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1、正多边形和圆课时练习（附答案） 一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到
2、正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。2、正多边形的对称性 （1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长及半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距
3、之比为( )A.321 B.432 C.421 D.6433.正五边形共有条对称轴，正六边形共有条对称轴.4.中心角是45的正多边形的边数是.5.已知的周长为20,的内切圆及边相切于点4,那么.二、课中强化(10分钟训练)1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有条对称轴.2.同圆的内接正三角形及内接正方形的边长的比是( )A. B. C. D.3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )3S4S6 6S43 C6S3S4 4S6S34.已知O和O上的一点A(如图2.6-1).(1)作O的内接正方形和内接正六边形；(2)在(1)题的作图中
4、，如果点E在弧上，求证：是O内接正十二边形的一边. 图2.6-1三、当堂巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A. B. C. D.2.已知正多边形的边心距及边长的比为，则此正多边形为( )A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形3.已知正六边形的半径为3 ，则这个正六边形的周长为 .4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦为2，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 图2.6-26.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形
5、的边数.7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 图2.6-38.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参及交流、评价).图2.6-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图2.6-510.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、2.6-6(n)，M、N分别是O的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形的边、上的点，且，连结、.图2.6-6(1)求图2.6-6(1)中的度数；(2)图2.6-6(2)中的度数是，图2.6-6(3)中的度数是；(3
6、)试探究的度数及正n边形边数n的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长及半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长及半径之比没有变化.。答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.321 B.432 C.421 D.643思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高，外接圆半径，边心距，所以321。答案：A3.正五边形共有条对称轴，正六边形共有条对称轴.思路解析：正n边形
7、的对称轴及它的边数相同。答案：5 64.中心角是45的正多边形的边数是.思路解析：因为正n边形的中心角为，所以45=，所以8。答案：85.已知的周长为20,的内切圆及边相切于点4,那么.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得。答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有条对称轴.思路解析：因为正n边形的外角为，一个内角为，所以由题意得=，解这个方程得5。答案：52.同圆的内接正三角形及内接正方形的边长的比是( )A. B. C. D.思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A。答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的
8、面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )3S4S6 6S43 C6S3S4 4S6S3思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。答案：B4.已知O和O上的一点A(如图2.6-1).(1)作O的内接正方形和内接正六边形；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧上，求证：是O内接正十二边形的一边.图2.6-1思路分析：求作O的内接正六边形和正方形，依据定理应将O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明是O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明所对圆心角等于3601230.(1)作法：作直径;作直径;依次连结A、B、C、D四点,四
9、边形即为O的内接正方形;分别以A、C为圆心，长为半径作弧，交O于E、H、F、G;顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形即为O的内接正六边形.(2)证明：连结、.90，60，30.为O的内接正十二边形的一边.三、当堂巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A. B. C. D.思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为.答案：D2.已知正多边形的边心距及边长的比为，则此正多边形为( )A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B。答案：B3.已知正六边形的半径
10、为3 ，则这个正六边形的周长为 .思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P66求出周长。答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度.答案：144.5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦为2，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图2.6-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3及R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆O1的半径为R3，正六边形外接圆O2的半径为R6，由题意得R3，R6，R3R63.O1的面积O2的面积13.6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正
11、多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角及外角公式可求.解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-100.解得n9.7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图2.6-3思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 的正O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3外接圆的半径，再加上O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 的正O1O2O3，则
12、正O1O2O3外接圆的半径为 ，所以大圆的半径为+2= ().8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参及交流、评价).图2.6-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图2.6-5作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、2.6-6(n)，M、N分别是O的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形的边、上的点，且，连结、.图2.6-6(1)求图2.6-6(1)中的度数；(2)图2.6-6(2)中的度数是，
13、图2.6-6(3)中的度数是；(3)试探究的度数及正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结、.正内接于O，30，120.又，.120.方法二：连结、.正内接于O，30,120.又，.又,.120.(2)90 72(3).正多边形和圆课后作业：一、 填空题1 在一个圆中，如果的弧长是，那么这个圆的半径.2 正n边形的中心角的度数是.3 边长为2的正方形的外接圆的面积等于.4 正六边形的内切圆半径及外接圆半径的比等于.二、 选择题5正多边形的一边所对的中心角及该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A） 两角互余 （B）两角互补 （C）两角互余或互补 （D）不能确定6圆内接正三角形的边心距及半径的比是（ ）.（A）2：1 （B）1：2 （C） （D）7正六边形的内切圆及外接圆面积之比是（ ）（A） （B） （C） （D）8在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）49已知：如图，为正方形，边长为a，以B为圆心，以为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A）（1-）a2 （B）1- （C） （D）a2附：答案1. 3； 2. ；3. ；4. ； 第 8 页