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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关运算学问一. 本周教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关运算学习目标 1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角；正n 边形的半径,边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形； 2. 正多边形和圆的关系定理这两个圆是同心圆,因此可采纳作帮助圆的方法,解决一些问任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,题； 3. 边数相同的正多边形是相像多边形,具有以下性质：（ 1）半径（或边心距）的比等于相像比；（ 2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方,即相像比的平
2、方； 4. 由于正 n 边形的 n 个顶点 n 等分它的外接圆,因此画正n 边形实际就是等分圆周；（ 1）画正 n 边形的步骤：将一个圆 n 等分,顺次连接各分点；（ 2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于 360 的圆心角,这个角所对的弧就是圆的 1,然后在圆上依次截取这条弧的等弧,n n就得到圆的 n 等分点,连结各分点即得此圆的内接正 n 边形； 5. 对于一些特别的正 n 边形, 如正四边形、 正八边形、 正六边形、 正三角形、 正十二边形仍可以用尺规作图； 6. 圆周长公式：C 2 R,其中 C为圆周长, R为圆的半径,把圆周长与直径的比值 叫做圆周率； 7. n 的圆心角所对的弧的
3、弧长：l n R180 n 表示 1 的圆心角的度数,不带单位； 8. 正 n 边形的每个内角都等于 n 2 180,每个外角为 360,等于中心角；n n二. 重点、难点： 1. 学习重点：正多边形和圆关系,弧长公式及应用；正多边形的运算可转化为解直角三角形的问题；只有正五边形、正四边形对角线相等； 2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的运算,应用弧长公式；例 1. 正六边形两条对边之间的距离是2,就它的边长是（） A. 3B. 2 3 3C. 2 3D. 2 2 33解： 如下列图, BF2,过点 A 作 AG BF于 G,就 FG1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
4、 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 学习必备欢迎下载D F E G B C 又 FAG60AFsinFG12 3FAG332应选 B 点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形,要留意正六边形的一些特别性质；例 2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（） A. 12 3 B. 123 C. 123 D. 123解： 如下列图, OD是正三角形的边心距,OA是半径, AD是高A O B D C 设 OD r,就 AO2r ,AD3r ODAOADr 2r 3r 1 23 应选 A 点拨：正三角形的内心也是重心,所以内心到对边的距离等于到顶点距离的 1；通过这个定理可以使问
5、题2得到解决；例 3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S 3、S 4、S 6 之间的大小关系是（） A. S 3 S 4 S 6 B. S 6 S 4 S 3 C. S 6 S 3 S 4 D. S 4 S 6 S 3解析：设它们的周长为 l ,就正三角形的边长是 a 3 1 l,正四边形的边长为 a 4 1l,正六边形的边长为3 41a 6 l6名师归纳总结 第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 31 2a2sin6011l23l2学习必备欢迎下载3l2329236S 4a4211l26061133 3l216S
6、 66sina622236272S 6S 4S 3应选 B 点拨：肯定要留意三个正多边形的周长相等这一重要条件,否就简单得出错误结论；例 4. 如下列图,正五边形的对角线（ 1） ME2AB ；BM（ 2） MEBEAC和 BE相交于点 M,求证：点悟：如作出外接圆可以轻易解决问题；证明：（1）正五边形必有外接圆,作出这个帮助圆,就AB1360725 BEA 36EC2360144EAMBEA5EAC1144722EMA180367272MEAEAB（ 2）BCAB,CAB又公共角 ABM EBA ABM EBA AB BMBE ABAB 2 BEBM例 5. 已知正六边形 ABCDEF的半径
7、为 2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积；解： 正六边形的半径等于边长名师归纳总结 正六边形的边长a2 cmcm第 3 页,共 9 页正六边形的周长l6 a12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正六边形的面积S61223学习必备欢迎下载6 3 cm222点拨：此题的关键是正六边形的边长等于半径；例 6. 已知正方形的边长为 2cm,求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积；解： 正方形的边长为 2cm 正方形的外接圆半径为 2 cm 外接圆的外切正三角形一边上的高为 3 2 cm 正三角形的边长为 3 2 3 22 6 cmsin 60 32正三角形
8、的面积为1262 636 3 cm222点拨：此题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系；例 7. 如下列图,已知O1 和 O2 外切于点 P, O1 和 O2 的半径分别为 r 和 3r , AB为两圆的外公切线,A、B 为切点,求 AB与两弧 PA、PB 所围的阴影部分的面积；解： 连结 O A 1、O B 2,过点 O1 作 O C O B 2名师归纳总结 在 Rt O O C 1 2中, O O 1 2r3 r4 r,O C 23 rr2 r第 4 页,共 9 页O C 116 r24 r22 3 r梯形 O ABO 12的面积为：11r3 r2 3 r43 r22又
