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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知函数 yf x是定义在R上的奇函数，函数()f x满足()4f xf x，且0,1x时，2()log1f xx，则20182019ff（）A2 B2 C1 D1 2已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）
2、A内切 B相交 C外切 D相离 3我们熟悉的卡通形象“哆啦 A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为 100 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）A400 米 B480 米 C520 米 D600 米 4将函数sin 2yx的图像向左平移(0)个单位得到函数sin 26yx的图像，则的最小值为（）A6 B12 C1112 D56 55
3、()(2)xyxy的展开式中33x y的系数为()A30 B40 C40 D50 6已知定义在R上的可导函数 f x满足 10 xf xx fx，若3(2)yfxe是奇函数，则不等式1()20 xx f xe的解集是（）A,2 B,1 C2,D1,7设ln3a，则lg3b，则（）Aababab Bababab Cababab Dababab 8已知三棱锥DABC的体积为 2，ABC是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是CD中点，则球O的表面积为（）A523 B403 C253 D24 9函数 sinf xAx（其中0A，0，2）的图象如图，则此函数表达式为（）A 3
4、sin 24fxx B 13sin24f xx C 3sin 24f xx D 13sin24f xx 10执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A40322017 B20152016 C20162017 D20151008 11已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的 个顶点都在球 的球面上 若，,ABAC112AAO，则球 的半径为()A3 172 B2 10 C132 D3 10 12 已知变量 x，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为2.10.58yx，则表中数据 m 的值为（）变量 x 0 1 2 3 变量 y m 3 5.5 7 A0.9 B0.85 C
5、0.75 D0.5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知关于x的不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，则实数a的取值范围为_ 14某地区连续 5 天的最低气温（单位：）依次为 8，4，1，0，2，则该组数据的标准差为_.15在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是_吨.16根据如图所示的伪代码，输出I的值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，已知抛物线E：24yx与圆M：2223 xyr（0r）相交于
6、A，B，C，D四个点，（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.18（12 分）已知函数()2()f xlnxax aR，2()12()g xxf x.（1）当1a 时，求函数()f x在点 1,1Af处的切线方程；比较()f m与1()fm的大小;（2）当0a 时，若对(1,)x 时，()0g x，且()g x有唯一零点，证明：34a 19（12 分）已知点 P 在抛物线220Cxpy p：上，且点 P 的横坐标为 2，以 P 为圆心，PO为半径的圆（O 为原点），与抛物线 C 的准线交于 M，N 两点，且2MN （1）求抛物线
7、C 的方程；（2）若抛物线的准线与 y 轴的交点为 H 过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B，且ABHB，求AFBF的值 20（12 分）已知函数2()2xf xexab（xR）的图象在0 x 处的切线为ybx（e为自然对数的底数）（1）求,a b的值；（2）若kZ，且21()(352)02f xxxk对任意xR恒成立，求k的最大值.21（12 分）设函数 f xxaxb，（1）当1a，2b，求不等式 6f x 的解集；（2）已知0a，0b，f x的最小值为 1，求证：14921214ab.22（10 分）已知函数32()21f xxmxm.（1）讨论()f x的单调性；（
8、2）若函数()f x在区间0,)上的最小值为3，求 m 的值.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】()4f xf x说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值【详解】由()4f xf x知函数()f x的周期为 4，又()f x是奇函数，(2)(2)ff，又(2)(2)ff，(2)0f，201820192301011ffffff 故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础 2B【解析】化简圆到直线的距离，又 两圆相交.选 B 3B【
