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1、 第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 7、幂函数幂函数第二章第二章 解析函数解析函数幂函数的定义:利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为当a为正实数，且z=0时，还规定由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。幂函数的基本性质：幂函数的基本性质：幂函数的基本性质：幂函数的基本性质：幂函数的基本性质:设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地 有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。幂函数的基本性质:
2、对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数在G内是同一解析函数；当时，在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。幂函数的基本性质:例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有这是一个n值函数。幂函数的基本性质:在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：它们也可以记作这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。支点:当a不是整数时，原点及无穷远点是为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点。在C上任取一点，的支
3、点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。确定Argz在的一个值；相应地确定在的一个值代数支点:现在考虑下列两种情况：(1)a是有理数也即第一次回到了它从，当一点z从出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时，argz从连续变动到而则从相应地连续变动到出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的n-1阶支点，也称n-1为阶代数支点。无穷阶支点:（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是当a不是整数时，由于原点和无穷远点是的无穷阶支点。的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。幂函数的映射性质:关于幂函数当a为正实数
4、时的映射性质，有下面的结论：设 是一个实数，并且在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，并取在D*内的一个解析分支幂函数的映射性质:当z描出A内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形（不包括0），w在w平面描出一条射线幂函数的映射性质:因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。类似地，我们有，当n(1)是正整数时，幂函数的映射性质:的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形例1、作出一个含i的区域，使得函数例1：在这个区域内可以分解成解析分支；求一
5、个分支在点i个的值。解：我们知道可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图例1：结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到例1：因此也可以用0，1与作割线。我们求函数下述的解析分支例1：在z=i的值。在z=1处，取在w的两个解析分支为：如下图，例1：所以例2、验证函数例2：在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。解：我们知道例2：例2：结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点。例2：因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定在w的四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，例2：所以对应分支在(0,1)下沿的取值为