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1、函数的极限与连续ppt课件怖目晶赫布忾涟当饫浼函数极限的概念函数的连续性极限的应用连续性的应用总结与思考目录01函数极限的概念若对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，当$nN$时，有$|f(x_n)-L|0$，使得当$0|x-x_0|delta$时，有$|f(x)|0$或$f(x_0)0$，使得当$0|x-x_0|0$或$f(x)0$。函数极限的性质和差运算性质若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$，则$lim f(x)pm g(x)=Apm B$。乘积运算性质若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$，则$lim f(x)cdot g(x)=A
2、cdot B$。幂运算性质若$lim f(x)=Aneq 0$，则$lim f(x)n=An$。函数极限的运算性质03020102函数的连续性函数在某点连续的定义如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。函数在区间上连续的定义如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。连续性的定义连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。初等函数在其定义域内是连续的。复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点连续。连续性的性质123可导必连续，但连续不一定可导。导数存在与可导性等价，而极限存在与连续性不等价。左导数存在
3、且等于右导数存在是可导的充分不必要条件。连续性与可导性的关系03极限的应用利用极限求函数值利用极限的性质，通过已知的函数值或表达式，推导出其他函数值或表达式的计算方法。总结词在数学中，极限是一种重要的概念，它可以用来求解一些看似无法解决的问题。利用极限求函数值就是其中的一个应用。通过将函数值逼近某个点或无穷远处，我们可以得到该点的函数值或函数的某些性质。例如，利用极限可以求出函数在某一点的切线斜率、面积、体积等。详细描述VS利用极限的性质和不等式的性质，证明两个或多个数的大小关系。详细描述在数学中，证明不等式是一个常见的问题。利用极限可以证明一些看似难以证明的不等式。通过将不等式转化为极限的形
4、式，我们可以利用极限的性质和不等式的性质来证明不等式。例如，利用极限可以证明一些函数的单调性、不等式的等价变换等。总结词利用极限证明不等式利用极限的性质和函数的极值定义，求解函数的极值。函数的极值是函数在某一点附近的局部最大或最小值。利用极限的性质和函数的极值定义，我们可以求解函数的极值。通过将函数在某一点的导数逼近无穷大或无穷小，我们可以得到该点的极值。这种方法在一些实际问题中也有应用，例如求解某些物理问题的极值等。总结词详细描述利用极限求函数的极值04连续性的应用010203总结词单调性是函数的重要性质，利用连续性可以判断函数的单调性。详细描述如果函数在某区间上连续，且在该区间上单调增加或
5、减少，则该函数在该区间上具有单调性。这是因为连续函数在其定义域内的任何一点上都是连续的，没有跳跃或间断点，因此其增减性在整个定义域内都是一致的。示例考虑函数$f(x)=x2$，它在区间$(-infty,0)$上是单调减少的，而在区间$(0,infty)$上是单调增加的。这是因为在$x=0$处，函数值从正变负，即函数在这一点上从增加变为减少，因此函数在整个定义域内具有单调性。利用连续性判断函数的单调性利用连续性证明不等式详细描述如果函数在某区间上连续，且在该区间上单调增加或减少，则可以利用函数的连续性证明一些不等式。例如，如果函数$f(x)$在区间$a,b$上连续，且$f(a)c f(b)$，则
6、可以证明$c fracf(a)+f(b)2$。这是因为函数在区间$a,b$上单调增加，所以其平均值必然大于等于中值。总结词通过利用函数的连续性，可以证明一些不等式。示例考虑函数$f(x)=x2$，在区间$0,1$上连续且单调增加。如果$f(0)c f(1)$，则可以证明$c fracf(0)+f(1)2$。要点三总结词利用函数的连续性可以找到函数的零点。要点一要点二详细描述如果函数在某区间上连续，且在该区间上从正变负或从负变正，则可以利用函数的连续性找到函数的零点。这是因为函数在这一点上从增加变为减少或从减少变为增加，因此该点必然是函数的零点。示例考虑函数$f(x)=x3$，在区间$-1,1$
7、上连续。因为$f(-1)0$，所以可以确定函数在区间$-1,1$上有且只有一个零点。要点三利用连续性求函数的零点05总结与思考函数极限的定义与性质我们学习了函数在某点的极限定义，以及极限的几个重要性质，如局部有界性、局部保序性等。连续性的定义与性质我们深入探讨了函数在某点或区间上的连续性，理解了连续函数的基本性质，如零点存在定理等。极限与连续的关系我们了解到函数在某点的极限值与该点的函数值的关系，以及极限与连续之间的密切联系。本章内容的总结与其他数学知识的联系探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。理论严谨性深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和完备性，理解数学严密性的重要性。实际应用思考函数极限与连续性在实际问题中的应用，如物理、工程、经济等领域中的实例。对函数极限与连续性的思考导数与微分预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与极限和连续性的关系。级数与积分简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的重要性和应用。深化理论学习鼓励学生在后续学习中深化对函数极限与连续性的理解，探索更多相关理论和实际应用。对后续学习的展望感谢观看THANKS