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1、2023 年高考数学模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数21 i(i 为虚数单位)的共轭复数是 A1+i B1i C1+i D1i 2已知向量3,2AB，5,1AC，则向量AB与BC的夹角为（）A45 B60 C
2、90 D120 3已知函数()lnf xx，若2()()3F xf xkx有 2 个零点，则实数k的取值范围为（）A21,06e B1,06e C10,6e D210,6e 4若直线2ykx与曲线13lnyx 相切，则k（）A3 B13 C2 D12 5设复数z满足2zizi（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6在区间3,3上随机取一个数x，使得301xx成立的概率为等差数列 na的公差，且264aa，若0na，则n的最小值为（）A8 B9 C10 D11 7函数 sin0,02g xAxA的部分图象如图所示，已知 5036gg，函数
3、 yf x的图象可由 yg x图象向右平移3个单位长度而得到，则函数 f x的解析式为（）A 2sin 2f xx B 2sin 23fxx C 2sinf xx D 2sin 23fxx 8已知定义在R上函数 f x的图象关于原点对称，且120fxfx，若 11f，则 1(2)(3)(2020)ffff（）A0 B1 C673 D674 9执行如图所示的程序框图，若输入ln10a，lgbe，则输出的值为（）A0 B1 C2lge D2lg10 10设0.50.82a，sin1b，lg3c，则a，b，c三数的大小关系是 Aacb Babc Ccba Dbca 11已知集合2,1,0,1A，22
4、*|,Bx xaaN，若AB，则a的最小值为（）A1 B2 C3 D4 12 数列an，满足对任意的 nN+，均有 an+an+1+an+2为定值.若 a7=2，a9=3，a98=4，则数列an的前 100 项的和 S100=()A132 B299 C68 D99 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数()xf xa(a0 且 a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则 a 的取值范围是_ 14直线l是圆1C：22(1)1xy与圆2C：22(4)4xy的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则AOB的面积为_ 15如果抛物线22
5、ypx上一点4,Am到准线的距离是 6，那么m _.16已知非零向量a，b满足2ba，且baa，则a与b的夹角为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数 2xaxfxe，直线1yxe为曲线 yf x的切线（e为自然对数的底数）（1）求实数a的值；（2）用min,m n表示,m n中的最小值，设函数 1min,0g xfxxxx，若函数 2h xg xcx为增函数，求实数c的取值范围 18（12 分）如图，在正四棱锥PABCD中，2AB，3APC，M为PB上的四等分点，即14BMBP （1）证明：平面AMC 平面PBC；（2）求平面PDC与平
6、面AMC所成锐二面角的余弦值 19（12 分）2018 年反映社会现实的电影 我不是药神 引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急 为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）2 3 6 10 13 15 18 21 销量y（万盒）1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6（1）求y与x的相关系数r精确到 0.01，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r 时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型1A，2A，3A，并对其进行两次检
7、测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测第一次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A，2A，3A合格的概率分别为45，12，23两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A，2A，3A三类剂型合格的种类数为X，求X的数学期望 附：（1）相关系数1222211niiinniiiix ynxyrxnxyny（2）81347iiix y，8211308iix，82193iiy，178542.25 20（12 分）如图，点T为圆O：221xy上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得BAAP，点P的轨迹记为曲
8、线C.（1）求曲线C的方程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，且1AB，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由.21（12 分）,a b c分别为ABC的内角,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA.（1）若1,6bA，求sinB；（2）已知3C，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.22（10 分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2cos4sin0，直线1l和直线2l的极坐标方程分别是（R）和2（R），其中k（kz）.（1）写出
9、曲线C的直角坐标方程；（2）设直线1l和直线2l分别与曲线C交于除极点O的另外点A，B，求OAB的面积最小值.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】分析：化简已知复数 z，由共轭复数的定义可得 详解：化简可得 z=21 i2 1+=111iiii z 的共轭复数为 1i.故选 B 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题 2C【解析】求出2,3BCACAB，进而可求 3 2230AB BC ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，2,3BCACAB.则 3 2230AB BC
10、所以ABBC，则向量AB与BC的夹角为90.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos,a ba ba b 进行计算.3C【解析】令2()()30F xf xkx，可得2ln3xkx，要使得()0F x 有两个实数解，即yk和2ln()3xg xx有两个交点，结合已知，即可求得答案.【详解】令2()()30F xf xkx，可得2ln3xkx，要使得()0F x 有两个实数解，即yk和2ln()3xg xx有两个交点，312ln()3xg xx，令1 2ln0 x，可得ex，当(0,e)x时，()0g x，函数()g x在(0,e)上单
11、调递增；当(e,)x时，()0g x，函数()g x在(,)e 上单调递减.当ex 时，max1()6eg x，若直线yk和2ln()3xg xx有两个交点，则10,6ek.实数k的取值范围是10,6e.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4A【解析】设切点为00(,2)x kx，对1 3lnyx 求导，得到3yx，从而得到切线的斜率03kx，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为00(,2)x kx，3yx，0003,21 3ln,kxkx
