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1、第第十十章章排排列列、组组合合、二二项项式式定定理理和和概概率率110.2 排列、组合应用题排列、组合应用题考点考点搜索搜索排列、排列数的概念，排列数的计算排列、排列数的概念，排列数的计算公式公式组合、组合数的概念，组合数的计算组合、组合数的概念，组合数的计算公式公式2高高考考猜猜想想1.利用排列、组合原理解决实际应利用排列、组合原理解决实际应 用问题，并以小题形式进行命题用问题，并以小题形式进行命题.2.运用排列、组合知识，解决某些计运用排列、组合知识，解决某些计 数问题数问题.3 1.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照按照 _排成一列，叫做从排成一列，叫做
2、从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列.2.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素的的 _，叫做从，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的排列数，记作个元素的排列数，记作 _.3.n个不同元素全部取出的一个排列，个不同元素全部取出的一个排列，叫做叫做n个不同元素的一个个不同元素的一个 _.一定的顺序一定的顺序所有排列的个数所有排列的个数全排列全排列4 4.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元个元素素 _，叫做从，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的一个组合个元素的一个组合.5.从从n个不同元素中取出
3、个不同元素中取出m(mn)个元个元素的素的 _，叫做从，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的组合数，记作个元素的组合数，记作_.6.=_.并成一组并成一组所有组合的个数所有组合的个数57.=_.盘点指南：盘点指南：一定的顺序；一定的顺序；所有所有排列的个数；排列的个数；;全排列；全排列；并成一组；并成一组；所有组合的个数；所有组合的个数；;.6 把把4名男生和名男生和4名女生排成一排，女生要排名女生排成一排，女生要排 在一起，不同排法的种数为在一起，不同排法的种数为()A.B.C.D.解：解：按分步计数原理按分步计数原理:第一步，将女生看成一个整体，则第一步，将女生看成一个整体，
4、则 有有 种方法；种方法；第二步，将女生排列，有第二步，将女生排列，有 种排法种排法.故总共有故总共有 种排法种排法.B7 若若2n个学生排成一排的排法数为个学生排成一排的排法数为x，这这2n个学生排成前后两排，每排各个学生排成前后两排，每排各n个学个学生的排法数为生的排法数为y，则，则x、y的关系为的关系为()A.xy B.xy C.x=y D.x=2y 解：解：第一种排法数为第一种排法数为 ，第二种排，第二种排法数为法数为 =，从而，从而x=y.C8 某校准备参加某校准备参加2011年全国高中数年全国高中数学联赛，把学联赛，把10个名额分配给高三年级个名额分配给高三年级8个班，每班至少个班
5、，每班至少1人，不同的分配方案人，不同的分配方案有有_ 种种.解：解：把把10个名额分成个名额分成8份，每份至份，每份至少一个名额即可，用隔板法：少一个名额即可，用隔板法：=36(种种).369 1.(1)书架上原有书架上原有5本不同的书排放在一本不同的书排放在一排，再放上排，再放上3本不同的书，且不改变原书的本不同的书，且不改变原书的相对顺序，求共有多少种不同的放法相对顺序，求共有多少种不同的放法?(2)某人射击某人射击8枪，命中枪，命中4枪，其中恰有枪，其中恰有3枪连续命中，求共有多少种不同的射击记枪连续命中，求共有多少种不同的射击记录录?题型题型1 用用“定义法定义法”求排列问题的方法求
6、排列问题的方法数数第一课时第一课时10 解解：(1)设想书架上有设想书架上有8个位置，每本书个位置，每本书占一个位置，先在这占一个位置，先在这8个位置中任选个位置中任选3个放上个放上3本本“新书新书”，有，有 种放法；再将原来的种放法；再将原来的5本本“旧书旧书”按原来的顺序放在余下的空位上，只按原来的顺序放在余下的空位上，只有有1种放法种放法.由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有 =336种种放法放法.(2)3枪连续命中捆绑成一个元素，记为枪连续命中捆绑成一个元素，记为a，另一枪命中记为，另一枪命中记为b，据题意，据题意，a、b排序不排序不相邻，问题等价于将相邻，问题等价于将a、b插入没
