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1、1余弦定理余弦定理一、考点突破一、考点突破知识点知识点课标要求课标要求题型题型说明说明余弦定理1. 通过对任意三角形边长和角 度关系的探索，掌握余弦定理，并 能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理等知识解 决一些测量学以及与几何计算等有 关的实际问题； 3. 通过对定理的研究，培养猜 想、论证能力，同时在学习中感受 数学的对称美与和谐美。填空题 解答题勾股定理是余弦定理 的特殊情况；高考可以直接考查余 弦定理，更多情况是将其 与正弦定理等内容结合进 行考查。二、重难点提示二、重难点提示 重点：重点：余弦定理的证明与运用。 难点：难点：判定三角形解的情况。1.1. 余弦定理的推导
2、余弦定理的推导ABC中，ACBABC，如何将向量关系转化为数量关系，能得出什么样的结论 呢？2.2. 余弦定理的内容及其常见变形余弦定理的内容及其常见变形内容：2222coscababC，2222cosabcbcA，2222cosbacacB变形：222 cos2abcCab，222 cos2bcaAbc，222 cos2acbBac。3.3. 余弦定理解斜三角形的类型余弦定理解斜三角形的类型 （1）SAS、SSS （2）SSA例题例题 1 1 在ABC中，acbCAB2,2，证明：ABC是等边三角形。2思路分析：思路分析：由题意得 B=3，条件2bac有两种转化方法，一种是用正弦定理化边为角
3、，然后在 A、C 两个角中消掉一个角，再解含一个角的三角方程。另一种方法是化角为边，即由 B=3运用余弦定理构造三条边的关系，再进一步变形。现给出思路 2 的求解过程。解：解：2,BACABC又，得 B=3，由余弦定理得2221cos=22acbBac，变形为222=acbac，又2bac，消2b得2-=0a c（），得 a=c，又 B=3，故ABC是等边三角形. 例题例题 2 2 在ABC中，,ABc ACb BCa（1）求AC边上的高 h；（2）求AC边上的中线长 m。思路分析：思路分析：三角形的三边长知道，则该三角形的形状确定，故其三个角、三边上的中 线及三条边上的高都可以确定，本题即在
4、这个背景下命题。第一小问求其中一边上的高可 用等面积法或通过解直角三角形求解；第二小问是求某边上的中线，可将中线置入某个三 角形中求解，通过两次解三角形得出答案。 答案：答案： 解： （1）过点 B 作BDAC，交 AC 或其延长线于点 D，不妨设C为锐角，在Rt BCD中，222 22sin1 cos1 ()2abcBDBCCaCaab，故高222444222222 22221 ()22abcabca ba cb chaabb。（2）取 AC 中点 E，在ABE中，由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEA，在ABC中，222 cos2bcaAbc，故2222222 22 422bbcaacbBEcbcbc，得中线长2222() 2acbm。【方法提炼方法提炼】（江西）在ABC中，内角 A，B，C 所对应的边分别为,cba，若6)(22bac，33C，则ABC的面积 。答案：答案： 222222226262cos 26 61133 3sin 6 2222cababcababcabCab abab abSabC QQ233 23621sin21CabS技巧点拨：技巧点拨：在实现三角形边角转化时，若出现222,bcaab的形式，一般考虑运用余弦定理化边为角；若仅出现一个角，通常也考虑用余弦定理化角为边。