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1、333 3 二阶系统分析二阶系统分析 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。一、二阶系统地数学模型 最简单的二阶微分方程的标准形式是：最简单的二阶微分方程的标准形式是：其闭环特征方程为：其闭环特征方程为：方程的特征根为：方程的特征根为：经过拉氏变换可得：经过拉氏变换可得：由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示：系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示
2、：0jwjws1s2 当当00111时，系统处时，系统处于于过阻尼状态过阻尼状态,有两有两个不相等的负实根，个不相等的负实根，系统时间响应无振荡系统时间响应无振荡,单调上升单调上升 当当0 0时，系统处于时，系统处于零阻尼状态零阻尼状态,有一对纯虚根，系统时间响应为有一对纯虚根，系统时间响应为持续的等幅振荡持续的等幅振荡 当当0T2,Wn2=1/T1T2则：因此，过阻尼二阶系统可以看作是两因此，过阻尼二阶系统可以看作是两个时间常数不同的惯性环节的串联个时间常数不同的惯性环节的串联 1 1、过阻尼、过阻尼11的情况的情况分析：分析：系统闭环特征方程有两个不相等的实根系统闭环特征方程有两个不相等的
3、实根特征方程为特征方程为：当当输入信号为单位阶跃时，系统的单位阶跃响应为：输入信号为单位阶跃时，系统的单位阶跃响应为：稳态分量为稳态分量为1，动态分量为两项指数函数，且随着，动态分量为两项指数函数，且随着时间时间t的增长而衰减为零，最终输出稳态值为的增长而衰减为零，最终输出稳态值为1，所以，所以系统不存在稳态误差系统不存在稳态误差。其响应曲线如下图所示：其响应曲线如下图所示：tC(t)h(t)1系统有两个衰减指数项，当1时，后一项指数比前一项衰减的快，可以忽略，近似为一阶系统 对于过阻尼二阶系统，无超调量，无稳态误差只着重讨对于过阻尼二阶系统，无超调量，无稳态误差只着重讨论调节时间，下图是取对
4、变量论调节时间，下图是取对变量ts/T1及及T1/T2经机器结算后绘经机器结算后绘制成的曲线：制成的曲线：由曲线看出，当由曲线看出，当T1T2时，即时，即的临界阻尼情况的临界阻尼情况ts 4.75 T1；当；当T14T2，即即.25时，时，ts 3.3T1；当当T14T2，即，即.25时，时，ts 3T1结论：当一个系统的一个负实结论：当一个系统的一个负实根比另一个大四倍以上，即两根比另一个大四倍以上，即两个惯性环节时间常数相差四倍个惯性环节时间常数相差四倍以上，则系统可以等效为一阶以上，则系统可以等效为一阶系统，其时间调节时间可以近系统，其时间调节时间可以近似估算为似估算为3 T1。2 2、
5、临界阻尼、临界阻尼=1=1的情况的情况 这时系统具有两个相等的负实根，这时系统具有两个相等的负实根，s s1,21,2=-=-WnWn所以所以则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：3 3、零阻尼、零阻尼=0=0的情况的情况 这时系统极点为，这时系统极点为，s s1,21,2=jWnjWn4 4、欠阻尼、欠阻尼0101的情况的情况 系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。一对共轭复根为：减振荡特性，故又称为振荡环节。一对共轭复根为：阶跃响应为：阶跃响应为：或者 系统的稳态分
6、量为系统的稳态分量为1，动态分量是一个随时间动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率振荡角频率Wd取决于阻取决于阻尼比尼比及及无阻尼自然频率无阻尼自然频率WnWn.单位阶跃响应如右图单位阶跃响应如右图所示：所示：极点的负实部极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称是振荡频率。称 为阻尼振荡角频率为阻尼振荡角频率。当当0.7070.707，以，以n nt t为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下：为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下：由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线收敛速度
7、要快，因此可用包络线来估算调节时间。收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。t=0:0.1:5x=sqrt(1-0.992)h1=1+exp(-0.99*t)/xh2=1-exp(-0.99*t)/xh3=1-(exp(-0.99*t)/x).*sin(x*t+acos(0.99)plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid 二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来分析系统系统结构参数分析系统系统结构参数、WnWn对对阶跃响应性能的影响。阶跃响应性能的影响。12 由图可以看出，对由图可以看出，对欠阻尼系统，当欠阻尼系统，当0.5
