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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知倾斜角为的直线l与直线230 xy垂直，则sin（）A55 B55 C2 55 D2 55 2本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都
2、不排在最后，则不同的排表方法共有（）A72 种 B144 种 C288 种 D360 种 3一辆邮车从A地往B地运送邮件，沿途共有n地，依次记为1A，2A，nA（1A为A地，nA为B地）从1A地出发时，装上发往后面1n 地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达1A，2A，nA各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,)ka kn则ka的表达式为（）A(1)k nk B(1)k nk C()n nk D()k nk 4两圆224xay和221xyb相外切，且0ab，则2222a bab的最大值为（）A94 B9 C13 D
3、1 5下列选项中，说法正确的是（）A“20000 xRxx，”的否定是“2000 xRxx，”B若向量ab，满足0a b，则a与b的夹角为钝角 C若22ambm，则ab D“xAB”是“xAB”的必要条件 6设函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，若函数 f x在1x 处取得极大值，则函数 yxfx的图象可能是（）A B C D 7已知函数()32cosf xxx，若2(3)af，(2)bf，2(log 7)cf,则 a，b，c 的大小关系是（）Aabc Bcba Cbac Dbca 8已知数列 na的通项公式是221sin2nnan，则12312aaaa（）A0 B55 C66 D78
4、9已知0 x，0y，23xy，则23xyxy的最小值为（）A32 2 B2 21 C21 D21 10已知复数,zai aR，若|2z，则a的值为（）A1 B3 C D3 11已知函数 exfxx,关于x的方程 2140(fxmf xmmR)有四个相异的实数根,则m的取值范围是()A44,ee1 B4,3 C4e,3e1 D4e,e1 12设1,0()2,0 xx xf xx，则(2)ff（）A1 B14 C12 D32 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为 36 的正方形，则
5、该圆柱的体积为_ 14已知函数254,0()22,0 xxxf xxx，若函数()yf xa x恰有 4 个零点，则实数a的取值范围是_ 15已知双曲线22221(0)xyabab的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_ 16已知实数,x y满足330101xyxyy 则点,P x y构成的区域的面积为_，2xy的最大值为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别是12,F F，点3(1,)2P在椭圆C上，满足1294PF PF （1）求椭圆C的标准方程；（2）直线1l过点P，且
6、与椭圆只有一个公共点，直线1l与2l的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点,M N，与直线1x 交于点K（K介于,M N两点之间），是否存在直线2l，使得直线1l，2l，,PM PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l的方程，若不能，请说理由.18（12 分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列
7、 19（12 分）在ABC中，内角ABC，的对边分别是abc，已知(3)sinsinsinabAbBcC.（1）求角C的值；（2）若1+3sinsin4AB，2c，求ABC的面积 20（12 分）如图，在直三棱柱中111ABCABC，DEFG、分别是1111BCBCAACC，中点，且2 2ABAC，14BCAA.1求证：BC 平面ADE；2求点D到平面EFG的距离.21（12 分）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面11A ACC，12CC，ABC，1ACC，均为正三角形，E 为 AB 的中点 （）证明：1/AC平面1BCE；（）求斜三棱柱111ABCABC截去三棱锥1BCB
8、E后剩余部分的体积 22（10 分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一：每满 100 元减 20 元；方案二：满 100 元可抽奖一次.具体规则是从装有 2 个红球、2 个白球的箱子随机取出 3 个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0 实际付款 7 折 8 折 9 折 原价（1）该商场某顾客购物金额超过 100 元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为 180 元，选择哪种方案更划算？参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，
9、共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】倾斜角为的直线l与直线230 xy垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线l与直线230 xy垂直，所以1tan12 ，tan2.又为直线倾斜角，解得2 5sin=5.故选：D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.2B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物 4 种，且化学排在生物前面，有2412A 种排法；第二步将数学和物理插入前 4 科除最后位置外的 4 个空
10、挡中的 2 个，有2412A 种排法，所以不同的排表方法共有12 12144种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 3D【解析】根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案【详解】解：根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了(21)(1)(2)()2nkknnnk 件邮件，需要卸下(1)123(1)2kkk件邮件，则(21)(1)()22knkkkkak nk，故选：D【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题 4A【解析】由两圆相外切，得出229ab，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】因为两圆22
