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1、第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算学习目标1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功4 3.1.1空间向量及其线性运算 预习导学 挑战自我，点点落实知识链接5 3.1.1空间向量及其线性运算预习导引1.空间向量的概念在空间中，既有 又有 的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的 .2.空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个
2、向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如图)大小方向长度或模6 3.1.1空间向量及其线性运算abab(2)运算律交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc).7 3.1.1空间向量及其线性运算3.空间向量的数乘运算(1)定义实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当0时，a与a方向 ；当0时，a与a方向 ；当0时，a .a的长度是a的长度的|倍.如图所示.相同相反08 3.1.1空间向量及其线性运算(2)运算律分配律：(ab)ab；结合律：(a)()a.4.共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的 ，则这些向量
3、叫做 或平行向量，记作ab.直线互相平行或重合共线向量9 3.1.1空间向量及其线性运算(2)充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使 .ba10 3.1.1空间向量及其线性运算 课堂讲义 重点难点，个个击破要点一空间向量的概念例1判断下列命题的真假.(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；解假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来.11 3.1.1空间向量及其线性运算(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；解假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可.(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相
4、同；解假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.12 3.1.1空间向量及其线性运算13 3.1.1空间向量及其线性运算规律方法在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.14 3.1.1空间向量及其线性运算跟踪演练1给出以下命题：若空间向量a，b，c满足ab，bc，则ac；若空间向量a、b满足|a|b|，则ab；若空间向量m、n、p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确命题的个数是_.15 3.1.1空间向量及其线性运算解析因为0平行于
5、任意向量，若b0则a与c不一定平行，故错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量a与b的方向不一定相同，故错；16 3.1.1空间向量及其线性运算命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错.答案317 3.1.1空间向量及其线性运算要点二空间向量的线性运算例2如图所示,已知长方体ABCDABCD,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：18 3.1.1空间向量及其线性运算解连结AC，设M是线段AC的中点，19 3.1.1空间向量及其线性运算规律方法化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到
6、减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算.加减法之间可以转化.表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面.20 3.1.1空间向量及其线性运算21 3.1.1空间向量及其线性运算22 3.1.1空间向量及其线性运算要点三空间向量的共线问题k8.23 3.1.1空间向量及其线性运算规律方法灵活应用共线向量定理，正确列出比例式.24 3.1.1空间向量及其线性运算又B为两向量的公共点，A、B、D三点共线.25 3.1.1空间向量及其线性运算 当堂检测 当堂训练，体验成功1 2 3 4326 3.1.1空间向量及其线性运算1 2 3 427 3.1.1空间向量及其线性运算1 2 3 4728 3.1.1空间向量及其线性运算1 2 3 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：29 3.1.1空间向量及其线性运算1 2 3 4答案430 3.1.1空间向量及其线性运算课堂小结1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.3.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线.