8、0.8时，时，其暂态响应能更快其暂态响应能更快的达到稳定值，具的达到稳定值，具有较小的调节时间。有较小的调节时间。在无振荡的系统中，在无振荡的系统中，临界阻尼比过阻尼临界阻尼比过阻尼系统的相应时间和系统的相应时间和调整时间都短。过调整时间都短。过阻尼系统的响应速阻尼系统的响应速度最迟缓。度最迟缓。阻尼比与超调量阻尼比与超调量%的关系曲线如下：的关系曲线如下：平稳性平稳性：由由曲线曲线看出，阻尼比看出，阻尼比越大，超调量越小，相应的越大，超调量越小，相应的振荡倾向越弱，平稳性越好，反之，则振荡越强，平振荡倾向越弱，平稳性越好，反之，则振荡越强，平稳性越差。当稳性越差。当0 0时，零阻尼响应变成具
9、有频率为时，零阻尼响应变成具有频率为WnWn的不衰减（等幅）振荡，表达式如下：的不衰减（等幅）振荡，表达式如下：由阻尼比和超调量的由阻尼比和超调量的关系曲线关系曲线可以看出，可以看出，在一定的在一定的阻尼比阻尼比下，下，WnWn越大，振荡频率越大，振荡频率WdWd也越高，系统响也越高，系统响应的平稳性越差。应的平稳性越差。结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比求阻尼比大，自然频率大，自然频率WnWn小。小。快速性快速性：由由曲线曲线可以看出，阻尼比可以看出，阻尼比过大，系统响应迟钝，过大，系统响应迟钝，调节时间调节时间TsTs长
10、，快速性差；长，快速性差；过小，虽然响应的起过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间也长，快速性差。节时间也长，快速性差。由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可以由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可以看出当看出当0.7070.707时，调节时间最短，即快速性最时，调节时间最短，即快速性最好。好。在二阶系统的单位阶跃响应中，自变量总是与在二阶系统的单位阶跃响应中，自变量总是与参数参数T T（T TWn-1Wn-1）结合成）结合成t/Tt/T出现，出现，h(th(t)好像是以好像是以T T作为时间作为时间t t的计量单位，因此的
11、计量单位，因此T T具有时间尺度的性质，具有时间尺度的性质，如果如果T T增大几倍，则增大几倍，则h(th(t)就在横坐标方向展宽几倍，就在横坐标方向展宽几倍，反之则压缩几倍。反之则压缩几倍。结论：结论：对于对于值相同的系统来说，过渡过程经历值相同的系统来说，过渡过程经历的时间长短就正比于时间常数的时间长短就正比于时间常数T T，反比于，反比于WnWn。稳态精度：稳态精度：系统的单位阶跃响应的稳态分量为系统的单位阶跃响应的稳态分量为1 1，动态分量均为衰，动态分量均为衰减的指数函数，因此，当时间减的指数函数，因此，当时间t t趋于无穷时，动态分量衰减趋于无穷时，动态分量衰减为零，因此，为零，因
12、此，二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1 1、上升时间、上升时间t tr r 单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升时间，此时，时间，此时，h(th(tr r)=1,)=1,即得：即得：解得0jwjws1s2结论：当阻尼比结论：当阻尼比一定时，欲使上升时一定时，欲使上升时间间tr tr较较短，必须要求系统具有较高得短，必须要求系统具有较高得无阻尼自然频率无阻尼自然频率WnWn。2 2、峰值时间、峰值时间t tp p 响应曲线
13、到达第一次峰值所需要得时间，将系统的单位响应曲线到达第一次峰值所需要得时间，将系统的单位阶跃响应阶跃响应h(t)对时间求导，并令其为零，可得到峰值时间。对时间求导，并令其为零，可得到峰值时间。所以有由于由于t tp p定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：3 3、超调量、超调量%将将t=t=t tp p代入代入代入系统阶跃响应的表达式，且代入系统阶跃响应的表达式，且h()=1,h()=1,所以 4 4、调节时间、调节时间t ts s 根据定义，可由h(ts)-h()=0.05h()求得ts,但比较困难，一般当阻尼比0.40.8时，采用下列近似公式来计算
14、：由于由于通常是根据最通常是根据最大超调量的要求来确定大超调量的要求来确定的，所以的，所以ts ts主要由主要由wnwn来来确定。确定。02468101200.20.40.60.811.2z=1z=0.42z=0.68z=0.8wnt 由分析知，当由分析知，当0.40.40.80.8时，调节时时，调节时间和超调量都较小。间和超调量都较小。工程上常取工程上常取0.7070.707作为设计依据，作为设计依据，称为最佳阻尼比称为最佳阻尼比。5 5、振荡次数、振荡次数NN 由定义可知：若已知，且，且 则振荡次数：0.2 0.4 0.6 0.8 1.01234N02%误差带eg32:位置随动系统的开环传
15、递函数如下，当给定位置位置随动系统的开环传递函数如下，当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益为单位阶跃时，试计算放大器增益Ka200时，输出位置时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间、调节时间和超调量。如响应特性的性能指标：峰值时间、调节时间和超调量。如果将放大器增益增大到果将放大器增益增大到Ka1500或减小到或减小到Ka13.5，那那么响应的动态性能有何影响？么响应的动态性能有何影响？解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：将将K K200200代入得：代入得：对照标准形式得：对照标准形式得：故峰值时间：故峰值时间：调节时间：调节
16、时间：超调量：超调量：由标准形式 即当即当KaKa增大时，增大时，WnWn增大，增大，减小，调节时间没减小，调节时间没有变化，峰值时间减小（即提前），超调量增大。有变化，峰值时间减小（即提前），超调量增大。系统成为过阻尼系统，可以看成两个时间常数不同系统成为过阻尼系统，可以看成两个时间常数不同得惯性环节得串连，没有峰值时间和超调量，而调节时间得惯性环节得串连，没有峰值时间和超调量，而调节时间主要取决于大时间常数得一阶系统，得到：主要取决于大时间常数得一阶系统，得到：t ts s=3T=3T1 1=1.46s,=1.46s,过程比较缓慢。过程比较缓慢。KaKa在取不同值时，系统的阶跃响应曲线如下
17、所示：在取不同值时，系统的阶跃响应曲线如下所示：K=200K=1500K=13.5如何利用simulink分析系统？首先打开silulink设置参数。然后点击仿真，察看仿真结果R(s)(-)C(s)化为标准形式化为标准形式 即有即有 2 n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：解：系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 解得解得 n=5,=0.5 例例 已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。求系统单位阶跃响应指标。设设单单位位反反馈馈的的二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线如如图图所所示示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。解解：图图示示为为一
18、一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线。由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，先先确确定定二二阶阶系系统统参参数数，再再求求传传递函数。递函数。0t(s)11.30.1c(t)例例四、二阶系统响应性能的改善措施 系统响应性能对结构参数的系统响应性能对结构参数的要求往往时矛盾的要求往往时矛盾的，加大开环增益会提高响应速度，但阻尼偏小使振荡加大开环增益会提高响应速度，但阻尼偏小使振荡加剧；反之，减小增益能提高系统响应的平稳性，加剧；反之，减小增益能提高系统响应的平稳性，但过渡过程时间又加长，因此，需要通过其他控制但过渡过程时间又加长，因此，需要通过其
19、他控制方式，改变系统的动态性能和稳态性能。方式，改变系统的动态性能和稳态性能。1.1.0,t0,t1 1 误差信号为正，产生正向修正误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。出现正向超调。2.2.t t1 1,t,t2 2 误差信号为负误差信号为负，产生反向修正产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。此时输出达到最大值。3.3.t t2 2,t,t3 3 误差信号
20、为负误差信号为负，此时反向修正此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。稳态值，出现反向超调。4.4.t t3 3,t,t4 4 误差信号为正误差信号为正，产生正向修正产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。此时输出达到反向最大值。二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程:二阶系统超调产生原因二阶系统超调产生原因:1.1.0,t0,t1 1 正向修正作用太大，特别在靠近正向修正作用太大，特别在靠近t t1 1 点时。点时。2
