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1、第第八八章章圆圆 锥锥 曲曲 线线 方方 程程18.1 椭圆椭圆 第二课时第二课时题型题型3 椭圆背景下的求值问题椭圆背景下的求值问题 1.已知已知F1、F2分别是椭圆分别是椭圆 的左、右的左、右焦点焦点.若点若点P是该椭圆在第一象限内的一点，且是该椭圆在第一象限内的一点，且 求点求点P的坐标的坐标.2 解：解：由条件知由条件知a=2，b=1，所以，所以c=.所以所以F1(-，0)，F2(，0).设设P(x，y)(x0，y0).则则 又又 联立联立 解得解得 又又x0，y0，所以所以 故故P(1，).3 点评：点评：椭圆的性质是解决求值问题椭圆的性质是解决求值问题的关键的关键.求值一般先转化为
2、求参数，而求求值一般先转化为求参数，而求参数问题，主要根据条件得出关于参数参数问题，主要根据条件得出关于参数的方程的方程(组组)，再解得方程，再解得方程(组组)即可即可.4 如图所示，如图所示，已知椭圆长轴已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦焦 距距|F1F2|=4 .过焦点过焦点F1作作 一直线，交椭圆于两点一直线，交椭圆于两点M、N.设设F2F1M=(0b0),焦距为焦距为2c，拓展练习拓展练习12 由题设条件知，由题设条件知，2bc=8,b=c,所以所以b2=4.故椭圆故椭圆C的方程为的方程为 (2)由由(1)知，椭圆知，椭圆C的左准线方程为的左准线方程为x=-4,所以点所以点P的坐标为的坐
3、标为(-4,0)，显然直线显然直线l的斜率的斜率k存在，所以直线存在，所以直线l的方程的方程为为y=k(x+4).如图，设点如图，设点M，N的坐的坐 标分别为标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),线段线段MN的中点为的中点为G(x0,y0)，13由由得得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.由由=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)0，解得解得 因为因为x1,x2是方程是方程的两根的两根,所以所以于是于是因为因为 所以点所以点G不可能在不可能在y轴的右边，轴的右边，又直线又直线F1B2,F1B1的方程分别为的方程分别为y=x+2,y=-x-2,14 所以点所以点G
4、在正方形在正方形Q内内(包括边界包括边界)的充要条的充要条 件为件为 .即即 亦即亦即 解得解得 此时此时也成立也成立.故直线故直线l的斜率的斜率k的取值范围是的取值范围是 .15 1.设椭圆设椭圆 (ab0)的左、右焦点分的左、右焦点分别为别为F1、F2,A是椭圆上的一点是椭圆上的一点,AF2F1F2，原，原点点O到直线到直线AF1的距离为的距离为 试推断试推断ab是否为是否为定值，并说明理由定值，并说明理由.解法解法1：由题设由题设AF2F1F2及及F1(-c，0)，F2(c，0)，不妨设点，不妨设点A(c，y)，其中，其中y0.由于点由于点A在椭圆上，故有在椭圆上，故有16即即解得解得
5、从而得到从而得到直线直线AF1的方程为的方程为整理得整理得b2x-2acy+b2c=0.由题设，原点由题设，原点O到直线到直线AF1的距离为的距离为|OF1|，即即将将c2=a2-b2代入上式代入上式,并化简得并化简得a2=2b2,即即a=b.故故 为定值为定值.17解法解法2：过点过点O作作OBAF1，垂足为，垂足为B.易知易知F1BOF1F2A，故故由椭圆的定义得由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a.又又 所以所以由此解得由此解得|F2A|=.由已知可得点由已知可得点A的坐标为的坐标为所以所以 即即 故故 为定值为定值.18 2.如图，已知椭圆中如图，已知椭圆中 心在原点，焦点心在原
6、点，焦点F1、F2在在 x轴上轴上,长轴长轴A1A2的长为的长为4，左准线左准线l与与x轴的交点为轴的交点为M，且且 (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(2)若点若点P在直线在直线l上运动，求当上运动，求当F1PF2最最大时点大时点P的坐标的坐标.解：解：(1)据题意可设椭圆的方程为据题意可设椭圆的方程为19则则|MA1|=-2，|A1F1|=2-c，其中，其中c=.由已知由已知 -2=2(2-c)，可得，可得c2-3c+2=0.因为因为0cb0)的右准线的右准线l与与x轴相交于轴相交于E点，过椭圆右焦点点，过椭圆右焦点F的直线与椭的直线与椭圆相交于圆相交于A、B两点，点两点，点C在右准线在右
7、准线l上，且上，且BCx轴轴.求证：直线求证：直线AC经过线段经过线段EF的中点的中点.证明：证明：作作ADl，垂足为垂足为D.设直线设直线AC 交交EF于点于点M.因为因为BCx轴，轴，所以所以BCl.21由椭圆定义知，由椭圆定义知，因为因为ADFEBC，所以所以 且且所以所以所以所以M为为EF的中点的中点.22 1.椭圆给出了两种定义，解题时要充分利椭圆给出了两种定义，解题时要充分利用这两种定义，尤其是椭圆的第二定义，如果用这两种定义，尤其是椭圆的第二定义，如果运用恰当，可收到事半功倍之效运用恰当，可收到事半功倍之效.一般地，与椭一般地，与椭圆焦半径、焦点弦有关的问题的处理，可考虑圆焦半径、焦点弦有关的问题的处理，可考虑从椭圆的定义入手从椭圆的定义入手.2.求有关量的值一般用公式法或方程法求求有关量的值一般用公式法或方程法求解；求变量的取值范围可利用不等式法、函数解；求变量的取值范围可利用不等式法、函数法、几何求法解法、几何求法解.同时要注意利用设而不求、点同时要注意利用设而不求、点差法等技巧简化运算过程差法等技巧简化运算过程.23