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1、初中数学二次函数知识归纳初中数学二次函数知识归纳1.定义：一般地，假如y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.22.二次函数y ax的性质：（1）抛物线y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.222（2）函数y ax的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax（a 0）.3.二次函数y ax bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y ax h2222b4ac b2 k的形式，其中h
2、 ，k.2a4a2225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k；y ax h；y ax h k；y ax2 bx c.26.抛物线的三要素：开口方向,对称轴,顶点.a的符号确定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小,形态相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特殊地，y轴记作直线x 0.7.顶点确定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向,开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.b 4ac b228.求抛物线的顶点,对称轴的方法（1）公式法：y ax bx c ax，顶点是 2a4
3、ab4ac b2b（，），对称轴是直线x .2a4a2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴22是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用（1）a确定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.（2）b和a共同确定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线x 222b，故：b 02a时，对称轴为y轴；称轴在y轴右侧.bb 0（即a,b同号）时，对称轴
4、在y轴左侧；0（即a,b异号）时，对aa2（3）c的大小确定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）：c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时开口向上当a 0时开口向下对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)2b 0.ay ax2y ax2 ky ax h2x 0（y轴）x 0（y轴）x hy ax h k2x hx b2ay ax
5、2 bx c11.用待定系数法求二次函数的解析式b4ac b2，()2a4a（1）一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x,y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1,x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0,c).2（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点(h,ahbh c).22（3）抛物线与x轴的交点：二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1,x2，是对
6、应一元二次方2ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0 个交点,1 个交点,2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.（5）一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像G的交点，由方程组2y kxn的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有2y ax bxc
7、一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.0，Bx2，0，由于x1,（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为Ax1，2x2是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2,x1 x2aaAB x1 x213,二次函数的图像x1 x22b24acb 4c2x1 x24x1x2 aaaab对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a2二次函数的图像是一条关于x 抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3,二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y ax bx c与
8、坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的依次连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C,M,D 三点可粗略地画出二次函数的草图。假如须要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A,B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。14,二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)（2）顶点式：y a(x h)k(a,h,k是常数，a 0)2（3）当抛物线
9、y ax bx c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax bx c 0有实根x1和x2存在时，2222依据二次三项式的分解因式ax bx c a(x x1)(x x2)，二次函数y ax bx c可转化为两根式22y a(x x1)(x x2)。假如没有交点，则不能这样表示。15,二次函数的最值（10 分）假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小4ac b2b值），即当x 时，y最值。4a2a假如自变量的取值范围是x1 x x2，那么，首先要看b是否在自变量取值范围x1 x x2内，若在此2a4ac b2b范围内，则当x=时，y最值；若不在此范围内，则须要考虑函数在
10、x1 x x2范围内的增减性，4a2a2y最大 ax2bx2 c，y最小 ax12bx1 c；假如在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当x x2时，当x x1时，22假如在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当x x1时，y最大 ax1bx1 c，当x x2时，y最小 ax2bx2 c。16,二次函数的性质（614 分）1,二次函数的性质二次函数函数y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)a0a0 y 0 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延长；（2）对称轴是 x=y图像 0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延长；（2）对称轴是 x=bb，顶点坐标是（，2a2abb，顶点坐标是（
11、，2a2a4ac b2）；4a（3）在对称轴的左侧，即当x性质4ac b2）；4ab时，y 随 x2a（3）在对称轴的左侧，即当x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xb时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2ab时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（4）抛物线有最低点，当 x=增右减；bb时，y 有最小值，（4）抛物线有最高点，当x=时，y 有最大2a2a值，y最大值y最小值4ac b24a24ac b24a2,二次函数y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上，a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。1.两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面随意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。2