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1、2022-8-1第三章线性系统的时域分析2 我们称二阶微分方程描述的系统为二阶系统，如 图3-10所示的位置随动系统的开环传递函数为：KmKBKssTKsW2)(系统的闭环传递函数为：) 1(sTsKWmKK二阶系统闭环传递函数的标准形式为：mKmmKBTKsTsTKsW1/)(22022-8-1第三章线性系统的时域分析422222)()()()2(nnnrcBnnKsssXsXsWssW则得：位为或无阻尼振荡频率，单荡角频率称作二阶系统的自然振引入参数,/,sradTKmKn量纲二阶系统的阻尼比，无单位为秒二阶系统的时间常数，式中：KmmKT21T2022-8-1第三章线性系统的时域分析5二
2、阶系统的特征方程：0222nnss特征方程的两个根（闭环极点）为：122, 1nns二阶系统的标准结构图为：( )rXs( )cXs2. 二阶系统闭环极点随阻尼系数变化的情况 2022-8-1第三章线性系统的时域分析7二阶系统的时间响应取决于二阶系统的时间响应取决于和和n n 这两个参数。这两个参数。随着阻尼比随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根具有不取值的不同，二阶系统的特征根具有不同的性质，从而系统的响应特性可分为以下几种情况：同的性质，从而系统的响应特性可分为以下几种情况：1011002022-8-1第三章 控制系统的时域分析8101、欠阻尼、欠阻尼：系统的闭环极点为：系统的闭环极点为
3、：21nd称为阻尼自然振荡角频率。dnnjjs22, 11 单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。 当输入信号为：则 输出的拉氏变换为： ssXr1ssssXsWsXnnnrBc12)()()(2222022-8-1第三章 控制系统的时域分析9系统闭环极点是一对共轭复数极点，因为实部 为负，所以位于平面左半平面。)(n2222221)2()(nnnnncssbassssssXnnnnbassbsas2, 1:2:2222可求得由于2022-8-1第三章 控制系统的时域分析10222222221221)(:nnnnnnnnncsssssssssssX因此 222222222111d
4、nddnndnndnncsssssssssXttdtdtnnsine1cose-1(t)x-2-c2022-8-1第三章 控制系统的时域分析11)(1arctg cos 1sin )sin(e11-1 )sincos1(e11-1 sine1cose-1(t)x22-22-2-2-c阻尼角tttttdtddtdtdtnnnn2022-8-1第三章 控制系统的时域分析12欠阻尼时，系统的阶跃响应 的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为：)(tc21ndd称为阻尼自然振荡频率。( )cx t( )cx 2022-8-1第三章线性系统的时域分析13 （1 1）当）
5、当 时，二阶系统单位阶跃响应时，二阶系统单位阶跃响应 和其偏差和其偏差 响应均为响应均为衰减的正弦振荡过程衰减的正弦振荡过程。二阶系二阶系统所具有的衰减正弦振荡形式的响应称为欠阻尼响统所具有的衰减正弦振荡形式的响应称为欠阻尼响应。应。 01( )c t()et-c21e(t)(t)- (t)esin() t01ntrdxxt2022-8-1第三章线性系统的时域分析14（2 2）共轭复数极点实部的绝对值）共轭复数极点实部的绝对值 决定了欠决定了欠阻尼响应的衰减速度，阻尼响应的衰减速度， 越大，即越大，即共轭复数极点离共轭复数极点离虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。虚轴越远，欠阻尼响应衰减得越快。欠
6、阻尼响应的欠阻尼响应的振荡频率为振荡频率为 ，其值总小于系统的无阻尼自然振荡，其值总小于系统的无阻尼自然振荡频率频率 。（3 3）欠阻尼响应过程的偏差随时间的推移而减）欠阻尼响应过程的偏差随时间的推移而减小，当时间趋于无穷时它趋于零。小，当时间趋于无穷时它趋于零。 nndn2022-8-1第三章线性系统的时域分析15( )cx t( )cx tttxnccos1)(响应为等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。无阻尼自然频率。n02.无阻尼：无阻尼：222)()()(nnrcBssXsXsW单位阶跃输入时， ，输出的拉氏变换为：ssR1)(2222211)(nnncssssssX2022-8-1第三
7、章线性系统的时域分析162022-8-1第三章线性系统的时域分析1700.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseTime (sec)Amplitude2022-8-118ns2 . 11时,当 nnnnncssssssX11 222 tncnettx11 求其拉氏反变换，得：此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。13、临界阻尼：、临界阻尼：122, 1nns第三章线性系统的时域分析输出的变化率为:0)(368. 0)(;0)()(102tcntctctncdttdxdttdxdttdxt
8、edttdxnn二阶系统的临界阻尼单位阶跃响应曲线存在拐点2022-8-1第三章线性系统的时域分析2001234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)Amplitude闭环极点为：2122(1)(1)nnpp 是小于零的两个相异实根,均位于根平面的左半平面的实轴上。121,p， -p13、过阻尼：2022-8-1第三章线性系统的时域分析21-P2-P1系统的单位阶跃响应可求得如下：22221201212( )(2)()()nncnnXss sss spspAAAsspsp按不同极点的情况求系数321,AAA1210
9、21223222( )11( ) ()21(1)1( ) ()21(1)cscspcspAXssAXsspAXssp2022-8-1第三章线性系统的时域分析221p2p求拉氏反变换，得： 0,111211)(2)1(2)1(222teetxttcnn21211( )( )1nnnnpCsR ssps12022-8-1第三章线性系统的时域分析241. 单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成；单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成；2. 而暂态分量包含两项衰减的指数项。而暂态分量包含两项衰减的指数项。3. 当当 时，第二项的衰减指数远大于第一项。时，第二项的衰减指数远大于第一项。 此时，可
10、将第二项忽略，将系统近似为一阶系统。此时，可将第二项忽略，将系统近似为一阶系统。近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。01)()1(2tetxtcn，系统的响应时间为）达到%95()1(32n相当于惯性时间常数nT)1(12在工程上，当时，使用上述近似关系已有足够的准确度。5 . 1此时系统的单位阶跃响应为：2022-8-1第三章线性系统的时域分析252022-8-1第三章 控制系统的时域分析26:)为则输出响应的准确值(,如令蓝色2, 1n ttceetx27. 073. 3077. 1077. 01 tcetx27. 01近似计算值近似计算值 （绿色绿色）：）：120.273.73pp
11、一般来说，当s1与虚轴的距离为s2与虚轴的距离的五倍以上时即可用一阶系统来近似。（主导极点。（主导极点的概念）的概念）051015202500.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)Amplitude二阶系统不同阻尼系数情况下的单位阶跃响应曲线 取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：tn从图可见：（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。8 . 05 . 02022-8-1
12、第三章线性系统的时域分析292022-8-1第三章线性系统的时域分析30。 nj0 增大增大n n=n nd d122, 1nns22, 11nnjsns2, 1）无阻尼：（0)sin(111)(2tetcdtnnjs2, 1ttcncos1)( tnnettC11 ）欠阻尼：（10等幅振荡：衰减振荡：）临界点阻尼：（1衰减：）过阻尼：（1衰减：111211)(2)1(2)1(222ttnneetc2022-8-1第三章线性系统的时域分析312022-8-1第三章线性系统的时域分析340 . 20 . 12 . 01 . 06n2022-8-1第三章线性系统的时域分析36121086427 .
13、 0n-c2-21x (t)1-esin() 111esin()01sin()0n rn rtd rtd rd rd rtttt、上升时间、上升时间tr得：rdt2022-8-1第三章线性系统的时域分析37、峰值时间、峰值时间tm得：mdt-c21x ()1-esin() 1n mtmd mtt 要使 最大，即： 且时间最短，则有：cx ()0mt-c2221x ()(-esin() ecos()01-sin()1 cos()0- sin()1 cos()0sin()0sin()0n mn mttmnd mdd mnd mnd md md md md md mtttttttttt 2022-8
14、-1第三章线性系统的时域分析38、最大超调量、最大超调量得：21()( )%(%)( )cmcPPcx txeMMx或2222-c2-1122-11221x ( ) 1-esin() 1111-esin() 1esin( )1111e11 e1n mddtmd mtt 2022-8-1第三章线性系统的时域分析392022-8-1第三章线性系统的时域分析40)%( %PPMM 或2022-8-1第三章线性系统的时域分析410 . 20 . 12 . 01 . 06n2022-8-1第三章线性系统的时域分析4212108642)(7 . 0n不变、调节时间、调节时间ts 由图可见，实际输出响应的收
15、敛程度小于包络线的收敛程度。为方便起见，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，结果略保守： 用输出响应式很难求调节时间，但是对于欠阻尼二阶系统单位阶跃响应式，指数曲线：是对称于稳定输出线的一对包络线，如图所示： e111-2tn051015202500.511.52Step ResponseTime (sec)Amplitude2022-8-1第三章线性系统的时域分析43调节时间调节时间ts e11-2snt 当阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值 的误差范围(一般取 或 ) ，则有： %5%2)11ln1(ln12nst 较小时， ，当 ，有：011ln205. 0Ttns33当 ，有：02.
16、 0Ttns44 其中 为系统的时间常数。nT1在分析问题时，常取 Ttns5 . 35 . 35 . 32022-8-1第三章线性系统的时域分析445.5.振荡次数振荡次数 振荡次数是指在调节时间内，输出变量波动的次数，即：2221sffdnttt阻尼振荡的周期时间2022-8-1第三章线性系统的时域分析46dndnndttt一定，一定，22 . 06 . 01rnrndrttt一定，一定，)(pndptt一定，%,%100%21只取决于阻尼比esnnstt即部数值成反比，调节时间与闭环极点实5 . 3结论：结论：1. 最大超调量最大超调量 由阻尼比由阻尼比 唯一决定。一般先根据最大超调唯一
17、决定。一般先根据最大超调量量 的要求选择的要求选择 值，在实际工程中值，在实际工程中 值一般在值一般在0.50.8之间。之间。2. 系统的快速性能指标，系统的快速性能指标，tr、tp等则由等则由 和和 决定。当决定。当 一一定时。定时。%n%2022-8-1第三章线性系统的时域分析47%prntt,3. 调节时间调节时间 与与 成反比。成反比。 4.性能指标的矛盾性：性能指标的矛盾性：系统反应越快，超调量越大；系统反应越快，超调量越大；系统稳定性越好，系统反应越慢。系统稳定性越好，系统反应越慢。sntnst例2：已知单位负反馈系统的开环传递函数为)2(4)(sssG 确定系统的和，并求最大超调量和调整时间npMst解：因为可得steMsssssGnspnnnn33%)5(%3.16%1005.02224)2(4)2()(212，2022-8-1第三章线性系统的时域分析51