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1、第 讲1映射与函数映射与函数映射与函数映射与函数第二章第二章 函数函数1考考点点搜搜索索映射、一一映射的概念映射、一一映射的概念函数的概念及函数的三要素函数的概念及函数的三要素运用排列组合知识计算映射的运用排列组合知识计算映射的个数个数分段函数与复合函数的概念高分段函数与复合函数的概念高2高高考考猜猜想想映射是高中数学中的一个重要概映射是高中数学中的一个重要概念，应予以足够重视，高考对它念，应予以足够重视，高考对它的考查以选择题型为主，主要是的考查以选择题型为主，主要是对概念的考查；对函数的概念、对概念的考查；对函数的概念、函数的解析式、分段函数的考查函数的解析式、分段函数的考查一直是高考考查
2、的重点一直是高考考查的重点.3一、一、映射的概念与判定方法映射的概念与判定方法1.设设A、B是两个集合，如果按照某种对应是两个集合，如果按照某种对应关系关系f，对于集合，对于集合A中的每一个元素，中的每一个元素，这样的对应关系叫做从集合，这样的对应关系叫做从集合A到集合到集合B的映的映射，记作射，记作 .2.给定一个从集合给定一个从集合A到集合到集合B的映射，且的映射，且aA，bB，如果元素，如果元素a和和b对应，那么元素对应，那么元素b叫做元素叫做元素a的的 ，元素，元素a叫做元素叫做元素b的的 .在集合在集合B B中都有唯一的元素与它对应中都有唯一的元素与它对应f:AB原象原象象象4二、二
3、、函数的三要素及其表示法函数的三要素及其表示法1.函数的三要素是函数的三要素是 ,，.判断两个函数是否为同一函数只需判定两点判断两个函数是否为同一函数只需判定两点:和和 .2.函数的三种表示方法有函数的三种表示方法有 、和和 .三、三、分段函数与复合函数分段函数与复合函数定义域定义域值域值域对应法则对应法则定义域是否相同定义域是否相同对应法则是否相同对应法则是否相同解析法解析法列表法列表法图象法图象法51.如如果果一一个个函函数数在在定定义义域域的的不不同同子子集集中中 因因 不不同同而而用用几几个个不不同同的的式式子子来来表表示示，这这样样的的函函数数叫叫做做分分段段函函数数.分分段段函函数
4、数的的求求法法是是分分别别求求出出 再再组组合合在在一一起起，但但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏要注意各区间之间的点不重复、无遗漏.2.如如 果果 y=f(u)，u=g(x)，那那 么么 函函 数数y=fg(x)叫做复合函数，其中叫做复合函数，其中f(u)叫做叫做 函数，函数，g(x)叫做叫做 函数函数.对应关系对应关系解析式解析式外层外层内层内层61.在在映映射射f:AB中中，下下列列判判断断正正确确的的是是()A.A中的元素中的元素a的象可能不止一个的象可能不止一个B.A中的元素中的元素a1和和a2的象不可能相同的象不可能相同C.B中的元素中的元素b的原象可能不止一个的原象可能不止一个
5、D.B中的元素中的元素b1和和b2的原象可能相同的原象可能相同 由映射的定义知，选由映射的定义知，选C.C72.设集合设集合M=-1,0,1,N=1,2,3,4,5，映射，映射f:MN满足条件满足条件“对任意的对任意的xM，x+f(x)是是奇数奇数”，这样的映射，这样的映射f个数是个数是()A.125 B.243C.12 D.7 分三步：分三步：(1)当当x=-1时，时，f(x)=2,4;(2)当当x=0时，时，f(x)=1,3,5;(3)当当x=1时，时，f(x)=2,4,所以映射所以映射f共有共有232=12个个.C83.若若一一系系列列函函数数的的解解析析式式相相同同，值值域域相相同同，
