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1、1-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 本本章章首首先先借借助助矢矢量量语语言言对对质质点点的的运运动动给给予予简洁而完备的描述，简洁而完备的描述，然后然后利用微积分求解质点的运动学方程；利用微积分求解质点的运动学方程；最终最终解决运动学中的两类问题。解决运动学中的两类问题。11-11-1 质点运动的描述质点运动的描述物体大小和形状的变化对其运动的影物体大小和形状的变化对其运动的影响可忽略时的理想模型响可忽略时的理想模型一参考系质点一参考系质点 为描述物体运动而选作参考的另一物体为描述物体运动而选作参考的另一物体1 1参考系参考系2质点质点 物体能否抽象为质点，视具体情况而定物体能否抽象为
2、质点，视具体情况而定地地日间距：日间距：1.5 108 km地球半径：地球半径：6.37 103 km太阳太阳地球地球21-11-1 质点运动的描述质点运动的描述二、坐标系二、坐标系 固接于参照物固接于参照物(系系)上的数学坐标系。上的数学坐标系。引入坐标系的目的，是便于引入坐标系的目的，是便于定量定量研究物体研究物体的运动。的运动。几种典型的坐标系：几种典型的坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系：相互垂直的坐标轴相互垂直的坐标轴任意矢量任意矢量A可表示为：可表示为：1-11-1 质点运动的描述质点运动的描述方向：相应坐标轴的正方向。方向：相应坐标轴的正方向。矢量的大小或模为矢量的大小或模为矢量
3、的方向用它与坐标轴的夹角矢量的方向用它与坐标轴的夹角 表示。表示。且且 由于由于 在直角坐标中大小、方向始终在直角坐标中大小、方向始终不变，故有不变，故有分别为三个坐标轴分别为三个坐标轴的单位矢量的单位矢量41-11-1 质点运动的描述质点运动的描述2.自然坐标系自然坐标系 当质点作一般曲线运动且当质点作一般曲线运动且轨迹已知轨迹已知时，在运时，在运动轨迹上任取一点动轨迹上任取一点o作为坐标原点，取质点距原作为坐标原点，取质点距原点的轨道长度点的轨道长度s为质点任意时刻的位置，以轨迹为质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位矢量切向和法向的单位矢量()作为其独立的坐作为其独立的坐标方向，这样
4、的坐标系称为自然坐标系，标方向，这样的坐标系称为自然坐标系，s 称为称为自然坐标。自然坐标。曲率园曲率园轨道轨道51-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 在自然坐标轴系中，将矢量分解到法向和切在自然坐标轴系中，将矢量分解到法向和切向讨论。法向分量与轨道的曲率有关：定义向讨论。法向分量与轨道的曲率有关：定义 的的曲率为曲率为轨道在轨道在 点的曲率半径为点的曲率半径为在自然坐标轴系中，任意矢量在自然坐标轴系中，任意矢量A可表示为可表示为 随着质点运动，法向单位矢量和切向单位矢量随着质点运动，法向单位矢量和切向单位矢量的方向不断变化，因此的方向不断变化，因此 是变矢量。是变矢量。61-11-1
5、质点运动的描述质点运动的描述 随着物体运动，单位矢量随着物体运动，单位矢量 和和 方向不断变方向不断变化，法向单位矢量化，法向单位矢量 始终指向曲率园的园心，切始终指向曲率园的园心，切向单位矢量向单位矢量 在无限小的时间间隔内的变化率可在无限小的时间间隔内的变化率可示表示为示表示为方向趋于方向趋于71-11-1 质点运动的描述质点运动的描述3.极坐标系极坐标系 在一固定直线（在一固定直线（参考方向参考方向）上选取一点）上选取一点 o 作为作为坐标原点，以坐标原点，以o点为端点作射线（指向待讨论点）点为端点作射线（指向待讨论点）称由原点、固定直线、射线构成的坐标系为称由原点、固定直线、射线构成的
6、坐标系为极坐标极坐标系系。通常称射线为通常称射线为极轴极轴。在。在极坐标系中，用极坐标系中，用()确确定一点的位置。定一点的位置。表示点表示点到原点的距离，到原点的距离，表示极表示极轴与固定直线间的夹角。轴与固定直线间的夹角。81-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 任意矢量分解为沿极轴任意矢量分解为沿极轴(径向径向)分量和垂直于极分量和垂直于极轴轴(切向切向)分量，这两个方向的单位矢量通常用分量，这两个方向的单位矢量通常用 表示，即表示，即单位矢量：单位矢量：但但 的方向的方向可能随时变化可能随时变化91-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 径向单位矢量径向单位矢量 始终在极始终在极
