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1、2023 年高考数学模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量OZ绕原点O 按逆时针方向旋转6，所得向量对应的复数是（）A1322i B3122i C1322i D3122i
2、 2已知复数 z 满足(3)1izi，则 z 的虚部为（）Ai Bi C1 D1 3函数1()ln|1xf xx的图象大致为 A B C D 4已知三棱锥,2,1,PABCACBCACBC且2,PAPBPB平面ABC，其外接球体积为（）A43 B4 C323 D4 3 5已知函数()(1)(2)x ef xm xxe（e 为自然对数底数），若关于 x 的不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为（）A32ee B22ee C32ee D22ee 6已知正三角形ABC的边长为 2，D为边BC的中点，E、F分别为边AB、AC上的动点，并满足2AECF，则DE DF的取值范围是（
3、）A1 1,2 16 B1(,16 C1,02 D(,0 7已知函数(2)3,(ln2)()32,(ln2)xxxexf xx x，当,)xm时，()f x的取值范围为(,2e，则实数 m 的取值范围是（）A1,2e B(,1 C1,12e Dln2,1 8设函数 22cos2 3sincosf xxxxm，当0,2x时，1 7,2 2fx，则m（）A12 B32 C1 D72 9斜率为 1 的直线 l 与椭圆22xy14相交于 A、B 两点，则AB的最大值为()A2 B4 55 C4 105 D8 105 10如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何
4、体的三视图，则该几何体的体积为 A72 B64 C48 D32 11三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，5AB，8BC，60B，2 5SA，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A643 B2563 C4363 D2048327 12已知非零向量a、b，若2ba且23abb，则向量b在向量a方向上的投影为（）A32b B12b C32b D12b 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量(1,2),(3,2)ab，若向量kab与2ab共线，则k _.14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos3sin20BB；且1b，则ABC周长的范围为_.15 如
5、图，在 ABC 中，E 为边 AC 上一点，且3ACAE，P 为 BE 上一点，且满足(0,0)APmABnAC mn，则133nm的最小值为 _ 16函数cos 2yx的图象向右平移2个单位后，与函数sin 23yx的图象重合，则_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，已知抛物线E：24yx与圆M：2223 xyr（0r）相交于A，B，C，D四个点，（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.18（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左，右焦点分别为1F，2F，12
6、|2FF，M 是椭圆 E 上的一个动点，且12MF F的面积的最大值为3.（1）求椭圆 E 的标准方程，（2）若(,0)A a，(0,)Bb，四边形 ABCD 内接于椭圆 E，/ABCD，记直线 AD，BC 的斜率分别为1k，2k，求证:12k k为定值.19（12 分）已知函数 1f xx.（1）解不等式 48f xf x；（2）若1a，1b，0a，求证：bf aba fa.20（12 分）已知正数 x，y，z 满足 xyzt（t 为常数），且22249xyz的最小值为87，求实数 t 的值.21（12 分）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E为棱11BC的中点.（1）面出
7、过点E且与直线1AC垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD与该平面所成角的正弦值.22（10 分）已知抛物线 E：y22px（p0），焦点 F 到准线的距离为 3，抛物线 E 上的两个动点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），其中 x1x2且 x1+x21线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C（1）求抛物线 E 的方程；（2）求 ABC 面积的最大值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由复数 z 求得点 Z 的坐标，得到向量OZ的坐标，逆时针旋
8、转6，得到向量OB的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：复数 z=i（i 为虚数单位）在复平面中对应点 Z（0，1），OZ(0，1)，将OZ绕原点O 逆时针旋转6得到OB，设OB(a，b)，0,0ab，则3cos62OZ OBbOZ OB，即32b，又221ab，解得：13,22ab，13,22OB，对应复数为1322i.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2C【解析】利用复数的四则运算可得2zi ，即可得答案.【详解】(3)1izi，131izii，2zi ，复数z的虚部为1.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.3D
