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1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时教案一、内容和内容解析1.内容一元二次不等式的定义、解法，二次函数与一元二次方程、不等式的联系.2.内容解析函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.用二次函数函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性.从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点，
2、从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.同时，函数图象与x轴的交点又将x轴分成几部分，每一部分（不含交点）对应的函数图象都在x轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即ax2+bx+c0或者ax2+bx+c0（a0）或ax2+bx+c0（a0），其中a，b，c均为常数.设计意图：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，同时明确一元二次不等式的定义和一般形式.（二）一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函
3、数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？师生活动：教师用信息技术画出函数y=x2-12x+20的图象，并在函数图象上任取一点P（x，y），让点P在抛物线上移动.让学生观察图象，并回答：随着点P的移动，它的纵坐标在变化过程中有什么特殊情况？学生观察思考后回答：当点P移动到x轴上时，它的纵坐标等于0；当点P移动到x轴上方时，它的纵坐标大于0；当点P移动到x轴下方时，它的纵坐标小于0.追问1：当点P的纵坐标为0时，如何求点P的横坐标？师生活动：引导学生得出：解方程x2-12x+20=0，方程的根就是点P的横坐标.追问2：一元二次方程x2-12x+20=0的实数根与二次函数y=x
4、2-12x+20有什么关系？师生活动：引导学生得出：一元二次方程x2-12x+20=0的两个实数根是2和10. 从函数的角度看，就是二次函数y=x2-12x+20图象上纵坐标为0的点的横坐标.追问3：一元二次方程x2-12x+20=0的实数根就是二次函数y=x2-12x+20图象上纵坐标为0的点的横坐标，这个结论可以推广到一般吗？师生活动：引导学生得出这一结论可以推广.教师总结：对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点，二次函数y=x2-12x+20的两个零点是2和10.追问4：二次函数y=x2-12x+20的两个零点将x轴分
5、成三段.每一段（不包括零点）对应的函数图象有什么特点？函数值有什么特点？师生活动：引导学生得出：当x10时，函数图象位于x轴上方，此时y0，即x2-12x+200；当2x10时，函数图象位于x轴下方，此时y0追问5：从函数图象上能确定矩形的边长是多少米？师生活动：引导学生得出：一元二次不等式x2-12x+200（a0）和ax2+bx+c0）的解集吗？对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）、一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）与相应的函数y=ax2+bx+c（a0）之间是否也具有类似的关系？师生活动：教师提出问题后，可以让学生以小组为单位进行讨论，教师巡视指导，然后全班展示各组结
6、果，交流讨论，师生共同完成下表（表1）.设计意图：将具体一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的联系推广至一般，能结合函数图象，判断一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式.在推广的过程中，体会数形结合和函数思想的应用，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法.（三）应用举例.例1求不等式x2-5x+60的解集.例2求不等式9x2-6x+10的解集.例3求不等式-x2+2x-30的解集.师生活动：例1由师生一起分析，教师板书示范；例2和例3由学生独立思考，并板书. 教师补充完善并追问：（1）如何求二次项系数是负数（即a0（a0）的不等式的求解过程.设计意图：以上都是教科书中的例题
7、，难度不大，可以让学生熟悉求解一元二次不等式的方法和步骤.问题4：你能解决第2.1节的“问题2”了吗？设计意图：用一元二次不等式的求解解决实际问题.问题5：能否用框图表示求解一元二次不等式的过程？设计意图：学生尝试在总结求解一元二次不等式的过程的基础上，清晰地描绘出用二次函数求解一元二次不等式的程序框图.（四）归纳总结、布置作业（1）这节课是如何研究解一元二次不等式的？（答案：从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集，并将解决问题的方法推广至一般，得到求一般一元二次不等式解集的方法.）（2）当a0时，函数y=ax2+bx+c与方程ax2
8、+bx+c=0、不等式ax2+bx+c0之间有什么关系？（答案：当a0时，函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解，函数图象在x轴上方的部分对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c0的解集.）（3）请简单说明如何解一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）？（答案：先求方程的解，然后画出函数图象，观察函数图象得到不等式的解集.）设计意图：教师和学生一起回顾本节课的学习内容，所涉及的数学思想方法和研究方法.要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识.布置作业：教科书习题2.3第1，2题.五、目标检测设计1. 已知二次函数y= ax2+bx+c（a0）的图象，求一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根和一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）的解集.设计意图：考查学生结合函数图象求相应方程的根和不等式的解集的能力.2.求下列不等式的解集：（1）x2-4x0；（2）-x2+2x-20.设计意图：考查学生求解一元二次不等式的能力.