7、命中目标的插入没命中目标的4枪所产生的前后枪所产生的前后5个空当，共有个空当，共有 =20种种.11 点评：点评：排列数计数是分步计数原排列数计数是分步计数原理的一种特殊情况，在应用排列数公理的一种特殊情况，在应用排列数公式进行计数时，一是分清式进行计数时，一是分清“元素元素”与与“位置位置”，二是计数时因元素在不同，二是计数时因元素在不同的位置而表示不同的方法数即为排列的位置而表示不同的方法数即为排列问题问题.12 (1)8个座位摆成一排，个座位摆成一排，3人就坐人就坐在其中三个座位上，若每个人的左右两边都在其中三个座位上，若每个人的左右两边都要有空位，求共有多少种不同的坐法要有空位，求共有
8、多少种不同的坐法?(2)某某6名短跑运动员在名短跑运动员在100 m跑比赛后，跑比赛后，其成绩互不相同，其中甲的成绩比乙好，乙其成绩互不相同，其中甲的成绩比乙好，乙的成绩比丙好，求这的成绩比丙好，求这6名运动员的成绩排名共名运动员的成绩排名共有多少种可能结果有多少种可能结果?13 解：解：(1)据题意，据题意，8个座位中有个座位中有5个空位，个空位，两端不能坐人，两端不能坐人，3人就坐不相邻人就坐不相邻.因此，只要因此，只要将将3人插入人插入5个空位之间的个空位之间的4个空当即可，共个空当即可，共有有 =24种坐法种坐法.(2)问题等价于问题等价于6人站成一排，其中甲站人站成一排，其中甲站乙的
9、前面，乙站丙的前面，求共有多少种站乙的前面，乙站丙的前面，求共有多少种站法法.先从先从6个位置中选三个站其余个位置中选三个站其余3人，有人，有 种站法；再将甲、乙、丙三人按前述顺序站种站法；再将甲、乙、丙三人按前述顺序站在其余三个空位上，只有在其余三个空位上，只有1种站法种站法.所以共有所以共有 jkh=120种可能结果种可能结果.14 2.从数字从数字0、1、3、5、7中取出不同的中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？其中有实数根的有几个？解：解：(1)a只能在只能在1、3、5、7中选一个，
10、中选一个，有有 .种，种，b、c可在余下的可在余下的4个中任取个中任取2个，有个，有.种种.故可组成不同的一元二次方程故可组成不同的一元二次方程 =48个个.题型题型2 结合两个计数原理结合两个计数原理 求排列问题的方法数求排列问题的方法数15 (2)方程要有实根，需方程要有实根，需=2b-4ac0.当当c=0时，时，a、b可在可在1、3、5、7中任取中任取2个，有个，有 个；个；当当c0时，时，b只能取只能取5、7.b取取5时，时，a、c只能取只能取1、3，有，有 个；个；b取取7时，时，a、c可取可取1、3或或1、5，有，有2 个个.故有实数根的一元二次方程共有故有实数根的一元二次方程共有
11、 个个.16 点评：点评：两个计数原理是我们处理计两个计数原理是我们处理计数问题的基础，在分类或分步过程中，若数问题的基础，在分类或分步过程中，若出现每类或每步是一个排列问题，则可直出现每类或每步是一个排列问题，则可直接用排列数公式求解，然后根据情况相加接用排列数公式求解，然后根据情况相加或相乘或相乘.17 五个人站成一排，求在下列条五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：件下的不同排法种数：(1)甲必须在排头；甲必须在排头；(2)甲必须在排头，并且乙在排尾；甲必须在排头，并且乙在排尾；(3)甲、乙必须在两端；甲、乙必须在两端；(4)甲不在排头，并且乙不在排尾；甲不在排头，并且乙不在排尾
12、；(5)甲、乙不在两端；甲、乙不在两端；(6)甲在乙前；甲在乙前；18 (7)甲在乙前，并且乙在丙前；甲在乙前，并且乙在丙前；(8)甲、乙相邻；甲、乙相邻；(9)甲、乙相邻，但是与丙不相邻甲、乙相邻，但是与丙不相邻.解：解：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排特殊元素是甲，特殊位置是排头头.首先排首先排“排头排头”有有 种，再排其他种，再排其他4个个位置有位置有 种，所以共有种，所以共有 =24种种.(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数为法种数为 =6种种.19 (3)首先排两端有首先排两端有 种，再排中间有种，再排中间有 种，所以甲、乙必须在两端的排法种数为种
13、，所以甲、乙必须在两端的排法种数为 .=12种种.(4)解法解法1：乙站排头时，有：乙站排头时，有 种；乙不种；乙不站排头时有站排头时有 种，所以共有种，所以共有 =78种种.解法解法2：甲不在排头，并且乙不在排尾：甲不在排头，并且乙不在排尾的排法种数为的排法种数为 =78种种.20 (5)因为两端位置符合条件的排法有因为两端位置符合条件的排法有 种，中间位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有 种，种，所以甲、乙不在两端的排法种数为所以甲、乙不在两端的排法种数为 =36种种.(6)因为甲、乙共有因为甲、乙共有 种顺序，所以甲种顺序，所以甲在乙前的排法种数为在乙前的排法种数为 =60种