21、.2.t t1 1,t,t2 2 反向修正作用不足。反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路减小二阶系统超调的思路:1.1.0,t0,t1 1 减小正向修正作用。附加与原误减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。2.2.t t1 1,t,t2 2 加大反向修正作用。附加与原误加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。3.3.t t2 2,t,t3 3 减小反向修正作用。附加与原误减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。4.4.t t3 3,t,t4 4 加大正向修正作用。附加与原误加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号
22、。差信号同向的信号。即在即在0,t0,t2 2 内附加一个负信号，在内附加一个负信号，在t t2 2,t,t4 4 内附加一个正信号。内附加一个正信号。减去输出的微分减去输出的微分或或加上误差的微分加上误差的微分都具有这种效果。都具有这种效果。1、比例、比例微分控制微分控制 比例微分控制的二阶系统如下所示，比例微分控制的二阶系统如下所示，E（s）为误差为误差信号，信号，Td为微分时间常数。它是一种早期控制，能在为微分时间常数。它是一种早期控制，能在实际超调之前就产生一个适当的修正作用。系统的实际超调之前就产生一个适当的修正作用。系统的1TdsE(s)C(s)R(s)-系统的开环传递函数为：系统
23、的开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：TdsTds的设置等效于阻尼比加大，从而使超调减弱，的设置等效于阻尼比加大，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。基于在原系统阻尼比很小的情改善了系统的平稳性。基于在原系统阻尼比很小的情况下，可实现等效阻尼比等于况下，可实现等效阻尼比等于1 1，完全消除振荡。，完全消除振荡。eg3-3:eg3-3:如下图所示的单位负反馈系统，已知系统在单如下图所示的单位负反馈系统，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差为位斜坡输入时，稳态误差为e ess ss1/k1/k，若要求若要求ess0.2ess0.2，d d0.50.5，试确定试确定K K与与TdTd的值。
24、的值。解解：由：由e ess ss1/k 0.21/k 0.2，取，取K K5 5，令，令TdTd0 0，可得无零可得无零点二阶系统的闭环特征方程：点二阶系统的闭环特征方程：S2+0.6s+3=0因此得：0.173，Wn=1.732 当当Td0Td0，由，由d d0.5TdWn0.5TdWn2 20.5,0.5,可以求出可以求出Td=0.38s,Td=0.38s,此时系统为有零点二阶系统。此时系统为有零点二阶系统。系统的时间响应曲线如下所示：系统的时间响应曲线如下所示：KTds+1E(s)C(s)R(s)-未加入比例未加入比例微微分控制的系统阶分控制的系统阶跃响应曲线跃响应曲线 加入比例加入比
25、例微分微分控制的系统阶跃控制的系统阶跃响应曲线响应曲线闭环传递函数：闭环传递函数：输出量拉氏变换：输出量拉氏变换：其中其中输出响应为：输出响应为：式中式中加入比例微分控制后的参数计算加入比例微分控制后的参数计算超调量超调量 :调节时间调节时间ts:令令 为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立部分性能指标：部分性能指标：式中式中峰值时间峰值时间tp:对其求导，令其为零。求得对其求导，令其为零。求得已知输出响应已知输出响应取误差带取误差带 =0.05,由上式解得由上式解得 2、测速反馈控制 将输出量的导数反馈到系统输入端，与误差信号相将输出量的导数反馈到系
26、统输入端，与误差信号相叠加，以增大系统阻尼，改善系统动态性能的控制称叠加，以增大系统阻尼，改善系统动态性能的控制称为测速反馈控制，如下图所示：为测速反馈控制，如下图所示：KtsE(s)C(s)R(s)-系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：K(开环增益开环增益)eg3-4:eg3-4:设控制系统如下图所示，试确定系统阻尼比为设控制系统如下图所示，试确定系统阻尼比为0.50.5时的时的KtKt值，并计算系统有无测速反馈时的性能指标。值，并计算系统有无测速反馈时的性能指标。KtsE(s)C(s)R(s)-解：无测速反馈时，系统的闭环传递函数为：解：无测速反馈时，系统的闭环传递函数为：因此，因此，0.1580.158，WnWn3.163.16，且在，且在单位阶跃信号作用单位阶跃信号作用下，计算得动态性能：下，计算得动态性能：tr tr=0.55s,%=60.4%,ts=7s=0.55s,%=60.4%,ts=7s 带测速反馈时，系统的闭环传递函数为：带测速反馈时，系统的闭环传递函数为：因此，0.5，Wn3.16时，tr=0.77s,%=16.3%,ts=2.2s%=16.3%,ts=2.2s 无测速反馈时，无测速反馈时，系统的阶跃响系统的阶跃响应：应：带测速反馈时，带测速反馈时，系统的阶跃响系统的阶跃响应：应：