2022年初中数学二次函数知识详细归纳.docx

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1、中学数学二次函数学问归纳21. 定义:一般地,假如yax 2bxca,b, c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 yax的性质:( 1)抛物线 yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.( 2)函数 yax 2 的图像与 a 的符号关系 .当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点;0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .( 3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2(a0).3. 二次函数yax 2bxc 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线 .4. 二次函数 yax 2bxc 用配方法可化成:ya xh 2k 的形式,其中

2、 hb , k 2a4 acb 2.4a5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:yax2 ; yax 2k ; ya xh 2 ;ya xh 2k ; yax 2bxc .6. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向:当a0 时,开口向上;当 a0 时,开口向下; a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .平行于 y 轴(或重合)的直线记作xh . 特殊地, y 轴记作直线 x0 .7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)

3、公式法: y2ax2bxc2a xb 2a4acb 4a,顶点是b4ac(,2a4ab ),对称轴是直线 xb .22a( 2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .( 3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.9. 抛物线 yax 2bxc 中,a, b, c 的作用( 1) a 打算开口方向及开口大小,这与2yax中的 a 完全一样 .( 2)b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对

4、称轴是直线 xb ,故: b02a时,对称轴为 y 轴; ba轴在 y 轴右侧 .0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ba0 (即 a 、 b 异号)时,对称( 3) c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点( 0, c ): c0 ,抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴; c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标b0 .ay

5、ax2yax 2k当 a0 时( 0,0 )x0( y 轴)x0( y 轴)0,k ya xh 2开口向上xh h ,0当 a0 时ya xh 2k开口向下xh h , k yax 2bxcb2xb4 acb11. 用待定系数法求二次函数的解析式2 a,2 a4a( 1)一般式: yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式.( 2)顶点式: ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.( 3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标12. 直线与抛物线的交点x1 、 x2 ,通常选用交点式:ya xx1xx2.( 1) y 轴与抛物线 yax 2bx

6、c 得交点为 0,c .( 2)与 y 轴平行的直线xh 与抛物线 yax 2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .( 3)抛物线与 x 轴的交点:二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应一元二次方ax 2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与 x 轴相交;有一个交点(顶点在x 轴上)0抛物线与 x 轴相切;没有交点0抛物线与 x 轴相离 .( 4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同( 3)一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时

7、, 两交点的纵坐标相等, 设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .( 5)一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 G 的交点,由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点;方程组无解时l 与 G 没有交点 .( 6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离: 如抛物线 yax2bxc 与 x 轴两交点为A x1,0 , Bx2,0,由于x1 、x2 是方程ax 2bxc0 的两个根,故x1x2ABx1b , xxc12a a2x2x1x22x1

8、x24 x1x22b4caab24acaa13、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点:b对称的曲线,这条曲线叫抛物线;2a有开口方向;有对称轴;有顶点;3、二次函数图像的画法五点法:( 1)先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴( 2)求抛物线 yax2bxc 与坐标轴的交点:当抛物线与 x 轴有两个交点时, 描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C的对称点 D;将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二次函数的图像;当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点 C

9、及对称点 D;由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图;假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像;14、二次函数的解析式有三种形式:2( 1)一般式: yaxbxca,b, c是常数, a0( 2)顶点式: ya xh 2k a, h, k是常数, a0( 3)当抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点时,即对应二次好方程ax 2bxc0 有实根x1和x2 存在时,依据二次三项式的分解因式ax 2bxca xx1 xx2 ,二次函数 yax 2bxc 可转化为两根式yaxx1 xx2 ;假如没有交点,就不能这样表示;15、二次函数的最值

10、( 10 分)假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,b4acb 2即当 x时, y最值;2a4 a假如自变量的取值范畴是x1xx2 ,那么,第一要看b是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内,如在此范畴内,就当x=b 时, y 2 a24acb4 a;如不在此范畴内,就需要考虑函数在x1x1x2 范畴内的增减性,最值假如在此范畴内, y 随 x 的增大而增大, 就当 xx2 时,y最大ax2bx2c ,当 xx1 时,y最小ax 2bx1c ;2假如在此范畴内, y 随 x 的增大而减小, 就当 xx1 时,y最大ax2bx1c ,当 xx2 时,y最小ax

11、2bx2c ;1216、二次函数的性质( 614 分) 1 、二次函数的性质二次函数函数yax2bxca,b, c是常数, a0a0a0yy图像0x0x(1) 抛物线开口向上,并向上无限延长;( 1)抛物线开口向下,并向下无限延长;(2) 对称轴是 x=b,顶点坐标是(2ab ,( 2)对称轴是 x=2abb,顶点坐标是(,2a2a4 acb 2);4a4acb 2);4a(3) 在对称轴的左侧,即当xb时, y 随 x2 a( 3)在对称轴的左侧,即当xb 2a时, y 随 x 的增大而增大,简记左减xb2 a时, y 随 x 的增大而减小,简记左右增;(4) 抛物线有最低点, 当x=b时,y 有最小值,2 a增右减;( 4)抛物线有最高点, 当 x=b时, y 有最大2ay最小值4acb 24a值, y最大值4acb 24a2、二次函数 y2axbxc a, b, c是常数, a0 中,a、b、c 的含义: a 表示开口方向: a 0 时,抛物线开口向上, ,a 0 时,图像与 x 轴有两个交点;当=0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当0 时,图像与 x 轴没有交点;两点间距离公式:同轴两点求距离,大减小数就为之;与轴等距两个点,间距求法亦如此;平面任意两个点,横纵标差先求值;差方相加开平方,距离公式要牢记;1.

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