向量向量相等相等(xingdng)向量：大小相等向量：大小相等(xingdng)和方向相同的向量；二者缺和
6、方向相同的向量；二者缺一不可一不可（4）空间向量的关系）空间向量的关系：共线向量（或平行向量）：方向相同共线向量（或平行向量）：方向相同或相反的向量或相反的向量相反向量：大小相等方向相反的向量相反向量：大小相等方向相反的向量 空间向量是自由向量；空间任意两个空间向量是自由向量；空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示段表示第10页/共30页第十一页，共30页。2.空间向量空间向量(xingling)的加法、减法的加法、减法a+babABbCOa-b第11页/共30页第十二页，共30页。3.空间向量空间向量(xingling)加法运算律加法运算律加法
7、加法(jif)交交换律：换律：a+b=b+a；加法加法(jif)结合律：结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；abca+b+c abca+b+c a+b b+c 第12页/共30页第十三页，共30页。空间向量空间向量(xingling)的加法、减法的说明的加法、减法的说明1.空间向量的运算空间向量的运算(yn sun)就是平就是平面向量运算面向量运算(yn sun)的推广的推广2.两个向量两个向量(xingling)相加的平相加的平行四边形法则在空间仍然成立行四边形法则在空间仍然成立3.空间向量的加法运算可以推广至若空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加干个向量相加第13页/共30页第十
8、四页，共30页。推广推广(tugung)首尾相接的若干向量之和，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点等于由起始向量的起点(qdin)指向末尾向量的终点的向量指向末尾向量的终点的向量即：即：第14页/共30页第十五页，共30页。首尾相接的若干首尾相接的若干(rugn)向向量构成一个封闭图形，则它们量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：的和为零向量即：第15页/共30页第十六页，共30页。例例1.给出以下命题：给出以下命题：（1）空间中任意两个单位向量相等。空间中任意两个单位向量相等。（2）两个空间向量相等，则它们的两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；起点、终点相同；（3）若空间
9、向量若空间向量 满足满足 ，则则 ；（4）在正方体在正方体 中，中，必有必有 ；（5）若空间向量若空间向量 满足满足 ，则，则 ；其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4C第16页/共30页第十七页，共30页。变式：变式：如图所示，长方体中，如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。（1）写出与写出与 相等的所有向量；相等的所有向量；（2）写出与向量写出与向量 的相反向量。的相反向量。第17页/共30页第十八页，共30页。平行六面体：平行四边形平行六面体：平行四边形ABCD平移平移向量向量(xingling)a到到A1B1C1D1的的轨迹所形成
10、轨迹所形成 的几何体，叫做平行六的几何体，叫做平行六面体。面体。ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD记作记作ABCDA1B1C1D1，它的六个面都，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做是平行四边形，每个面的边叫做(jiozu)平行六面体的棱。平行六面体的棱。a第18页/共30页第十九页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ，化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD第19页/共30页第二十页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ，化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果
11、的向量：结果的向量：ABCDABCD（1）第20页/共30页第二十一页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ，化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD（2）第21页/共30页第二十二页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD（2）始点相同始点相同(xin tn)的三个不共的三个不共面向量之和，等于以面向量之和，等于以这三个向量为棱的平这三个向量为棱的平行六面体的以公共始行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
12、点为始点的对角线所示向量第22页/共30页第二十三页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ，化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD第23页/共30页第二十四页，共30页。例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ，化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD第24页/共30页第二十五页，共30页。变式：已知平行六面体，下列变式：已知平行六面体，下列(xili)四四式中式中正确正确(zhngqu)的是的是 。A1D1C1B1BACD第25页/共30页第二十六页，共30
13、页。变式：变式：第26页/共30页第二十七页，共30页。A.1 B.2 C.3 D.4例例3 在正方体在正方体 中，中，下列各式中运算的结果为向量下列各式中运算的结果为向量 的共有（的共有（）个）个第27页/共30页第二十八页，共30页。例例4 在如图所示的平行六面体中，求证在如图所示的平行六面体中，求证(qizhng)：ABCDABCD第28页/共30页第二十九页，共30页。平面平面(pngmin)(pngmin)向量向量概念概念(ginin)加法加法减法减法(jinf)数乘数乘运算运算运运算算律律表示法表示法相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量空间向量定义：具有大小和方向的量定义：具有大小和方向的量小结小结类比、数形结合类比、数形结合加法交换律：加法交换律：abba 加法结合律：加法结合律：(ab)ca(bc)第29页/共30页第三十页，共30页。