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1、2.2 等差数列等差数列(一一)课题导入课题导入1.在现实生活中，我们经常这样数数，在现实生活中，我们经常这样数数，从从0开始，每隔开始，每隔5数一次，可以得到数数一次，可以得到数列：列：0,5,_,_,_,_,.2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项运会上，女子举重被正式列为比赛项目目.该项目共设置了该项目共设置了7个级别个级别.其中较轻其中较轻的的4个级别体重组成数列个级别体重组成数列(单位：单位：kg)：48，53，58，63.课题导入课题导入3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定
2、期放水清理水库良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼的杂鱼.如果一个水库的水位为如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低自然放水每天水位降低2.5m，最低降至，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成清理工作的那天，水库每天的水位组成数列数列(单位：单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5.课题导入课题导入4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息金计算下一期的利息.按照单利计算本按照单利计
3、算本利和的公式是：利和的公式是：本利和本利和=本金本金(1+利率利率寸期寸期).例如，按活期存入例如，按活期存入10 000元钱，年利率元钱，年利率是是0.72%.那么按照单利，那么按照单利，5年内各年末年内各年末的本利和分别是：的本利和分别是：时间时间年初本金年初本金(元元)年末本利和年末本利和(元元)第第1年年10 00010 072第第2年年10 00010 144第第3年年10 00010 216第第4年年10 00010 288第第5年年10 00010 360课题导入课题导入各年末的本利和各年末的本利和(单位：元单位：元)组成了数列：组成了数列：10 072，10 144，10 2
4、16，10 288，10 360.思考思考:0,5,10,15,20 48,53,58,6318,15.5,13,10.5,8,5.510 072,10 144,10 216,10 288,10 360观察一下上面的这四个数列：观察一下上面的这四个数列：这些数列有什么共同特点呢？这些数列有什么共同特点呢？思考思考:0,5,10,15,20 48,53,58,6318,15.5,13,10.5,8,5.510 072,10 144,10 216,10 288,10 360观察一下上面的这四个数列：观察一下上面的这四个数列：这些数列有什么共同特点呢？这些数列有什么共同特点呢？以上四个数列从第以上四
5、个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数前一项的差都等于同一个常数(即：每个即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点都具有相邻两项差为同一个常数的特点).讲授新课讲授新课 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列数，那么这个数列就叫做等差数列.这这个常数叫做等差数列的公差，公差通常个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母用字母d表示表示.等差数列等差数列注意注意(1)公差公差d一定是由后项减前项所得，而不一定是由后项减前项所得，而不 能用前项减后项
6、来求；能用前项减后项来求；(2)对于数列对于数列an，若，若anan1 d(d是与是与n 无关的数或字母无关的数或字母)，n2，则此数列是，则此数列是 等差数列，等差数列，d 为公差；为公差；(3)若若d0，则该数列为常数列，则该数列为常数列d0,则该数列则该数列为递增数列；为递增数列；d0,该数列为递减数列。该数列为递减数列。思考思考2.如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数A，使，使a,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A应该满足什应该满足什么条件？么条件？分析：分析：由由a,A,b成等差数列得：成等差数列得：思考思考2.如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个
7、数A，使，使a,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A应该满足什应该满足什么条件？么条件？分析：分析：由由a,A,b成等差数列得：成等差数列得：成等差数列成等差数列.反之，若反之，若即即a,A,b成等差数列成等差数列.由三个数由三个数a，A，b组成的等差数列可组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，以看成最简单的等差数列，这时，A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项都是它的前一项与后一项的等差中项.等差中项：等差中项：在
8、等差数列在等差数列an中，中，若若mnpq,则则amanapaq.等差中项：等差中项：数列：数列：1，3，5，7，9，11，13a2a4a1a5a4a6a3a75是是3和和7的等差中项，的等差中项，1和和9的等差中项；的等差中项；9是是7和和11的等差中项，的等差中项，5和和13的等差中项的等差中项.思考：思考：对于以上的等差数列，我们能不能用对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？通项公式将它们表示出来呢？以以a1为首项，为首项，d为公差的等差数列为公差的等差数列an的通项公式为：的通项公式为：ana1(n1)d.讲解范例讲解范例:例例1.(1)求等差数列求等差数列8，5，
9、2，的第的第20项项.(2)401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？讲解范例讲解范例:例例2.(1)在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a510，a1231，求首项，求首项a1与与d；(2)已知数列已知数列an为等差数列，为等差数列，求求a15的值的值.讲解范例讲解范例:例例3.某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.2元元/km，起步价为起步价为10元，即最初的元，即最初的4km(不含不含4千千米米)计费计费10元元.如果某人乘坐该市的出租车如果某人乘坐该市的出租车去往去往14km处的目的地，且一路畅通，等处的目的地，且一路
10、畅通，等候时间为候时间为0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？复习引入复习引入1.等差数列定义：即等差数列定义：即anan1 d(n2).2.等等 差差 数数 列列 通通 项项 公公 式式：an a1(n 1)d(n1).推导出公式：推导出公式：anam(nm)d.或或anpnq(p、q是常数是常数)等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用复习引入复习引入3.有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差d:2.三个数成等差数列，它们的和为三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为它们的平方和为116，求这三个数，求这三个数.练习练习23.已知四个数成等差数列，它们的和已知四个数成
11、等差数列，它们的和为为28，中间两项的积为，中间两项的积为40，求这四个数，求这四个数.1.在等差数列中，在等差数列中，a5=10,a12=31,求公差求公差d和和首项首项a1讲授新课讲授新课在等差数列在等差数列an中，中，若若mnpq，则，则amanapaq.特别地，若特别地，若mn2p，则，则aman2ap.1.等差数列的性质及其应用等差数列的性质及其应用讲解范例讲解范例:例例1.在等差数列在等差数列an中中(1)若若a5a,a10b,求求a15；(2)若若a3a8m,求求a5a6;(3)若若a3+a4+a5=12,求求a1+a2+a3+a7;(4)若若a1+a4+a10+a16+a19=
12、150,求求a18-2a14.2.等差数列的判定和证明等差数列的判定和证明例题例题1：已知数列：已知数列 an 的通项公式为的通项公式为an=ap+q，其，其中中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？列吗？例题例题2：已知数列：已知数列 ，an=2n-1,bn=a2n-1,(1)求求 的通项公式；的通项公式；(2）数列）数列 是否为等差数列？说明理由。是否为等差数列？说明理由。1.通项法：如果一个数列的通项公式是关于通项法：如果一个数列的通项公式是关于正整数正整数n的一次型函数，那么这个的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列数列必定是等差数列.即即an=pn+q2.定义法：定义法：an-an-1=d,(d是常数，是常数，n2）3.等差中项法等差中项法:2an=an-1+an+1总结总结: