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1、文本为Word版本，下载可任意编辑初中数学二次函数知识点归纳 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II。二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0） 顶点式：y=a（xh）2+k抛物线的顶点P（h，k） 交点式：y=a（xx）（xx）仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线 注：在3种形式的互相
2、转化中，有如下关系： h=b/2ak=（4acb2）/4ax，x=（bb24ac）/2a III。二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV。抛物线的性质 1。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2。抛物线有一个顶点P，坐标为：P（b/2a，（4acb2）/4a）当b/2a=0时，P在y轴上；当=b24ac=0时，P在x轴上。 3。二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开
3、口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4。一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。 5。常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6。抛物线与x轴交点个数 =b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =b24ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=bb24ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V。二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二
4、次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2，y=a（xh）2，y=a（xh）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h0时，y=a（xh）2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h0，k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（xh）2+k的图象； 当h0，k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|
5、个单位可得到y=a（xh）2+k的图象； 当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（xh）2+k的图象； 当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（xh）2+k的图象； 因此，研究抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（xh）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=b/2a，顶点坐标是（b/2a，4acb2/4a） 3抛物线y=ax2+
6、bx+c（a0），若a0，当xb/2a时，y随x的增大而减小；当xb/2a时，y随x的增大而增大若a0，当xb/2a时，y随x的增大而增大；当xb/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： （1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）； （2）当=b24ac0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的两根这两点间的距离AB=|xx| 当=0图象与x轴只有一个交点； 当0图象与x轴没有交点当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，
7、都有y0 5抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a0（a0），则当x=b/2a时，y最小（大）值=（4acb2）/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 （1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c（a0） （2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（xh）2+k（a0） （3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（xx）（xx）（a0） 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现第 5 页 共 5 页