12、x 由得03kx，代入得013ln1x，则01x，3k，故选 A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.5A【解析】由复数的除法运算可整理得到z，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由2zizi得：2121 313111222iiiiziiii，z对应的点的坐标为1 3,2 2，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.6D【解析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数
13、列的公差，利用条件2642aaa，求得42a ，从而求得1033nna ，解不等式求得结果.【详解】由题意，本题符合几何概型，区间3,3长度为 6，使得301xx成立的x的范围为1,3，区间长度为 2，故使得301xx成立的概率为2163d，又26442aaa ，42a，11024333nnan ，令0na，则有10n，故n的最小值为 11，故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.7A【解析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T，利用周期公式可得，再根据图像过,0,0,36，即可求出,A，
14、再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知522662T，即T，所以2T，解得2，又sin 2066gA，所以3kk Z，由02，所以23或53，又 03g，所以sin3A，0A，所以23，2A，即 22sin 23g xx，因为函数 yf x的图象由 yg x图象向右平移3个单位长度而得到，所以 22sin 22sin233yf xxx.故选：A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.8B【解析】由题知 f x为奇函数，且120fxfx可得函数 f x的周期为 3，分别求出 00f，11f，21f ，知
15、函数在一个周期内的和是 0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为 f x为奇函数，故 00f；因为120fxfx，故122fxfxf x，可知函数 f x的周期为 3；在120fxfx中，令1x，故 211ff ，故函数 f x在一个周期内的函数值和为 0，故(1)(2)(3)(2020)(1)1fffff.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 9A【解析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入ln10
16、a，lgbe，因为ln101lge，所以由程序框图知，输出的值为11ln10ln10ln100lgabe.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.10C【解析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将 a，b，c 与45，12比较即可.【详解】由0.50.540.820.8=5a，1334sin1sin23245b，11lg3lg 10lg1022c，所以有cba.选 C.【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.11B【解析】解出22xa,分别代入选项中a 的值进行
17、验证.【详解】解：22xa，axa.当1a 时,1,0,1B ，此时AB不成立.当2a 时,2,1,0,1,2B ，此时AB成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.12B【解析】由12nnnaaa为定值，可得3nnaa，则 na是以 3 为周期的数列，求出123,a a a，即求100S.【详解】对任意的n+N，均有12nnnaaa为定值，123120nnnnnnaaaaaa，故3nnaa，na是以 3 为周期的数列，故17298392,4,3aaaaaa，100123979899100123133Saaaaaaaaaaa 33 2432299.故选：B.【
18、点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13(1，2ee)【解析】()xf xa在定义域m，n上的值域是m2，n2，等价转化为()xf xa与2yx的图像在(1，)上恰有两个交点，考虑相切状态可求 a 的取值范围.【详解】由题意知：()xf xa与2yx的图像在(1，)上恰有两个交点 考查临界情形：0 xya与2yx切于0 x，0022200000(1,)ln2xeexaxaeaeaax 故答案为：2(1,)ee.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.1422【解析】根据题
19、意画出图形，设,OAa OBb，利用三角形相似求得,a b的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设,OAa OBb，由2ABC与2ADC相似，可得1142aa，解得2a，再由AOB与2AEC相似，可得2413bb，解得22b，由三角形的面积公式，可得AOB的面积为112222222Sab.故答案为：22.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.154 2【解析】先求出抛物线22ypx的准线方程，然后根据点4,Am到准线的距离为 6，列出462p，直接求出结果.【详解】抛物线22ypx的准线方
20、程为2px ，由题意得462p，解得4p.点4,Am在抛物线22ypx上，22 4 4m ，4 2m ，故答案为：4 2.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.163（或写成60）【解析】设a与b的夹角为，通过baa，可得=0baa，化简整理可求出cos，从而得到答案.【详解】设a与b的夹角为 baa 可得=0baa，2=0a ba 故2cos=0aba，将2ba代入可得 得到1cos2，于是a与b的夹角为3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为 0 是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.三、解答题：共 70 分。解答应写
21、出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）01ax；（2）31,2e.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于1e求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得01ax；（2）设 f x与1xx交点的横坐标为0 x，利用导数求得 0201,01min,xxxxxg xf xxxxxxe，从而 2022201,0,xxcxxxxh xg xcxxcxxxe，然后利用 0h x 求得c的取值范围为31,2e.试题解析：（1）对 f x求导得 2222?xxxxxxxex efxaaee 设直线1yxe与曲线 yf x切于点00,P x y，则 0020000121xxaxxeexx