7、轴上，方向由原点指向待描述轴上，方向由原点指向待描述点，切向单位矢量点，切向单位矢量 始终与径始终与径向单位矢量垂直，方向指向运向单位矢量垂直，方向指向运动方向。在无限小的时间间隔动方向。在无限小的时间间隔内，矢量内，矢量A的变化率可表示为的变化率可表示为101-11-1 质点运动的描述质点运动的描述当当 时，时，而而所以所以方向的极限趋于切向方向的极限趋于切向111-11-1 质点运动的描述质点运动的描述*1.1.位置矢量运动方程位置矢量运动方程1）位置矢量位置矢量方向：方向：大小：大小：1.3.2 描写一般曲线运动的线参量描写一般曲线运动的线参量121-11-1 质点运动的描述质点运动的描
8、述分量式分量式 从上式中消从上式中消去参数去参数 得质点得质点的的轨迹方程轨迹方程2运动方程运动方程P131-11-1 质点运动的描述质点运动的描述例例1.3.1 1.3.1 质点从图中质点从图中A A点开始作匀速园周运点开始作匀速园周运动，试写出质点的运动方程和轨迹方程。动，试写出质点的运动方程和轨迹方程。解：质点运动方程的直角坐解：质点运动方程的直角坐标分量形式为标分量形式为质点的运动方程矢量形式为质点的运动方程矢量形式为 从运动方程的分量形式中消去参变量从运动方程的分量形式中消去参变量t t，得到质点运动的轨迹方程，得到质点运动的轨迹方程141-11-1 质点运动的描述质点运动的描述2位
9、移位移平面平面运动运动:BA三维三维运动运动:151-11-1 质点运动的描述质点运动的描述3 路程路程()从从P1到到P2：路程路程(3)位移是位移是矢量，矢量，路程是路程是标量标量位移与路程的区别位移与路程的区别(1)两点间位移是唯两点间位移是唯一的一的(2)一般情况一般情况 161-11-1 质点运动的描述质点运动的描述注意注意的意义不同的意义不同，位置矢量位置矢量大小的增量大小的增量171-11-1 质点运动的描述质点运动的描述四速度四速度1 平均速度平均速度 在在 时间内，质点时间内，质点位移为位移为BAsD181-11-1 质点运动的描述质点运动的描述2瞬时速度（简称瞬时速度（简称
10、速度速度）若质点在若质点在三维三维空间中运动，其速度空间中运动，其速度191-11-1 质点运动的描述质点运动的描述当当 时时,速度速度方向方向 切线向前切线向前速度速度大小大小速度速度 的大小的大小 速率速率平均速度大小平均速度大小 平均平均速率速率？201-11-1 质点运动的描述质点运动的描述讨论讨论质点作曲线运动，判断下列说法的正误。质点作曲线运动，判断下列说法的正误。211-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 一运动质点在某瞬一运动质点在某瞬时位于位矢时位于位矢 的的端点处，其速度大小为端点处，其速度大小为（A）（B）（C）（D）讨论讨论注意注意221-11-1 质点运动的描述质
11、点运动的描述例例1.3.2 1.3.2 已知质点沿已知质点沿 轴作直线运动，轴作直线运动，t t时时刻的坐标为刻的坐标为 (SI)(SI)。求：。求：(1)(1)第第2 2秒内的平均速度秒内的平均速度;(2);(2)第第2 2秒末的瞬秒末的瞬时速度时速度;(3);(3)第第2 2秒内的平均速率。秒内的平均速率。解解(1)(1)第第2 2秒内的平均速度秒内的平均速度(2)(2)第第2 2秒末的瞬时速度秒末的瞬时速度231-11-1 质点运动的描述质点运动的描述当当t=2t=2秒时，秒时，(3)(3)第第2 2秒内的平均速率秒内的平均速率241-11-1 质点运动的描述质点运动的描述位置矢量位置矢
12、量运动方程运动方程位移矢量位移矢量速度矢量速度矢量251-11-1 质点运动的描述质点运动的描述例例1.3.3 依据速度的定义，写出速度在自然坐标和依据速度的定义，写出速度在自然坐标和极坐标下的数学表达式。极坐标下的数学表达式。解：解：(1)速度在自然坐标下的数学表达式速度在自然坐标下的数学表达式 在自然坐标下，速率的定义式仍然适用，在自然坐标下，速率的定义式仍然适用，t时时刻质点的速率为刻质点的速率为由导数的几何意义，自然坐标下的速度可写为由导数的几何意义，自然坐标下的速度可写为式中式中 表示任一点单位切向矢量。表示任一点单位切向矢量。1-11-1 质点运动的描述质点运动的描述(2)速度在极
13、坐标下的数学表达式速度在极坐标下的数学表达式如下图：如下图：在极坐标系中，规定沿极轴方向的单位矢量是在极坐标系中，规定沿极轴方向的单位矢量是 与与 垂直的单位矢量为垂直的单位矢量为 ，t时刻质点的位置矢量为时刻质点的位置矢量为 由速度的定义，极坐标下的速度为由速度的定义，极坐标下的速度为271-11-1 质点运动的描述质点运动的描述由上图由上图b可见可见于是于是定义定义-径向速度径向速度-横向速度横向速度所以所以 极限方向趋于极限方向趋于281-11-1 质点运动的描述质点运动的描述1 平均加速度平均加速度B与与 同方向同方向 反映速度反映速度大小大小和和方向方向随时间变化快慢随时间变化快慢的