11、4xay和221xyb相外切 所以223ab，即229ab 2222222298192499aaaa bab 当292a 时，2222a bab取最大值8119494 故选：A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.5D【解析】对于 A 根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR，x2-x0”，即可判断出；对于 B 若向量ab，满足0a b，则a与b的夹角为钝角或平角；对于 C 当 m=0 时，满足 am2bm2，但是 ab 不一定成立；对于 D 根据元素与集合的关系即可做出判断【详解】选项 A 根据命题的否定可得：“x0R，x02-x00”的否定是“xR
12、，x2-x0”，因此 A 不正确；选项 B 若向量ab，满足0a b，则a与b的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项 C 当 m=0 时,满足 am2bm2，但是 ab 不一定成立，因此不正确；选项 D 若“xAB”，则xA且xB，所以一定可以推出“xAB”，因此“xAB”是“xAB”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.6B【解析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间 ,0,0,1,1,和0,1xx处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数 f x在R上可导，其
13、导函数为 fx，且函数 f x在1x 处取得极大值，当1x 时，0fx；当1x 时，0fx；当1x 时，0fx.0 x 时，0yxfx，01x时，0yxfx，当0 x 或1x 时，0yxfx；当1x 时，0 xfx.故选：B【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.7D【解析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x在R上为增函数，又由2222log 4log 733，分析可得答案【详解】解：根据题意，函数()32cosf xxx，其导数函数()32sinfxx，
14、则有()32sin0fxx在R上恒成立，则()f x在R上为增函数；又由2222log 4log 733，则bca；故选：D【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题 8D【解析】先分n为奇数和偶数两种情况计算出21sin2n的值，可进一步得到数列 na的通项公式，然后代入12312aaaa转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n为奇数时，213sinsinsinsin12222nn，当n为偶数时，21sinsinsin1222nn 所以当n为奇数时，2nan；当n为偶数时，2nan，所以12312aaaa 2222221234
15、1112 222222(21)(43)(1211)(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)1 2 3 411 12 121+122（）78 故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.9B【解析】23xyxy2(2)2211212 2xxy yxyxyxyyxyx ,选 B 10D【解析】由复数模的定义可得：212za，求解关于实数a的方程可得：3a .本题选择 D 选项.11A【解析】exfxx=e,0e,0 xxxxxx,当0 x 时 2e10,1,0,1xxfxxxx时,f x单调递减，1,x时
16、,f x单调递增,且当 0,1,e,xf x时,当 1,e,xf x时,当0 x 时，2e10 xxfxx恒成立，,0 x 时,f x单调递增且 0,f x,方程 2140(fxmf xmmR)有四个相异的实数根.令 2,14f xt tmtm=0则2120,e1 e40te temm,201 040mm且,即44,ee1m .12C【解析】试题分析：21224f，11112114422fff 故 C 正确 考点：复合函数求值 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1354【解析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积
17、是 36，所以圆柱的底面直径和高都是 6 223654Vr h 故答案为：54【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.14(1,3)【解析】函数()yf xa x恰有 4 个零点，等价于函数()f x与函数ya x的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数()yf xa x恰有 4 个零点，等价于函数()f x与函数ya x的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数a的取值范围是13a.故答案为：(1,3)【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.152【解析】双曲线22221(0,
18、0)xyabab的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为 1，即ba，即可求出双曲线的离心率【详解】解：双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为 1，即ba，2ca，2cea，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为 1 是关键，属于基础题 168 11 【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长8BC，高为2，故区域面积18 282S ；令2zxy，变为
19、2yxz，显然直线2yxz 过(6,1)B时，z 最大，故2 6 111maxz.故答案为：8；11.【点睛】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）22143xy；（2）不能，理由见解析【解析】（1）设12(,0),0FcF c，则21299144PF PFc，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线1l的方程为3(1)2yk x，联立直线与椭圆的方程可求得12k ，则直线2l斜率为12，设其方程为11221,(,),(,)2yxt M x yN xy，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN关于1
