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1、中级微观经济学中级微观经济学第第2 2讲讲 最优化的数学方法最优化的数学方法 四川农业大学四川农业大学 经济学院经济学院 2课程安排课程安排 集合和函数集合和函数微分和求导微分和求导最优化问题最优化问题 无约束的最优化无约束的最优化 等式约束下的最优化等式约束下的最优化3集合与函数（集合与函数（1 1）l集合（集合（set）：所有对象组成的全集，集合中的每个对象称为元素所有对象组成的全集，集合中的每个对象称为元素；例子：例子：X=x/x=(x1,x2),x10,x20l凸集（凸集（convex set）：4集合与函数（集合与函数（2 2）l函数（函数（(Function）：定义域：定义域：X值
2、值 域：域：Y对应法则：对应法则：f 表示：表示：例子：例子：y=f（x）=x25集合与函数（集合与函数（3 3）l极限（极限（Limits）：例子：例子：f(x)=3+2x，当，当x趋近于趋近于3时，时，f(x)的极限：的极限：6集合与函数（集合与函数（4 4）l函数的连续性（函数的连续性（continuous）：直觉：直觉：A function is continuous if“small”changes in x produces“small”changes in f(x)7集合与函数（集合与函数（5 5）l函数的连续性（函数的连续性（continuous）：直觉：直觉：8集合与函数（集
3、合与函数（6 6）l函数的连续性（函数的连续性（continuous）：直觉：直觉：9微分和求导（微分和求导（1 1）l导数（导数（differentiable）：（一元函数）（一元函数）l练习练习1：l练习练习2：10微分和求导（微分和求导（2 2）l导数（导数（differentiable）：l直觉：直觉：11微分和求导（微分和求导（3 3）l求导法则求导法则 12微分和求导（微分和求导（4 4）l求导法则求导法则 （链式法则）（链式法则）13微分和求导（微分和求导（5 5）l二阶导数（二阶导数（Second derivative）：l例子：例子：14微分和求导（微分和求导（5 5）l二阶
4、导数与函数极值：二阶导数与函数极值：15微分和求导（微分和求导（6 6）l二阶导数与函数的极值：二阶导数与函数的极值：函数存在极小值函数存在极小值函数存在极大值函数存在极大值16微分和求导（微分和求导（7 7）l多元函数的偏导数多元函数的偏导数 let 练习练习1：练习练习2：17微分和求导（微分和求导（8 8）l多元函数的全微分：多元函数的全微分：经济学应用：经济学应用：边际替代率（边际替代率（）边际技术替代率（边际技术替代率（）18微分和求导（微分和求导（8 8）l杨氏定理（杨氏定理（Youngs Theorem）：）：经济学应用：经济学应用：y=f(x1,x2)dy=f1 dx1+f2
5、dx2d 2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx2219无约束的最优化（无约束的最优化（1 1）l一元函数的最优化：一元函数的最优化：一阶条件：一阶条件：20无约束的最优化（无约束的最优化（2 2）l一元函数的最优化：一元函数的最优化：二阶条件：二阶条件：证明证明：假设在：假设在x*处于最大值，即：对于任意的处于最大值，即：对于任意的h，根据泰勒展开式，根据泰勒展开式，21无约束的最优化（无约束的最优化（3 3）l二元函数的最优化：二元函数的最优化：函数形式：函数形式：y=f(x1,x2)一阶条件一阶条件：y/x1=f1=0 y/x2=f2=0二阶条件二阶条件：d 2y=f11
6、dx12+2f12dx1dx2+f22dx22 0 f11 0 22无约束的最优化（无约束的最优化（4 4）l二元函数的最优化：二元函数的最优化：23等式约束的最优化（等式约束的最优化（1 1）l最优化问题：最优化问题：Method 1：替换法替换法Method 2：拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法 24等式约束的最优化（等式约束的最优化（2 2）l最优化问题：最优化问题：Method 2：拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法 一阶条件一阶条件:25作业（作业（1 1）l1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：26作业（作业（2 2）l2.求求x1，x2使得下列函数有最值：使得下列函数有最值：27作业（作业（3 3）l3.请分别利用替换法和拉格朗日乘子法，求请分别利用替换法和拉格朗日乘子法，求x1，x2使得函数出现最大值：使得函数出现最大值：MAX f(x1，x2)=x12*x23 s.t 2x1+3x2=1028参考资料参考资料l张树民，张树民，中级微观经济学中级微观经济学第第2章，中国章，中国财政经济出版社财政经济出版社；lE.Roy Weintraub,经济数学经济数学