6、但但其其定定义义域域不不同同，则则称称这这些些函函数数为为“天天一一函函数数”，那那么么解解析析式式为为y=2x2+1，值值域域为为9，1，3的的“天一函数天一函数”共有共有()A.4个个 B.8个个C.9个个 D.12个个C9 分三步：分三步：(1)当当y=1时，时，x=0;(2)当当y=3时，时，x=1或或x=-1或或x=1;(3)当当y=9时，时，x=2或或x=-2或或x=2,所以所以“天一函数天一函数”共有共有133=9个个.10 题型一：映射与函数的概念题型一：映射与函数的概念1.判判断断下下列列对对应应是是否否是是从从集集合合A到到集集合合B的映射：的映射：(1)A=R,B=x|x
7、0，f:x|x|；(2)A=N,B=N，f:x|x-2|；(3)A=x|x0,B=R，f:xx2.11 (1)0A，在在法法则则f下下，0|0|=0B，故故该该对对应应不不是是从从集集合合A到到集集合合B的映射；的映射；(2)2A，在在法法则则f下下，2|2-2|=0B，故故该对应不是从集合该对应不是从集合A到集合到集合B的映射；的映射；(3)对对于于任任意意xA，依依法法则则f:xx2B，故故该对应是从集合该对应是从集合A到集合到集合B的映射的映射.12点评：点评：映射是一种特殊的对应，函数映射是一种特殊的对应，函数是特殊的映射，即从非空数集到非空数集是特殊的映射，即从非空数集到非空数集的映
8、射的映射.对于函数：按某种对应法则对于函数：按某种对应法则f，从，从非空数集非空数集A到非空数集到非空数集B的函数，要求的函数，要求A中中的元素必须有象且唯一，而集合的元素必须有象且唯一，而集合B中的元中的元素也必须有原象，可以有一个或多个素也必须有原象，可以有一个或多个.13 下列从下列从M到到N的各对应法则的各对应法则fi(i=1，2，3，4)中，中，哪些是映射？哪些是映射？哪些是函数？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？哪些不是映射？为什么？14(1)M=直直线线Ax+By+C=0，N=R，f1:求求直直线线Ax+By+C=0的斜率的斜率;(2)M=直直线线Ax+By+C=0，N=|0，f
9、2:求直线求直线Ax+By+C=0的倾斜角的倾斜角;(3)当当M=N=R，f3:求求M中每个元素的正切；中每个元素的正切；(4)M=N=x|x0，f4:求求M中中每每个个元元素素的的算算术平方根术平方根.15 (1)当当B=0时时，直直线线Ax+C=0的的斜斜率率不不存存在在，此此时时N中中不不存存在在与与之之对对应应的的元元素素，故故f1不不是是从从M到到N的映射，也就不是函数了的映射，也就不是函数了.(2)对对于于M中中任任一一元元素素Ax+By+C=0，该该直直线线恒恒有有唯唯一一确确定定的的倾倾斜斜角角，且且0，)，故故f2是是从从M到到N的的映映射射.但但由由于于M不不是是数数集，从
10、而集，从而f2不是从不是从M到到N的函数的函数.16(3)由由于于M中中元元素素 (kZ)的的正正切切无无意意义义，即即它它在在N中中没没有有象象，故故f3不不是是从从M到到N的的映射，自然也不是函数映射，自然也不是函数.(4)对对于于M中中任任一一非非负负数数，其其算算术术平平方方根根唯唯一一且且确确定定，故故f4是是从从M到到N的的映映射射，又又M、N均均为非空数集，所以为非空数集，所以f4是从是从M到到N的函数的函数.17 题型二：映射中的象或原象问题题型二：映射中的象或原象问题2.已已知知映映射射f:AB，其其中中A=B=R，对对应应法法则则f:xy=-x2+2x，对对于于实实数数kB