9、【解析】由题可得函数()f x的定义域为|1x x ，因为1()ln|1xfxx1ln|()1xf xx，所以函数()f x为奇函数，排除选项 B；又(1.1)ln211f，(3)ln21f，所以排除选项 A、C，故选 D 4A【解析】由ACBC,PB 平面ABC,可将三棱锥PABC还原成长方体,则三棱锥PABC的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为2,1,ACBCACBC,所以223ABACBC,设PBh,则由2PAPB,可得232hh,解得1h,可将三棱锥PABC还原成如图所示的长方体,则三棱锥PABC的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R,则22221(2)12
10、R,所以1R,所以外接球的体积34433VR.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.5A【解析】若不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则(1)ym x的图象在 yg x图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出 g x的最小值，分别画出 yg x与(1)ym x的图象，结合图象可得.【详解】解：()(1)(2)0 xfeexm xx，(1)(2)xm xxee，设()(2)xyg xxee，()(1)xg xxe，当1x 时，0gx，函数 g x单调递增，当1x 时，0gx，函数 g x单调递减，()(1)0g xg，当x时，f x，当x ，fxe，函数(1)ym x
11、恒过点1,0，分别画出 yg x与(1)ym x的图象，如图所示，若不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则(1)ym x的图象在 yg x图象的上方只有一个正整数值，3(3 1)(32)eme且(2 1)(22)xmee，即32(3)mgee，且me 32eeem，故实数 m 的最大值为32ee，故选：A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.6A【解析】建立平面直角坐标系，求出直线:3(1)AB yx，:3(1)ACyx 设出点(,3(1),(,3(1)E mmF nn，通过|2|AECF，找出m与n的关系
12、通过数量积的坐标表示，将DE DF表示成m与n的关系式，消元，转化成m或n的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF的取值范围 【详解】以 D 为原点，BC 所在直线为x轴，AD 所在直线为y轴建系，设(0,3),(1,0),(1,0)ABC，则直线:3(1)AB yx，:3(1)ACyx 设点(,3(1),(,3(1)E mmF nn，10,01mn 所以(,3),(1,3(1)AEmm CFnn 由|2|AECF得224(1)mn，即2(1)mn，所以22713(1)(1)4734()816DE DFmnmnnnn ，由12(1)0mn 及01n，解得112n，由二次函
13、数2714()816yn 的图像知，1 1,2 16y，所以DE DF的取值范围是1 1,2 16故选 A【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用 7C【解析】求导分析函数在ln2x 时的单调性、极值，可得ln2x 时，f x满足题意，再在ln2x 时，求解 2f xe 的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x 时，12xfxxe，令 0fx，则ln21x；0fx，则1x，函数 f x在ln2,1单调递增，在1,单调递减.函数 f x在1x 处取得极大值为 12fe，ln2x 时，f x的取值范围为,2e，ln2m1 又当ln2x 时，令 3 22f xxe ，
14、则12ex，即1xln22e，1 e22mln 综上所述，m的取值范围为1,12e.故选 C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.8A【解析】由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值【详解】22cos2 3sincosf xxxxm1cos23sin 2xxm2sin(2)16xm，0,2x时，72,666x，1sin(2),162x，(),3f xm m，由题意1 7,3,2 2m m，12m 故选：A【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键 9C
15、【解析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去 y，根据判别式大于 0 求得 t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用 t 的范围求得|AB|的最大值【详解】解：设直线 l 的方程为 yx+t，代入24xy21，消去 y 得54x2+2tx+t210，由题意得（2t）21（t21）0，即 t21 弦长|AB|4254 10255t 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口 10B【解析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为 4 的正方形，高为 5 的正四棱柱，挖去一个底面边长为 4，高为 3 的正四
16、棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为 4 的正方形，高为 5 的正四棱柱，挖去一个底面边长为 4，高为 3 的正四棱锥，所以几何体的体积为14 4 54 4 3643VVV 柱锥，故选 B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。11B【解析】由题，侧棱SA底面ABC，5AB，8