9、解析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为y米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx，解得10021x；且满足2100yx，故解得塔高100220021480yx米，即塔高约为 480 米.故选：B【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.4B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可【详解】将函数sin 2yx的图象向左平移(0)个单位，得到sin 2()sin(22)yxx，此时与函数sin(2)6yx的图象重
10、合，则226k，即12k，kZ，当0k 时，取得最小值为12，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键 5C【解析】先写出52xy的通项公式，再根据33x y的产生过程，即可求得.【详解】对二项式52xy，其通项公式为 555155221rrrrrrrrrTCxyCxy 5()(2)xyxy的展开式中33x y的系数 是52xy展开式中23x y的系数与32x y的系数之和.令3r，可得23x y的系数为 33252140C；令2r，可得32x y的系数为 22352180C；故5()(2)xyxy的展开式中33x y的系数为80404
11、0.故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.6A【解析】构造函数 xx f xg xe，根据已知条件判断出 g x的单调性.根据32yf xe是奇函数，求得 2f的值，由此化简不等式1()20 xx f xe求得不等式的解集.【详解】构造函数 xx f xg xe，依题意可知 10 xxfxx fxgxe，所以 g x在R上递增.由于32yf xe是奇函数，所以当0 x 时，320yfe，所以 32fe，所以 32222egee.由1()20 xx f xe得 22xx f xg xege，所以2x，故不等式的解集为,2.故选：A【点睛】本
12、小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7A【解析】根据换底公式可得ln3ln10b，再化简,ab ab ab，比较ln3,ln101,ln101的大小，即得答案.【详解】10ln3lg3log3ln10b，ln3 ln101ln3 ln10 1ln3ln3ln3,ln3ln10ln10ln10ln10abab，ln3 ln3ln10ab.ln30,ln100，显然abab.310,ln 3ln10ee,即ln3 1ln10,ln3ln101，ln3 ln10 1ln3 ln3ln10ln10，即abab.综上，ababab.故选
13、：A.【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.8A【解析】根据O是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设D点到平面ABC的距离为h，因为O是CD中点，所以O到平面ABC的距离为2h，三棱锥DABC的体积11 122sin60233 2ABCVShh，解得23h，作OO平面ABC，垂足O为ABC的外心，所以2 33CO，且32hOO，所以在Rt CO O中，22133OCCOOO，此为球的半径，213524433SR.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题 9B【解析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出，通过
14、图象经过点3,02，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知3A，534422T，则2142，图中的点3,02应对应正弦曲线中的点(,0)，所以1322，解得4，故函数表达式为 13sin24f xx 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.10D【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336stististi 直至1111,2016;12123122015ti 结束循环，输出1111111112(1)1212312201522320152016t 120152(1)201610
15、08，选 D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11C【解析】因为直三棱柱中，AB3，AC4，AA112，ABAC，所以 BC5，且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径取 BC中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1内，矩形 BCC1B1的对角线长即为球直径，所以 2R2212513，即 R132 12A【解析】计算,x y，代入回归方程可得【详解】由题意0 1231.54x，35
16、.5715.544mmy，15.52.1 1.50.854m，解得0.9m 故选：A.【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13,3 【解析】先将不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立,转化为3ln1lnxxexax任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxxexf xx，求出 f x在1,内的最小值,即可求出a的取值范围.【详解】解：由题可知，不等式3ln1xexaxx对于任意(1,)x恒成立，即33ln3ln31111lnlnlnlnxxxxxxexx exeexex