14、物理量的物理量五五 加速度加速度A291-11-1 质点运动的描述质点运动的描述2(瞬时瞬时)加速度加速度式中式中301-11-1 质点运动的描述质点运动的描述质点作质点作平面平面运动时加速度为运动时加速度为加速度大小加速度大小加速度加速度加速度大小加速度大小加速度的方向加速度的方向311-11-1 质点运动的描述质点运动的描述加速度加速度方向（方向（定性定性）曲线运动曲线运动 指向凹侧指向凹侧直线运动直线运动说明：说明：矢量性矢量性 瞬时性瞬时性 相对性相对性321-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 吗？吗？讨论讨论在在Ob上截取上截取有有速度方向变化速度方向变化速度大小变化速度大小变
15、化331-11-1 质点运动的描述质点运动的描述O问问 吗？吗？讨论讨论因为因为所以所以而而例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以341-11-1 质点运动的描述质点运动的描述2.加速度的自然坐标表示加速度的自然坐标表示由例由例1.3.3，速度在自然坐标中的表达式为，速度在自然坐标中的表达式为按加速度的定义，有按加速度的定义，有先讨论式中第二项意义。看下图：先讨论式中第二项意义。看下图：1-11-1 质点运动的描述质点运动的描述而而于是于是361-11-1 质点运动的描述质点运动的描述式中式中-切向加速度切向加速度-法向加速度法向加速度 如质点作一般曲线运动，其总加速度的大小如质点作一般曲
16、线运动，其总加速度的大小总加速度的方向总加速度的方向371-11-1 质点运动的描述质点运动的描述运动按加速度分类运动按加速度分类匀速直线运动匀速直线运动匀速率园周运动匀速率园周运动变速直线运动变速直线运动一般曲线运动一般曲线运动381-11-1 质点运动的描述质点运动的描述求：求：(1)第第1秒末的加速度、切向加速度、法向加秒末的加速度、切向加速度、法向加速度和轨道半径；速度和轨道半径；(2)质点从第质点从第1秒到第秒到第3秒之间秒之间走过的路程。走过的路程。例例1.3.4 某质点在某质点在 平面内运动。运动方程为平面内运动。运动方程为解解(1)第第1秒末的加速度、切向加速度、法向加速度秒末
17、的加速度、切向加速度、法向加速度运动方程的矢量形式为运动方程的矢量形式为加速度为加速度为质点运动的速度质点运动的速度391-11-1 质点运动的描述质点运动的描述质点运动的速率质点运动的速率当当t=1s时，切向加速度的大小为时，切向加速度的大小为法向加速度法向加速度轨道半径：轨道半径：(2)第第1秒到第秒到第3秒之间走过的路程秒之间走过的路程401-11-1 质点运动的描述质点运动的描述求导求导求导求导积分积分积分积分质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一由质点的运动方程可以求得质点在由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；任一时刻的位矢、速度和加速度；二二已知
18、质点的加速度以及初始速度和已知质点的加速度以及初始速度和初始位置初始位置,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程411-11-1 质点运动的描述质点运动的描述1.第一类问题第一类问题已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1)t=1s 到到 t=2s 质点的位移质点的位移(3)轨迹方程轨迹方程(2)t=2s 时时求求已知一质点运动方程已知一质点运动方程例例解解(1)(2)(3)当当 t=2s 时时由由运动方程得运动方程得轨迹方程为轨迹方程为421-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 例例1 1 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 （1）求求 时的速度时的速度（2）作出质点的运动轨
19、迹图作出质点的运动轨迹图式中式中x，y的单位为的单位为m(米米)，t 的单位为的单位为s(秒秒)，其中其中431-11-1 质点运动的描述质点运动的描述解解 (1)由题意可得由题意可得时速度为时速度为速度速度 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角已知：已知：441-11-1 质点运动的描述质点运动的描述（2）运动方程运动方程0轨迹图轨迹图246-6-4-2246消去参数消去参数 可得轨迹方程为可得轨迹方程为451-11-1 质点运动的描述质点运动的描述ABl 例例2如图如图A、B 两物体由一长为两物体由一长为 的的刚性细杆相连，刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道两物体可在光滑轨道上滑行如物体上
