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1、第第十十章章排排列列、组组合合、二二项项式式定定理理和和概概率率110.2 排列、组合应用题排列、组合应用题 第二课时第二课时题型题型4 用用“定义法定义法”求组合问题的方法求组合问题的方法数数 1.(1)求方程求方程x+y+z=7共有多少组正整数解共有多少组正整数解？2 (2)10名战士站成一排，从中任选名战士站成一排，从中任选3个个互不相邻的战士去执行一项任务，求共互不相邻的战士去执行一项任务，求共有多少种不同的选派方法有多少种不同的选派方法?解：解：(1)将将7个个1摆成一个横排，在除摆成一个横排，在除两端外侧的两端外侧的6个空当中放上两个个空当中放上两个“+”号，号，将将7个个1分成三
2、组，左、中、右三组中分成三组，左、中、右三组中1的的个数，分别为个数，分别为x、y、z的值，所以共有的值，所以共有 =15组解组解.3 (2)问题可理解为：问题可理解为：7个人站在一排，个人站在一排，现有现有3人插队，但不相邻，共有多少种选人插队，但不相邻，共有多少种选位方法位方法?每选三个位置算一种选法每选三个位置算一种选法.因为因为7人前后共有人前后共有8个空当，所以共有个空当，所以共有 =56种不同的选法种不同的选法.点评：点评：组合数计数对应的元素不考虑组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序，解决有关组合数计数其在位置上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中
3、问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序没有顺序或只有一种顺序.4 (1)甲、乙两队各派甲、乙两队各派5人按事人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全人全部负于对方时算一种比赛结果，求甲方获胜部负于对方时算一种比赛结果，求甲方获胜的比赛结果共有多少种可能的比赛结果共有多少种可能?(2)20个相同的小球，全部装入编号为个相同的小球，全部装入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内所放的球的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数，求共有多少种不同数不小于盒子的编号数，求共有多少种不同的放法的放法?5 解：解：(1)一方获胜至少要
4、下一方获胜至少要下5盘棋，至多要盘棋，至多要下下9盘棋，问题可理解为：在盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方盘对局中，甲方有且只有有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有所以共有 =126种可能种可能.(2)首先在首先在2号盒内放一个球，在号盒内放一个球，在3号盒内放号盒内放两个球，然后将余下的两个球，然后将余下的17个球摆成一横排，用个球摆成一横排，用两块隔板将其分割成三组，每组至少有两块隔板将其分割成三组，每组至少有1个球，个球，再将三组球分别放入三个盒子里即可再将三组球分别放入三个盒子里即可.因为因为17个球除两端外侧共有个球除两端外侧共有16
5、个空当，所个空当，所以共有以共有 =120种不同放法种不同放法.6 题型题型5 结合两个计数原理结合两个计数原理 求组合问题的方法数求组合问题的方法数78 学校资料室有相同的物理书学校资料室有相同的物理书3本，本，历史书历史书2本，数学书本，数学书4本，分别借给四个理科学本，分别借给四个理科学生和三个文科学生，每人限借与本学科相关的生和三个文科学生，每人限借与本学科相关的书一本，求共有多少种不同的借法书一本，求共有多少种不同的借法?解：解：依据题意，至少有一个文科学生和一依据题意，至少有一个文科学生和一个理科学生借数学，分为三大类：个理科学生借数学，分为三大类：仅有一个仅有一个文科学生借数学，
6、则对另外三本数学书可能只文科学生借数学，则对另外三本数学书可能只有有1个理科学生借，也可能有个理科学生借，也可能有2个理科学生借，个理科学生借，还可能有还可能有3个理科学生借，所以共有个理科学生借，所以共有 种方法；种方法；拓展练习拓展练习9 有有2个文科学生借数学，则对另外两个文科学生借数学，则对另外两本数学书可能只有本数学书可能只有1个理科学生借，也可能个理科学生借，也可能有有2个理科学生借，所以共有个理科学生借，所以共有 种方种方法；法；3个文科学生都借数学，另一本数学个文科学生都借数学，另一本数学借给借给1个理科学生，有个理科学生，有 种方法种方法.由分类计数原理，共有由分类计数原理，
