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1、式中，n称为二阶系统无阻尼自然振荡频率或固有振荡频率；称为二阶系统的阻尼比。实验一 二阶系统分析（时域分析）二阶系统传递函数的通用形式特征方程为：特征方程的根为：当01时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态；当=0时，系统有一对纯虚根，称为无阻尼状态，系统时间响应为持续的等幅振荡。二阶系统的响应特性完全由和n两个参数来描述，所以说和n是二阶系统的重要结构参数。当0时，二阶系统的稳态响应可用拉普拉斯变换中的终值定理获得。在单位阶跃输入作用下，二阶系统的稳态值为 下面分别按欠阻尼、临界阻尼、过阻尼三种不同情况，研究二阶系统在单位阶跃函数作用下的响应。1.欠阻尼情况(01)在二阶系统中，欠阻尼
2、二阶系统比较常见。由于这种系统具有一对实部为负的共扼复根，时间响应是衰减振荡特性，故又称为振荡环节。系统的传递函数为二阶系统的单位阶跃响应 由于01)当远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个衰减很快，另一个衰减很慢，衰减得快的指数项可以忽略，于是，系统的响应就类似于一阶系统的响应了。一般来说，只要一个负实根比另一个大4倍以上，阻尼比大于1.25时，就可以近似将系统等效成一阶的。图中画出一簇随变化的响应曲线c(t)。可以看出，当欠阻尼系统的值在0.5-0.8之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应曲线能更快达到稳定值。二阶系统阶跃响应过渡过程分析 实际调节系统的瞬态响应特性，在系统达到稳态
3、以前，常常表现为阻尼振荡过程（即欠阻尼情况）。为了分析调节系统对单位阶跃作用的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标，这些性能指标常用系统的单位阶跃响应的一些特征量来表示，如图4-5所示。上升时间：指单位阶跃响应曲线c(t)从稳态值的10上升到90所需的时间。峰值时间：指单位阶跃曲线c(t)超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。超调量：当稳态值c()=1时，从1开始计算的响应曲线的最大过调量值称为超调量。调节时间：在单位阶跃响应曲线的稳态值附近，取士5（有时也取士2）作为误差带，响应曲线达到并不再超过该误差带的最短时间称为调节时间（或过渡过程时间）衰减率：指经过一个周期后阶跃响应曲线上振幅
4、的相对减小。稳态误差e()：当时间t趋于无穷大时，系统单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值即输入量1(t)之差，定义为稳态误差 上述六项时域性能指标中，上升时间tr和峰值时间tp表征系统响应初始段的快慢；调节时间ts表示系统过渡过程持续的时间，从总体上反映了系统的快速性；超调量Mp和衰减率是反映系统响应过程的平稳性；稳态误差e()则反映了系统复现输入信号或保持被调参数的稳态精确度。系统的稳态值可用拉普拉斯变换的终值定理计算。下面侧重讨论欠阻尼二阶系统的峰值时间tp、超调量Mp、衰减率和调节时间ts 的计算。1、峰值时间tp根据式(4-17)，将c(t)对时间微分，并令微分值等于零，可求得峰
5、值时间。1、峰值时间tp 进而得出输出出现极值的时间t，应满足dtp=n(n=0,1，2，）关系。因为峰值时间对应于第一次峰值过调量，所以dtp=,因此上式表明，峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半。2、超调量Mp将式峰值时间tp代入式(4-17），得到输出量的最大值为所以超调量为超调量随着阻尼比的增大而减小。3、衰减率衰减率同超调量一样，只与阻尼比有单值关系。衰减率随阻尼比的增大而增大。4、调节时间ts包络线是一对时间常数为1/(n)的指数曲线。系统阶跃响应的衰减速度取决于时间常数1/(n)，或取决于特征根的负实部。时间常数T=1/(n)的数值越大，或实部 的数值越小，阶跃响应的衰减速度越慢，
6、调节时间ts也就越长。可以看出，在同一n的情况下，当在0和1之间时，阻尼很小的系统的调节时间ts比具有较大阻尼的系统调节时间要长。对于过阻尼系统，由于响应曲线上升极慢，所以调节时间也较长。列写调节时间ts的表达式是相当困难的，但可以用下列公式进行。当00.9，且采用2的误差带时，ts近似等于系统时间常数的4倍，即如果采用5的误差带时，ts近似等于系统时间常数的3倍，即阶跃响应的衰减速度和调节时间取决于特征根的负实部。为了保证必要的衰减速度和调节时间，特征根的负实部的绝对值应不小于0。阶跃响应的超调量和衰减率取决于衰减指数m，即取决于特征根的负实部和虚部的绝对值之比。为了保证必要的超调量和衰减率，衰减指数m不应小于m0。因此，如果以0和mm 0作为调节系统满足稳定性裕度的指标来要求，那么对系统特征根的分布也就提出了一定的限制，即这些根必须落在复平面的某一特定区域之内，如图中折线abcd的左方。