14、种.(7)因为甲、乙、丙共有因为甲、乙、丙共有 种顺序，所种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前的排法种数为以甲在乙前，并且乙在丙前的排法种数为 =20种种.21 (8)把甲、乙看成一个人来排有把甲、乙看成一个人来排有 种，种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻的排法种数为相邻的排法种数为 =48 种种.(9)首先排甲、乙、丙外的两个有首先排甲、乙、丙外的两个有 种，从而产生种，从而产生3个空，把甲、乙看成个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这一个人与丙插入这3个空中的两个有个空中的两个有 种，种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、
15、乙相邻，但是与丙不相邻的排法种数为相邻，但是与丙不相邻的排法种数为 =24种种.22 3.4名男生和名男生和3名女生站成一排，求在名女生站成一排，求在下列条件下各有多少种不同的站法下列条件下各有多少种不同的站法?(1)甲、乙、丙三个女生不全相邻甲、乙、丙三个女生不全相邻;(2)男生连排在一起，女生连排在一起，男生连排在一起，女生连排在一起，且男生甲和女生乙不相邻且男生甲和女生乙不相邻.解：解：(1)甲、乙、丙三个女生相邻的站甲、乙、丙三个女生相邻的站法有法有 种，所以三个女生不全相邻的站种，所以三个女生不全相邻的站法共有法共有 =4320(种种).题型题型3 用间接法求排列问题的方法数用间接法
16、求排列问题的方法数23 (2)男生连排在一起，女生连排在一起男生连排在一起，女生连排在一起的站法有的站法有 种，其中男生甲和女生乙相邻种，其中男生甲和女生乙相邻的站法有的站法有 种种.所以符合要求的站法共有所以符合要求的站法共有 -264(种种).点评：点评：对有限制条件的排列问题，可根对有限制条件的排列问题，可根据情况来解，如利用一些基本的模型：据情况来解，如利用一些基本的模型：“相相邻问题捆绑法邻问题捆绑法”“相间问题插空法相间问题插空法”等来解等来解决或先算出不含限制条件的所有排列的总数，决或先算出不含限制条件的所有排列的总数，再从中减去所有不符合要求的排列数再从中减去所有不符合要求的排
17、列数.24 有两排座位，前排个座有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间三个座位不能坐，并且这规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，共有多少种坐法？两人不左右相邻，共有多少种坐法？解：解：从非前排中间的三个座位的从非前排中间的三个座位的20个座位中选个坐这两人共有个座位中选个坐这两人共有 种坐法，种坐法，而前排座位两人相邻有而前排座位两人相邻有 种坐法，后种坐法，后排两人左右相邻有排两人左右相邻有 种坐法种坐法.故共有故共有 =346种种.25 1.排列问题大致分为两类：排列问题大致分为两类：(1)不含限制条件的简单排列问题，可直
18、不含限制条件的简单排列问题，可直接根据题意利用公式来求得最后结果接根据题意利用公式来求得最后结果.(2)带有限制条件的排列问题，常常有两带有限制条件的排列问题，常常有两种计算方法：把符合条件的排列直接计算出来种计算方法：把符合条件的排列直接计算出来直接法；或者先算出不含限制条件的所有直接法；或者先算出不含限制条件的所有排列的总数，然后再从中减去所有不符合要求排列的总数，然后再从中减去所有不符合要求的排列数的排列数间接法间接法.26 2.元素相邻用元素相邻用“捆绑法捆绑法”，即将必须相邻，即将必须相邻的元素的元素“捆捆”在一起当作一个元素进行排列在一起当作一个元素进行排列.3.元素相离用元素相离
19、用“插空法插空法”，即把可相邻元，即把可相邻元素每两个元素留出一个空位，将不能相邻即相素每两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的元素插入空位中进行排列离的元素插入空位中进行排列.4.定序元素用定序元素用“除法除法”，即，即n个元素的全个元素的全排列中若有排列中若有m个元素必须按一定顺序排列，这个元素必须按一定顺序排列，这m个元素相邻或不相邻都可以，其排列数为个元素相邻或不相邻都可以，其排列数为n!m!，即，即n个元素的全排列之中包含了个元素的全排列之中包含了m个元个元素的无顺序排列素的无顺序排列m!个，但这个，但这m个元素的有序排个元素的有序排列只有一个，故总排列数为列只有一个，故总排列数为n!m!.27 5.“元素分析法元素分析法”“位置分析法位置分析法”是解是解决排列问题的最基本方法，它们的共同点决排列问题的最基本方法，它们的共同点是先考虑特殊元素的要求，有两个约束条是先考虑特殊元素的要求，有两个约束条件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨论，但要兼顾其他条件的约束论，但要兼顾其他条件的约束.直接法、间直接法、间接法、插空法、捆绑法、对称法，都是分接法、插空法、捆绑法、对称法，都是分析问题的常用方法析问题的常用方法.28