7、共有 =76(种种).10 3.正四面体的顶点及各棱的中点共正四面体的顶点及各棱的中点共10个点，个点，从中任取从中任取4个点使其不共面，求共有多少种不个点使其不共面，求共有多少种不同的取法同的取法?解解:从从10个点中任取个点中任取4个点，共有个点，共有 种取法种取法.其中每个面上的其中每个面上的6个点中任何四点共面，对个点中任何四点共面，对应的取法有应的取法有4 ；一条棱上的三点和其对棱的；一条棱上的三点和其对棱的中点是共面的四点，对应的取法有中点是共面的四点，对应的取法有 种；除对种；除对棱外，其余四条棱的中点共面，正四棱锥共有棱外，其余四条棱的中点共面，正四棱锥共有3组对棱，对应的取法
8、有组对棱，对应的取法有3种种.题型题型6 用间接法求组合问题的方法数用间接法求组合问题的方法数11 点评：点评：对有限制条件的计数问题，一是对有限制条件的计数问题，一是可以根据是限制可以根据是限制“元素元素”还是还是“位置位置”来分来分类，再根据分类与分步来计算；二是转化为类，再根据分类与分步来计算；二是转化为一些基本的组合问题模型，利用间接法求解，一些基本的组合问题模型，利用间接法求解，如本题用的是如本题用的是“正难则反正难则反”的思路的思路.所以四点不共面所以四点不共面的取法共有的取法共有 =141(种种).12 从从4名男生和名男生和5名女生中任选名女生中任选5人人参加数学课外小组，求在
9、下列条件下各有多参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法少种不同的选法?(1)选选2名男生和名男生和3名女生，且女生甲必名女生，且女生甲必须入选；须入选；(2)至多选至多选4名女生，且男生甲和女生名女生，且男生甲和女生乙不同时入选乙不同时入选.解：解：(1)解法：先从解法：先从4名男生中选名男生中选2人，人，有有 种选法，再从除甲外的种选法，再从除甲外的4名女生中选名女生中选2人，人，有有 种选法种选法.13 由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有 =36(种种).解法：从名男生中选名，从名解法：从名男生中选名，从名女生中选名，共女生中选名，共 种选法，其中女生甲种选法，其中女生
10、甲不入选的方法数为不入选的方法数为 种种.所以共有所以共有 =36(种种).(2)从从9人中任选人中任选5人的选法有人的选法有 种种.其中其中5名女生都入选的选法有名女生都入选的选法有 种，男生甲和女生种，男生甲和女生乙同时入选的选法有乙同时入选的选法有 种种.所以符合条件的选法共有所以符合条件的选法共有 =90(种种).14 1.区分一个问题属于排列问题还是组合区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某问题，关键在于：当取出某m个元素后，如个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来列问题；如果改
11、变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题的取法，这就属于组合问题.2.解决组合应用题的常用方法是：首先解决组合应用题的常用方法是：首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类计数原理；然后局部分步，用到分用到分类计数原理；然后局部分步，用到分步计数原理步计数原理.15 3.与元素的位置、顺序无关的组与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的题型有：选派问题，合问题，常见的题型有：选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题组问题.解答组合应用题时，要在仔细解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为
12、组合审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清问题，对较复杂的组合问题，要搞清是是“分类分类”还是还是“分步分步”去解决，将复杂去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题问题通过两个原理化归为简单问题.16 4.对含有附加条件的组合问题，对含有附加条件的组合问题，通常用直接法或间接法，应注意通常用直接法或间接法，应注意“至至少少”“最多最多”“恰好恰好”等的词的含义等的词的含义的理解，对于涉及的理解，对于涉及“至少至少”“至多至多”等的组合问题，既可考虑反面情形即等的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接间接求解，也可以分类研究进行直接求解求解.17 5.一般地，从一般地，从n个不同元素中每次取个不同元素中每次取出出m个且某个且某k个元素必须在内的组合数是个元素必须在内的组合数是 ，某，某k个元素不能在内的组合数是个元素不能在内的组合数是 .6.图形个数的计算问题一般是组合图形个数的计算问题一般是组合问题问题.处理这类问题关键是图形的构成，处理这类问题关键是图形的构成，根据图形的特点设计计算程序，注意共根据图形的特点设计计算程序，注意共点、共线、共面等特殊情形，防止多算点、共线、共面等特殊情形，防止多算和漏算和漏算.18