17、BC，60B，则根据余弦定理可得221582 5 872BC ，ABC的外接圆圆心772sin332BCrrB 三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离15,2dSA 则外接球的半径 22764533R，则该三棱锥的外接球的表面积为225643SR 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键 12D【解析】设非零向量a与b的夹角为，在等式23abb两边平方，求出cos的值，进而可求得向量b在向量a方向上的投影为cosb，即可得解.【详解】2ba，由23abb得2223abb，整理得22220aa bb，22222cos40aaaa，解得1cos2，因此，向量b在向量
18、a方向上的投影为1cos2bb.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132【解析】计算得到(3,22),2(5,2)kabkkab，根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得(3,22),2(5,2)kabkkab，因为kab与2ab共线，所以有2(3)5(22)0kk，即816k ，解得2k .故答案为：2.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.142,3【解析】先求B角，再用余弦定理找到边ac、的关系，再用基本不等式求ac的范围即可.【
19、详解】解：cos3sin20BB 2sin2,sin1,663BBB 2222cos3bacac 22212cos3acac 221332acacac 12ac 所以三角形周长(2,3acb 故答案为：2,3【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.1515【解析】试题分析：根据题意有3APmABnACmABnAE，因为,B P E三点共线，所以有31mn，从而有13139(3)()33mnmnnmnmnm 62 912，所以的最小值是12315 考点：向量的运算，基本不等式【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中
20、，关键步骤在于对题中条件的转化3APmABnACmABnAE，根据,B P E三点共线，结合向量的性质可知31mn，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加3，得出最后的答案 1656【解析】根据函数cosyAx图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数cosyAx图象的平移变换公式可得,函数cos 2yx的图象向右平移2个单位后,得到的函数解析式为cos 2cos 22yxx,因为函数sin 23yxcos2cos2cos 22366xxx，所以函数c
21、os 2yx 与函数cos 26yx的图象重合,所以2,6kkz,即52,6kkz,因为,所以56.故答案为:56【点睛】本题考查函数cosyAx图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）2 23r（2）点P的坐标为1(,0)3【解析】1将抛物线方程24yx与圆方程2223 xyr联立,消去y得到关于x的一元二次方程,抛物线E与圆M有四个交点需满足关于x的一元二次方程在0,上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于r的不等式组,解不等式即可.2不妨设抛物线E与圆M
22、的四个交点坐标为11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，据此可表示出直线AD、BC的方程,联立方程即可表示出点P坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S的表达式,令12tx x,由29tr及 1知01t,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD的面积取得最大值时t的值,进而求出点P坐标.【详解】（1）联立抛物线与圆的方程22224,3,yxxyr 消去y，得22290 xxr.由题意可知22290 xxr在0,上有两个不等的实数根.所以2244 90,90,rr 解得2 23r，所以r的取值范围为2
23、2,3r.（2）根据（1）可设方程22290 xxr的两个根分别为1x，2x（120 xx），则11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，且122xx，2129x xr，所以直线AD、BC的方程分别为 121112222xxyxxxxx，121112222xxyxxxxx,联立方程可得,点P的坐标为12,0 x x，因为四边形ABCD为等腰梯形,所以211221114422SABCDxxxxxx 222121212122242 22 944 9xxx xxxx xrr，令290,1tr，则 22324 2244321f tSttttt ，所以 23
24、2 321321 31fttttt ，因为01t,所以当103t 时,0ft；当113t 时,0ft，所以函数 f t在1(0,)3上单调递增，在1(,1)3上单调递减，即当13t 时，四边形ABCD的面积S取得最大值，因为12x xt,点P的坐标为12,0 x x,所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时,点P的坐标为1(,0)3.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.18（1）22143xy（2）证明