11、，在在集集合合A中不存在原象，则中不存在原象，则k的取值范围是的取值范围是()A.k1 B.k1C.k1 D.k118 已已知知象象k求求原原象象x，即即求求方方程程 -x2+2x=k的的实实数数解解.本本题题要要求求k在在A中中无无原原象象，即即方方程程在在R中中无无实实根根.由由题题意意，方方程程 -x2+2x=k在在R中中无无实实根根，即即x2-2x+k=0在在R中中无实根，无实根，所以所以=(-2)2-4k0，解得，解得k1，所所以以当当k1时时，集集合合A中中不不存存在在原原象象，故选故选A.19点评：点评：从集合从集合A到集合到集合B的映射，集合的映射，集合A中的元素一定在集合中的
12、元素一定在集合B中有元素对应，即集中有元素对应，即集合合A中的元素有象，而集合中的元素有象，而集合B中的元素，可中的元素，可以不与集合以不与集合A中的元素对应，即中的元素对应，即B中的元素中的元素可以没有原象可以没有原象.20在在映映射射f:AB中中，已已知知A中中元元素素(x，y)与与B中的元素中的元素 对应对应.求：求：(1)A中的元素中的元素(1，3)的象；的象；(2)B中的元素中的元素(-5，2)的原象的原象.21 (1)令令x=1，y=3，则，则所以所以A中的元素中的元素(1，3)的象为的象为(2，-1).(2)令令则则x=-3，y=-7，所以所以B中的元素中的元素(-5，2)的原象
13、是的原象是(-3，-7).22 题型三：求映射的个数题型三：求映射的个数3.已知已知A=1，2，3，4，5，B=6，7，8.(1)从从A到到B的映射有多少个？的映射有多少个？(2)从从B到到A的映射有多少个？的映射有多少个？(1)由映射的概念及乘法原理知从由映射的概念及乘法原理知从A到到B的映射共有的映射共有35=243(个个).(2)同理，从同理，从B到到A的映射共有的映射共有53=125(个个).点点评评：设设集集合合A中中的的元元素素个个数数是是m，集集合合B中中的的元元素素个个数数是是n，则则从从集集合合A到到集集合合B的映射个数是的映射个数是nm.23已知已知A=B=1，2，3，4，
14、5，从，从A到到B的映射的映射f满足：满足：f(1)f(2)f(5);f的象有且只有的象有且只有2个，个，则适合条件的映射的个数为则适合条件的映射的个数为()A.10 B.20 C.30 D.4024 分分步步：在在B中中选选定定f下下的的两两个个象象，有有 种种；确确定定A中中元元素素在在f下下的的原原象象，由由条条件件将将1，2，3，4，5分分前前后后两两组组，分分别别对对应应较较小小与与较较大大的的两两个个数数，有有 种种分分法法，故故有有 个映射，选个映射，选D.25 题型题型 表格中的对应关系表格中的对应关系(原创原创)表中的数据表中的数据x(x0)与与y之间的对应关之间的对应关系是
15、系是f：xax2+bx+c，根据表中的数据填空，根据表中的数据填空.则则处的数据可以是处的数据可以是 ，处的数据可以是处的数据可以是 .参考题参考题x1234y136505026 由题意，由题意，可求得可求得 ，所以所以x=4时，可得时，可得y=10；由由y=5050及及x0可得可得x=100.所以所以处填处填10；处填处填100.271.判判断断对对应应是是否否为为映映射射，要要考考虑虑两两个个要要素素，一一是是A中中的的每每个个元元素素是是否否都都有有象象，二二是是每每个个元元素素的的象象是是否否唯唯一一.如如果果A中中存存在在一一个个元元素素没没有有象或有多个象，则该对应就不是映射象或有多个象，则该对应就不是映射.2.在在分分析析映映射射f:AB中中的的元元素素的的对对应应关关系系时时，须须注注意意A中中不不同同的的元元素素可可以以对对应应同同一一个个象象，B中中的的元元素素可可以以没没有有原原象象，即即B中中的的元元素素可可以以“剩余剩余”.28