20、滑行如物体 A以以恒定的速率恒定的速率 向左滑向左滑行行,当当 时时,物物体体B的速率为多少？的速率为多少？461-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 解解两边求导得两边求导得ABl而而471-11-1 质点运动的描述质点运动的描述即即 沿沿 轴正向轴正向当当 时，时，1.73=BvvABl481-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 例例:恒定的速率恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的绞车定滑轮离水面的高度为高度为h,求小船向岸边移动的速度。求小船向岸边移动的速度。解解：以绞车定滑轮处为坐标原点：以绞车定滑轮处为坐标原点,x 轴水平向轴水平向右右,y 轴竖直向下轴竖直向下,
21、如图所示。如图所示。xlhyoxxlh491-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到任意时刻小船到岸边的距离岸边的距离 x 总满足总满足 x 2=l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数,得得 拉动纤绳的速率拉动纤绳的速率,纤绳在缩短纤绳在缩短,故故 ;负号表示沿负号表示沿x 轴反方向。轴反方向。是小船向岸边移动的速率。是小船向岸边移动的速率。501-11-1 质点运动的描述质点运动的描述例例3 3：一船以速率：一船以速率u u驶向码头驶向码头,另一船以速率另一船以速率v v自码自码头离去头离去,试证当两船的距离最
22、短时试证当两船的距离最短时,两船与码头的两船与码头的距离之比为：距离之比为：设航路均为直线设航路均为直线,为两直线的夹角为两直线的夹角.对对 求导求导,得得解：设任一时刻船与码头的距离为解：设任一时刻船与码头的距离为x、y,两船距离两船距离为为 ,则有则有511-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 将将 代入上式代入上式,并用求极值的条件并用求极值的条件 ,则得则得 由此可求得由此可求得 即当两船的距离即当两船的距离 最短时最短时,两船与码头衡的距两船与码头衡的距离之比为离之比为521-11-1 质点运动的描述质点运动的描述解解已知已知求求和运动方程和运动方程代入初始条件代入初始条件代入初
23、始条件代入初始条件2.第二类问题第二类问题已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求例例,t=0 时，时，由已知有由已知有531-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 例例3：设质点沿设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度轴作匀变速直线运动，加速度 不不随时间变化，初位置为随时间变化，初位置为x0，初速度为初速度为 .试用积分法求试用积分法求出质点的速度公式和运动方程出质点的速度公式和运动方程.解：因为质点做直线运动解：因为质点做直线运动,所以所以对上式两边做积分运算对上式两边做积分运算,得得:将初始条件带入上式将初始条件带入上式,确定积分常数确定积分常数所以速度公式为所以速度公式为:5
24、41-11-1 质点运动的描述质点运动的描述由速度定义由速度定义,有有所以所以对上式两边定积分对上式两边定积分:得运动方程得运动方程:551-11-1 质点运动的描述质点运动的描述如果将加速度表达式作如下变形：如果将加速度表达式作如下变形：两边分别积分，两边分别积分，可得可得561-11-1 质点运动的描述质点运动的描述 例例4有一个球体在某液体中竖有一个球体在某液体中竖直下落直下落,其初速度其初速度 ，它在，它在液体中的加速度为液体中的加速度为 ，问：，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已经过多少时间后可以认为小球已停止运动；停止运动；(2)此球体在停止运动前经历的路程此球体在停止运动前经历的路程有多长？有多长？571-11-1 质点运动的描述质点运动的描述解解581-11-1 质点运动的描述质点运动的描述1059