17、xaxxxx，又因为(1,)x，ln0 x，3ln1lnxxexax对任意(1,)x恒成立，设 3ln1lnxxexf xx，其中1,x，由不等式1xex，可得：3ln3ln1xxexx，则 3ln13ln113lnlnxxexxxxf xxx ，当3ln0 xx时等号成立，又因为3ln0 xx在1,内有解，min3f x，则 min3af x，即：3a ，所以实数a的取值范围：,3.故答案为：,3.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.144【解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的
18、标准差【详解】解：某地区连续 5 天的最低气温（单位：C)依次为 8，4，1，0，2，平均数为：18410215，该组数据的方差为：2222221(81)(41)(1 1)(01)(21)165S ，该组数据的标准差为 1 故答案为：1【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 1510【解析】根据已知数据直接计算即得.【详解】由题得，9.49.79.8 10.310.8105x.故答案为：10【点睛】本题考查求平均数，是基础题.167【解析】表示初值 S=1,i=1，分三次循环计算得 S=100,输出 i=7.【详解】S=
19、1,i=1 第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7；S=109,循环结束，输出：i=7.故答案为：7【点睛】本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）2 23r（2）点P的坐标为1(,0)3【解析】1将抛物线方程24yx与圆方程2223 xyr联立,消去y得到关于x的一元二次方程,抛物线E与圆M有四个交点需满足关于x的一元二次方程在0,上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于r的不等
20、式组,解不等式即可.2不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，据此可表示出直线AD、BC的方程,联立方程即可表示出点P坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S的表达式,令12tx x,由29tr及 1知01t,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD的面积取得最大值时t的值,进而求出点P坐标.【详解】（1）联立抛物线与圆的方程22224,3,yxxyr 消去y，得22290 xxr.由题意可知22290 xxr在0,上有两个不等的实数根.所以2244 90,90,r
21、r 解得2 23r，所以r的取值范围为2 2,3r.（2）根据（1）可设方程22290 xxr的两个根分别为1x，2x（120 xx），则11(,2)A xx，11(,2)B xx，22(,2)C xx，22(,2)D xx，且122xx，2129x xr，所以直线AD、BC的方程分别为 121112222xxyxxxxx，121112222xxyxxxxx,联立方程可得,点P的坐标为12,0 x x，因为四边形ABCD为等腰梯形,所以211221114422SABCDxxxxxx 222121212122242 22 944 9xxx xxxx xrr，令290,1tr，则 22324 22
22、44321f tSttttt ，所以 232 321321 31fttttt ，因为01t,所以当103t 时,0ft；当113t 时,0ft，所以函数 f t在1(0,)3上单调递增，在1(,1)3上单调递减，即当13t 时，四边形ABCD的面积S取得最大值，因为12x xt,点P的坐标为12,0 x x,所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时,点P的坐标为1(,0)3.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大
23、型试题.18（1）见解析，见解析；（2）见解析【解析】（1）把1a 代入函数解析式，求出函数的导函数得到 1f，再求出 1f，利用直线方程的点斜式求函数()f x在点A处的切线方程；令1122()()()2()22h mf mflnmmlnlnmmmmmm，利用导数研究函数的单调性，可得当01m时，1()()f mfm；当1m 时，1()()f mfm；当1m时，1()()f mfm（2）由题意，21240 xlnxax，()g x在(1,)上有唯一零点201xaa 利用导数可得当0(1,)xx时，()g x在0(1,)x上单调递减，当0(xx，)时，()g x在0(x，)上单调递增，得到0(
24、)()ming xg x由()0g x在(1,)恒成立，且()0g x 有唯一解，可得00()0()0g xg x，得200000212(2)0 xlnxxxx，即200230lnxx令2000()23h xlnxx，则0002()2h xxx，再由0()0h x在(1,)上恒成立，得0()h x在(1,)上单调递减，进一步得到0011()2axx在(1,2)上单调递增，由此可得34a 【详解】解：（1）当1a 时，()2f xlnxx，1()2fxx，11f ，又(1,2)A，切线方程为2(1)yx，即10 xy；令1122()()()2()22h mf mflnmmlnlnmmmmmm，则
25、222222(1)()20mmh mmmm，()h m在(0,)上单调递减 又 10h，当01m时，()0h m，即1()()f mfm；当1m 时，()0h m，即1()()f mfm；当1m时，()0h m，即1()()f mfm 证明：（2）由题意，21240 xlnxax，而222(21)()24xaxg xxaxx，令()0g x，解得21xaa 0a，211aa，()g x 在(1,)上有唯一零点201xaa 当0(1,)xx时，()0g x，()g x在0(1,)x上单调递减，当0(xx，)时，()0g x，()g x在0(x，)上单调递增 0()()ming xg x()0g