25、见解析【解析】（1）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，12MF F的面积取得最大值3，求出,a b c，即可得答案；（2）根据题意可知(2,0)A，(0,3)B，因为/ABCD，所以可设直线 CD 的方程为11223(3),2yxm mD x yC xy，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到12,x x的关系，再代入斜率公式可证得12k k为定值.【详解】（1）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，12MF F的面积取得最大值3.所以22211232cc babc，所以2a，3b，故椭圆 E 的标准方程为
26、22143xy.（2）根据题意可知(2,0)A，(0,3)B，因为/ABCD，所以可设直线 CD 的方程为11223(3),2yxm mD x yC xy.由2214332xyyxm，消去 y 可得2264 34120 xmxm，所以122 33mxx，即122 33mxx.直线 AD 的斜率111113222xmykxx，直线 BC 的斜率222223332xmykxx，所以121 212333222xmxmk kxx1212112333(3)4222x xm xxxm mxx12212332 33 2 3(3)423232mmx xmxm mxx 1221233422x xxxx34，故1
27、2k k为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.19（1）,53,；（2）证明见解析.【解析】（1）分3x 、31x、1x 三种情况解不等式 48f xf x，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证bf aba fa，即证1abab，只需证明2210abab即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）22,34134,3122,1xxf xf xxxxxx .当3x 时，由228x，解得5x，此时5x；当31x 时，8f x 不成立；当1
28、x 时，由228x，解得3x，此时3x.综上所述，不等式 4f x 的解集为,53,；（2）要证abf aba f，即证1abab，因为1a，1b，所以，21a，21b，222222222212121ababa babaabba bab 2222211110abbab.所以，1abab.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.20t1【解析】把22249xyz变形为22222221991449919619614xyttztt结合基本不等式进行求解.【详解】因为2222222222199149449
29、919619614xyxyzttztt 211()714t xyzt 即22249xyz2114t，当且仅当27xt，914yt，114zt时，上述等号成立，所以218147t，即216t，又 x，y，z0，所以 xyzt1【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.21（1）见解析（2）13.【解析】（1）1AC与平面1BDC垂直，过点E作与平面1BDC平行的平面即可（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】解：（1）截面如下图所示：其中F，G，H，I，J分别为边11C D，1DD，AD，AB，
30、1BB的中点，则1AC垂直于平面EFGHIJ.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,0B，10,0,2D，1,0,0H，2,1,0I，0,0,1G，所以12,2,2BD ，1,1,0HI，1,0,1HG .设平面EFGHIJ的一个法向量为,nx y z，则00 xyxz.不妨取1,1,1n，则121cos,32 33BD n，所以1BD与该平面所成角的正弦值为13.（若将1AC作为该平面法向量，需证明1AC与该平面垂直）【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.22（1）y26x（2）14 73【解析】（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中
31、点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）抛物线 E：y22px（p0），焦点 F（2p，0）到准线 x2p 的距离为 3，可得 p3，即有抛物线方程为 y26x；（2）设线段 AB 的中点为 M（x0，y0），则12022xxx，y0122yy，kAB21212221211206366yyyyyyxxyyy，则线段 AB 的垂直平分线方程为 yy003y（x2），可得 x5，y0 是的一个解，所以 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点，且点 C（5，0），由可得直线 AB 的方程为 yy003y（x2），即 x03y（yy0）+2 代入
32、 y26x 可得 y22y0（yy0）+12，即 y22y0y+2y020 ，由题意 y1，y2是方程的两个实根，且 y1y2，所以 1y021（2y0212）1y02+180，解得23y023，|AB|221212()()xxyy 2222001212121()1()499yyyyyyy y 22222000002144 21291293yyyyy，又 C（5，0）到线段AB 的距离 h|CM|22200(52)(0)9yy，所以 S ABC12|AB|h220019123yy209y 222222300000092429111114 792429()323233yyyyyy，当且仅当 9+y02212y02，即 y05，A（6353，57），B（6353，57），或 A（6353，57），B（6353，57）时等号成立，所以 S ABC的最大值为14 73【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.