22、aee，解得01ax，所以a的值为 1 （2）记函数 211,0 xxF xf xxxxxex，下面考察函数 yF x的符号，对函数 yF x求导得 2211,0 xxxFxxex 当2x 时，0Fx恒成立 当02x时，22212xxxx，从而 2222211111111 10 xxxxFxexexxx 0Fx在0,上恒成立，故 yF x在0,上单调递减 214310,202FFee，120FF，又曲线 yF x在1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的01,2x，使 00F x 00,0 xxF x；0,xx，0F x，0201,01min,xxxxxg xf xxx
23、xxxe，从而 2022201,0,xxcxxxxh xg xcxxcxxxe，020112,022,xcxxxxh xxxcx xxe，由函数 2h xg xcx为增函数，且曲线 yh x在0,上连续不断知 0h x在00,x，0,x 上恒成立 当0 xx时，220 xxxcxe在0,x 上恒成立，即22xxce在0,x 上恒成立，记 02,xxu xxxe，则 03,xxuxxxe，当x变化时，,u x u x变化情况列表如下：x 0,3x 3 3,u x 0 u x 极小值 3min13u xu xue极小，故“22xxce在0,x 上恒成立”只需 3min12cu xe，即312ce
24、当00 xx时，2112h xcxx，当0c时，0h x在00,x上恒成立，综合知，当312ce 时，函数 2h xg xcx为增函数 故实数c的取值范围是31,2e 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得 1min,0g xfxxxx的表达式，然后再求得 h x的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求c的取值范围了.18（1）答案见解析（2）217【解析】（1）根据题意可得2 2PBP
25、DPAPC，在PAM中，利用余弦定理可得AMPB，然后同理可得CMPB，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以D为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为1n，AMC的法向量为2n，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）由22 2ABAC 由2 23APCPAPCAC 因为是正四棱锥，故2 2PBPDPAPC 于是22BM，322PM 由余弦定理，在PAB中，设APB 2223cos24PAPBABPA PB 再用余弦定理，在PAM中，2222cosAMPAPMPA PM72 22271422AMMBAB AMB是直角，AMPB 同理CMPB，而PB在平面PBC上，平面AMC 平面P
26、BC（2）以D为原点建立直角坐标系，如图：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,6),(2,2,0)DCAPB 设面PDC的法向量为1n，AMC的法向量为2n 则1(0,2 6,2)nPDDC 2nPB，取2(1,1,6)nPB 于是，二面角的余弦值为：121221cos7|n nnn【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.19（1）0.98;可用线性回归模型拟合（2）65【解析】（1）根据题目提供的数据求出,x y，代入相关系数公式求出r，根据r的大小来确定结果；（2）求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次
27、检测后1A，2A，3A三类剂型合格的种类数为X，X服从二项分布235XB,，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知236 1021 13 15 18118x，1 122.563.53.54.538y，由公式3478 11 3830.98340212 1785r，0.980.75r，y与x的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为 1142255AP，2412525AP，3322535AP，由题意，235XB,，26355E X.【点睛】本题考查相关系数r的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20（1）2214xy（2）不存在；详见解析
28、【解析】（1）设0(T x，0)y，(,)P x y，通过BAAP，即A为PB的中点，转化求解，点P的轨迹C的方程（2）设直线l的方程为ykxt，先根据|1AB，可得2221ttk，再根据韦达定理，点在椭圆上可得22441tk，将代入可得42410kk，该方程无解，问题得以解决【详解】（1）设,P x y，00,T x y，则0,0A x，00,By，由题意知BAAP，所以A为PB中点，由中点坐标公式得00202xxyy，即002xxyy，又点T在圆O：221xy上，故满足22001xy，得2214xy.曲线C的方程2214xy.（2）由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为ykxt
29、，因为1ABOT，故221ttk，即2221ttk，联立2214ykxtxy，消去y得：222418410kxktxt，设11,M x y，22,N x y，122841ktxxk，21224141tx xk，1212282241ktyyk xxtktk2241tk，因为四边形OMQN为平行四边形，故2282,41 41kttQkk，点Q在椭圆上，故222282411441kttkk，整理得22441tk，将代入，得42410kk，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题 21（1）1sin8
30、B（2）513【解析】（1）根据正弦定理，将sin4sin8sinaABA，化角为边，即可求出a，再利用正弦定理即可求出sinB；（2）根据3C，选择in12sSabC，所以当ABC的面积取得最大值时，ab最大，结合（1）中条件48ab，即可求出ab最大时，对应的,a b的值，再根据余弦定理求出边c，进而得到ABC的周长【详解】（1）由sin4sin8sinaABA，得48a aba，即48ab.因为1b，所以4a.由41sinsin6B，得1sin8B.（2）因为482 44ababab，所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立.因为ABC的面积11sin4 sin3223SabC.所以当4
31、4ab时，ABC的面积取得最大值，此时222412 4 1 cos133c ，则13c，所以ABC的周长为513.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力 22（1）24xy；（2）16.【解析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）利用极径的几何意义，联立曲线C，直线1l，直线2l的极坐标方程，得出|,|OAOB，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出OAB的面积最小值.【详解】（1）曲线C：2cos4sin0，即22cos4sin0 化为直角坐标方程为：24xy；（2）2cos4sin0124sincos，即124sin|cosOA 同理2224sin4cos2|sincos2OB 2211 4sin4cos816|1622 cossinsincos|sin 2|OABSOA OB 当且仅当sin21，即4k（kz）时取等号 即OAB的面积最小值为 16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.