9、 sinO O CO C2rO O24r2r2O O C30O 260,PO A1201扇形 O PA 1的面积为：120 r36023- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 扇形 O PB 2的面积为：603 r23学习必备欢迎下载r23602阴影部分的面积为：4 3 r21r23r24 311r2然后求出各图形的面积,最终通过面积的加326点拨： 求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形,减得出结论；例 8. 假如弧所对的圆心角的度数增加1 ,设弧的半径为单位1,就它的弧长增加_；n 个解： 由弧长公式 ln R,得：180当弧所对的圆心角的度数
10、增加1 ,就弧长为n1R180n1Rn R1180180180180弧长增加180,故填180点拨：此题主要考查弧长公式ln R；180例 9. 如图,大的半圆的弧长为a,n 个小圆的半径相等,且相互外切,其直径和等于大半圆的直径,如小半圆的总弧长为b,就 a 与 b 之间的关系是（） A. abB. anbC. abD. abn解： 设大半圆的半径为R,小半圆的半径为r 由题意,得：aRbaaaaRa小圆的半径ran每个小半圆的弧长为nn n 个小半圆的总弧长nn即 ba ,应选 A；点拨：此题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系,然后通过弧长和半径之间的关系求解；例 10. 如下列
11、图,两个同心圆被两条半径截得的AC 的长为 6cm, BD 的长为 10cm,如 AB12 cm,就图中阴影部分的面积为（）第 5 页,共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 192B. 144C. 96学习必备欢迎下载D. 48解： 设 O ,由弧长公式得：6OA,10OB180180又OA6180,OB10180ABOBOA1210180618060OA618018,OB10180306060阴影部分的面积为：602 30602 182 302 18963603606应选 C 点拨：此题主要考查弧长、扇形面积的有关运算,要熟
12、记公式,正确运用；例 11. 如下列图, O的半径 OA为 R,弦 AB将圆周分成弧长之比为 7 改为 mn,此时弦 AB的长度是多少？37 的两段弧, 求弦 AB的长,假如将 3AD点悟：欲求弦长AB,需用弦长公式,需知圆心角的度数,AOB 可通过两弧长之比3 7 求得,再利用sinDOA求得 AD,AB就可求；R名师归纳总结 解： 作 ODAB于 D,连结 OB 第 6 页,共 9 页这两段弧之比为3 7 这两段弧所对的圆心角之比也为3 7 设这两个圆心角的度数为3x, 7x,就3 x7x360即AB108,AmB252,AOB108- - - - - - -精选学习资料 - - - -
13、- - - - - DOA 54 ,又AD Rsin54学习必备欢迎下载 ADRsin54 AB2AD AB2Rsin54同理可得 37 改为 mn 时,解得：AB2 sinmnnm m点拨：有关正多边形的运算, 都要作出它的半径和边心距为帮助线,例 12. 已知正六边形边长为 a,求它的内切圆的面积；从而将问题转化为解直角三角形的问题；点悟：欲求内切圆的面积,依据圆面积公式 S R 2 ,需求内切圆的半径 OH,可依据正六边形的性质及边长 a 求得 OH OA 2AH 2 ,代入面积公式,即可；解： 如下列图,设正六边形的边长 AB a ,内切圆的圆心为 O,连结 OA、OB,作 OHAB于
14、 H,就 AOH30OA2AHABa_；OHOA2AH2a2a23a22S 内切OOH23a24例 13. 已知正多边形的周长为12cm,面积为 12 cm ,就内切圆的半径为 2解： 设正多边形是正n 边形,圆半径为r 正多边形的周长是12cm 正多边形的边长是12cmn又正多边形的面积是2 12 cm12n112r2nr2cm故应填 2cm；点拨：要留意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念；（答题时间： 30 分钟）一. 判定题；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 学习必备（欢迎下载）各边相等的圆外切多
15、边形是正多边形；（） 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形；（） 3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形；（） 4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形；（） 5. 一个四边形不肯定有外接圆或内切圆；（） 6. 矩形肯定有外接圆,菱形肯定有内切圆；（） 7. 三角形肯定有外接圆和内切圆,且两圆是同心圆； 8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形；（二. 填空题； 9. 如正多边形内角和是 540 ,那么这个多边形是 _边形； 10. 两个圆的半径比为 21,大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为 _； 11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道,它的半径 R是 36m,圆弧所对
16、的圆心角为 60 ,就这段弯道长约 _m（精确到 0.1m,314）；三. 解答题； 12. 已知半径为 R的圆有一个外切正方形和内接正方形,求这两个正方形的边长比和面积比； 13. 如图,AFG中, AFAG, FAG108 ,点 C、D在 FG上,且 CFCA,DGDA,过点 A、C、D的 O分别交 AF、AG于点 B、F；求证：五边形 ABCDE是正五边形；A B E O 14. 如图：三个半径31,3F ,3C D G 31的圆两两外切,求由三条切点弧围成的阴影图形的周长；A 名师归纳总结 D F C 第 8 页,共 9 页B E - - - - - - -精选学习资料 - - - -
17、 - - - - - 学习必备 欢迎下载 参考答案 一. 判定题； 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二. 填空题； 9. 正五10. 3 1 11. 37.7 三. 解答题； 12. 边长比 21,面积比 21 13. 易求 F G 36 FAC GAD CAD 36从而, BCCDDE由 AFC AGD得： ACAD ABCAEDCDEAABBCDE ABCDE是正五边形 14. 利用弧长公式,关键是求出三段弧所对圆心角的度数；AB31312 3BC31332AC31334AB2BC2AC 2 且 BC1AC2 B90 , A30 , C60名师归纳总结 阴影部分周长3032190316033第 9 页,共 9 页31801801803- - - - - - -