26、x在(1,)恒成立，且()0g x 有唯一解，00()0()0g xg x，即00200022401 240 xaxxlnxax，消去a，得200000212(2)0 xlnxxxx，即200230lnxx 令2000()23h xlnxx，则0002()2h xxx，0()0h x在(1,)上恒成立，0()h x在(1,)上单调递减，又 120h，22 210hln ，012x 0011()2axx在(1,2)上单调递增，34a【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题 19(1)24xy(2)4【解析】（1）将
27、点 P 横坐标代入抛物线中求得点 P 的坐标，利用点 P 到准线的距离 d 和勾股定理列方程求出 p 的值即可；（2）设 A、B 点坐标以及直线 AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AFBF的值即可【详解】（1）将点 P 横坐标2Px 代入22xpy中，求得2Pyp，P（2，2p），2244OPp，点 P 到准线的距离为22pdp，222|2MNOPd，22222212ppp，解得24p，2p，抛物线 C 的方程为：24xy；（2）抛物线24xy的焦点为 F（0，1），准线方程为1y ，01H，；设1122A xyB xy，直线 AB 的方程为1yk
28、x，代入抛物线方程可得2440 xkx，121244xxkx x，由ABHB，可得1ABHBkk，又111ABAFykkx，221HBykx，1212111yyxx，121 2110yyx x，即2212121111044xxx x，22221212121110164x xxxx x，把代入得，221216xx，则22121211|1116444AFBFyyxx 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题 20(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x求导得 2xfxex，根据函数()f x的图象在0 x 处的切
29、线为ybx，列出方程组，即可求出,a b的值；（2）由（1）可得 21xf xex，根据 2135202fxxxk对任意xR恒成立，等价于215122xkexx对任意xR恒成立，构造 215122xh xexx，求出 h x的单调性，由 00h，10h，102h，304h，可得存在唯一的零点01 3,2 4x，使得 00h x，利用单调性可求出 0minh xh x，即可求出k的最大值.（1）22xf xexab，2xfxex.由题意知 01201011fabafbb .（2）由（1）知：21xf xex，21 35202f xxxk对任意xR恒成立 2151022xexxk 对任意xR恒成立
30、 215122xkexx对任意xR恒成立.令 215122xh xexx，则 52xh xex.由于 10 xhxe，所以 h x在R上单调递增.又 3002h，3102he，121202he，343737104444he，所以存在唯一的01 3,2 4x，使得 00h x，且当0,xx 时，0h x，0,xx时，0h x.即 h x在0,x单调递减，在0,x 上单调递增.所以 02000min15122xh xh xexx.又 00h x，即00502xex，005 2xex.2200000051511732222h xxxxxx.01 3,2 4x，0271,328h x.又因为21512
31、2xkexx对任意xR恒成立 0kh x，又kZ，max1k.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21（1）5|2x x 或72x；（2）证明见解析【解析】（1）将 f x化简，分类讨论即可；（2）由（1）得1ab，14114(21)(21)21214 2121ababab，展开后再利用基本不等式即可.【详解】（1）当1a 时，21,1()213,1221,2xxf xxxxxx ，所以1()6216xf xx 或1236x 或2
32、216xx 解得52x 或72x，因此不等式 6f x 的解集的5|2x x 或72x （2）()|()()|1f xxaxbxaxbab 根据 21214ab 14114(21)(21)21214 2121ababab 1214(21)542121baab 19(52 4)44，当且仅当15,66ab时，等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.22（1）见解析 （2）3m 【解析】（1）先求导，再对 m 分类讨论，求出()f x的单调性；（2）对 m 分三种情况讨论求函数()f x在区间0,)上的最小值即得解.【详解】
33、（1）2()622(3)fxxmxxxm 若0m，当(,0),3mx 时，()0fx；当0,3mx时.()0fx，所以()f x在(,0),3m上单调递增，在0,3m上单调递减 若0,()0mfx.()f x在 R 上单调递增 若0m，当,(0,)3mx 时，()0fx；当,03mx 时.()0fx，所以()f x在,(0,)3m 上单调递增，在,03m上单调递减 （2）由（1）可知，当0m 时，()f x在0,)上单调递增，则min()(0)13f xfm .则-4m不合题意 当0m时，()f x在0,3m上单调递减，在,3m上单调递增.则33min2()133279mmmf xfm ，即34027mm 又因为3()427mg mm单调递增，且(3)0g，故3m 综上，3m 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.