20、x 对称，可求得1211,22llkk，假设存在直线2l满足题意，设,PMPNkk kk，可得12k，由此可得答案【详解】解：（1）设12(,0),0FcF c，则21299144PF PFc，21,2,3cab，所以椭圆方程为22143xy；（2）设直线1l的方程为3(1)2yk x，与22143xy联立得222(34)4(32)(32)120kxkk xk，10,2k ，因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l斜率为12，设直线的方程为11221,(,),(,)2yxt M x yN xy，联立整理得2222121230,0,4,3xtxttxxt x xt ，121212121233(2)(
21、)(23)22011(1)(1)PMPNyyx xtxxtkkxxxx，所以,PM PN关于1x 对称，由正弦定理得,sinsinsinsinPMMKPNNKPKMMPKPKNNPK，因为,180MPKNPKPKMPKN,所以PMKNPNKM，由上得1211,22llkk，假设存在直线2l满足题意，设,PMPNkk kk，1 1,2 2k k按某种排列成等比数列，设公比为q，则1q ，所以12k，则此时直线PN与2l平行或重合，与题意不符，所以不存在满足题意的直线2l【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题 18（1）310；（2）见解析.【解析】（1）利用独
22、立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知随机变量X的可能取值有200、300、400，计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此可得出随机变量X的分布列.【详解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则 2335410P A；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为200、300、400 则2225120010AP XA，3112323235331000AC C AAP X，31331105(400)21100000P XP XP X 故X的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 35【点睛】本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量
23、分布列，考查计算能力，属于基础题.19（1）6C；（2）13【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得2223abcab，再根据余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得4sinaA，4sinbB，代入得4(13)ab，运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】（1）由(3)sinsinsinabAbBcC及正弦定理得22(3)ab abc=，即2223abcab 由余弦定理得2223cos22abcCab，0C，6C.（2）设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得224sinsin6cRC，2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB，16sinsin4(13)abAB 111sin
24、4(13)13222ABCSabC.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.20（1）详见解析；（2）4 33.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）取DE中点为H,则FHAD,证得FH 平面11BCC B,利用等体积法D EFGF DEGVV求解即可.【详解】（1）因为2 2ABAC，4BC，ABAC，D是BC的中点，ADBC，111ABCABC为直三棱柱，所以1AA 平面ABC，因为D E，为11BCBC，中点，所以1/DEAA DE平面ABC，DEBC，又ADDED,BC平面A
25、DE（2）2 2,4ABACBC，又,E F G分别是111BCAACC，中点，2 2EFFGEG.由（1）知ADBC，1BBAD,又1BBBCBAD平面11BCC B,取DE中点为H,连接DG如图,则FHAD，FH平面11BCC B，设点D到平面EFG的距离为h，由D EFGF DEGVV，得1133EFGDEGh SFH S，即213112 222 22 23432h ，解得4 33h，点D到平面EFG的距离为4 33.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.21
26、（）见解析；（）52【解析】（）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接1BC，交1BC于点 M，连接 ME，证明1/MEAC；（）由题意可知点1B到平面 ABC 的距离等于点1C到平面 ABC 的距离，根据体积公式剩余部分的体积是1 111ABCA B CBBCEVV.【详解】（）如图，连接1BC，交1BC于点 M，连接 ME，则1/MEAC 因为1AC 平面1BCE，ME 平面1BCE，所以1/AC平面1BCE（）因为11BC平面 ABC，所以点1B到平面 ABC 的距离等于点1C到平面 ABC 的距离 如图，设 O 是 AC 的中点，连接1OC，OB因为1ACC为正三角形，所以1OCA
27、C，又平面ABC 平面11A ACC，平面ABC平面11A ACCAC，所以1OC 平面 ABC 所以点1C到平面 ABC 的距离13OC，故三棱锥1BBCE的体积为 111111111133332322BBCEBCEVSOCBE CE OC 而斜三棱柱111ABCABC的体积为1111233322ABCVSOCAB CE OC 所以剩余部分的体积为15322 【点睛】本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法 1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是
28、构造三角形中位线.22（1）12（2）选择方案二更为划算【解析】（1）计算顾客获得 7 折优惠的概率118P，获得 8 折优惠的概率238P，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为 126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.【详解】（1）该顾客获得 7 折优惠的概率312148P，该顾客获得 8 折优惠的概率2223223448PC，故该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率12131882PPP.（2）若选择方案一，则付款金额为18020160.若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为 126，144，162，180.323113(126),(144)828P XP XC，3310331311(162),(180)2828P XCP XC，则13311261441621801538888EX.因为160153，所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.