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1、初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识一.本周教学容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算学习目标1.正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正 n 边形的半径，边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。2.正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的方法，解决一些问题。3.边数一样的正多边形是相似多边形，具有以下性质：1半径或边心距的比等于相似比。2面积的比等于边心距或半径的比的平方，即相似比的平方。4.由于正 n 边形的 n 个顶点 n 等分它的外接圆，
2、因此画正n 边形实际就是等分圆周。1画正 n 边形的步骤：将一个圆 n 等分，顺次连接各分点。2用量角器等分圆先用量角器画一个等于3601的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得nn到圆的 n 等分点，连结各分点即得此圆的接正n 边形。5.对于一些特殊的正 n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。6.圆周长公式：C 2R，其中 C 为圆周长，R 为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。7.n的圆心角所对的弧的弧长：lnR180360，等于中心角。nn 表示 1的圆心角的度数，不带单位。8.正 n 边形的每个角都等于n 2
3、180n，每个外角为二.重点、难点：1.学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。只有正五边形、正四边形对角线相等。2.学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。例 1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是A.232 22 3B.C.D.3333解：解：如下图，BF2，过点 A 作 AGBF 于 G，则 FG1又FAG60应选 B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。例 2.正三角形的边心距、半径和高的比是A.123B.123C.123D.123解：解：如下图，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径
4、，AD 是高设OD r，则 AO2r，AD3rODAOADr2r3r123应选 A点拨：正三角形的心也是重心，所以心到对边的距离等于到顶点距离的1。通过这个定理可以使问题得到解决。2例 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是A.S3S4S6B.S6 S4 S3C.S6S3S4D.S4 S6 S3解析：设它们的周长为l，则正三角形的边长是a311l，正四边形的边长为a4l，正六边形的边长为43a61l6应选 B点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。例 4.如下图，正五边形的对角线AC 和 BE 相交于点 M，求证：1M
5、E AB；2MEBEBM2点悟：假设作出外接圆可以轻易解决问题。证明：1正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则BEA362BCAB，CAB BEA又公共角ABMEBAABMEBA例 5.正六边形 ABCDEF 的半径为 2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。解：解：正六边形的半径等于边长正六边形的边长a 2cm正六边形的周长l 6a 12cm正六边形的面积S 613226 3cm222点拨：此题的关键是正六边形的边长等于半径。例 6.正方形的边长为 2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。解：解：正方形的边长为 2cm正方形的外接圆半径为2cm外接圆的外切正三角形一边上的高为3 2
6、cm正三角形的边长为3 23 2 2 6cmsin603213 2 6 2 6 6 3cm222正三角形的面积为点拨：此题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。例 7.如下图，O1和O2外切于点 P，O1和O2的半径分别为 r 和 3r，AB 为两圆的外公切线，A、B 为切点，求 AB 与两弧PA、PB所围的阴影局部的面积。解：解：连结O1A、O2B，过点O1作O1CO2B在RtO1O2C中，O1O2r 3r 4r，O2C 3rr 2r梯形O1ABO2的面积为：又sinO2O1C O2C2r1O1O24r2120r212r扇形O1PA的面积为：360360(3r)232r扇
7、形O2PB的面积为：3602阴影局部的面积为：点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的根本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。例 8.如果弧所对的圆心角的度数增加1，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加_。解：解：由弧长公式lnR，得：180当弧所对的圆心角的度数增加1，则弧长为弧长增加n 1R180180，故填180点拨：此题主要考察弧长公式lnR。180例 9.如图，大的半圆的弧长为a，n 个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，假设n 个小半圆的总弧长为 b，则 a 与 b 之间的关系是A.a bB.a nbC.abD.a bn解：解：设大半圆的半
8、径为 R，小半圆的半径为 r由题意，得：a R小圆的半径ranaannan 个小半圆的总弧长bn an即b a，应选 A。每个小半圆的弧长为点拨：此题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。例 10.如下图，两个同心圆被两条半径截得的AC的长为6cm，BD的长为10cm，假设AB 12cm，则图中阴影局部的面积为A.192B.144C.96D.48解：解：设O，由弧长公式得：又AB OBOA阴影局部的面积为：应选 C点拨：此题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。例 11.如下图，O 的半径 OA 为 R，弦AB 将圆周分成弧长之比为3
9、7 的两段弧，求弦AB 的长，如果将37改为 mn，此时弦 AB 的长度是多少？点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，AOB 可通过两弧长之比37 求得，再利用AD sinDOA求得 AD，AB 就可求。R解：解：作 ODAB 于 D，连结 OB这两段弧之比为 37这两段弧所对的圆心角之比也为37设这两个圆心角的度数为3*，7*，则即AB 108，AmB 252，AOB 108DOA54，又AD sin54RADRsin54AB2AD同理可得 37 改为 mn 时，解得：点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。例 12.正六
10、边形边长为 a，求它的切圆的面积。点悟：欲求切圆的面积，根据圆面积公式S R2，需求切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a 求得OH OA2 AH2，代入面积公式，即可。解：解：如下图，设正六边形的边长AB a，切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OHAB 于 H，则AOH30例 13.正多边形的周长为 12cm，面积为12cm，则切圆的半径为_。2解：解：设正多边形是正 n 边形，圆半径为 r正多边形的周长是 12cm正多边形的边长是12cmn2又正多边形的面积是12cm故应填 2cm。点拨：要注意切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。答题时间：30 分钟一.判断题。1.各边相等的圆
11、外切多边形是正多边形。2.各边相等的圆接多边形是正多边形。3.各角相等的圆接多边形是正多边形。4.各角相等的圆外切多边形是正多边形。5.一个四边形不一定有外接圆或切圆。6.矩形一定有外接圆，菱形一定有切圆。7.三角形一定有外接圆和切圆，且两圆是同心圆。8.依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。二.填空题。9.假设正多边形角和是540，则这个多边形是_边形。10.两个圆的半径比为 21，大圆的接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为_。11.有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R 是 36m，圆弧所对的圆心角为60，则这段弯道长约_m准确到 0.1m，314。.三.解答题。12.半径
12、为 R 的圆有一个外切正方形和接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。13.如图，AFG 中，AFAG，FAG108，点 C、D 在 FG 上，且 CFCA，DGDA，过点 A、C、D的O 分别交 AF、AG 于点 B、F。求证：五边形 ABCDE 是正五边形。14.如图：三个半径3 1，33，3 1的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。参考答案参考答案 一.判断题。1.2.3.4.5.6.7.8.二.填空题。9.正五 10.31三.解答题。11.37.712.边长比21，面积比 2113.易求FG36FACGADCAD36从而，BCCDDE由AFCAGD 得：ACADABCDE 是正五边形14.利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。AB2 BC2 AC2且BC 1AC2B90，A30，C60阴影局部周长303 1180903 11806033180