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1、2.3 初等解析函数和多值函数初等解析函数和多值函数1、初等单值函数、初等单值函数(1) 幂函数 ,0,1,2nwzn 幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数： 01nnwaa za z 也处处解析。 而有理函数： 除了 点外解析。 0101( )( )nnnnaa za zP zwQ zbb zb z( )0Q z (2) 指数函数 (cossin )zxiyxwee eeyiy 指数函数的性质： (i) 0ze (ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。 (iii) 1212zzzze ee (iv) 指数函数处处解析，且： zwe (v) 2z i
2、 kzee (vi) 不存在。limzze证明：(iv) 0limzzzzeewz 01limzzzeez 0cossin1limzxzeeyiyz 0111limzzexi yz ze(3) 三角函数 11sin,cos22izizizizzeezeei性质： (i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且： sincoscos ,sindzdzzzdzdz (ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式： 22121212121212sincos1cos()coscossinsinsin()sincoscossinzzzzzzzzzzzzzz (iii) 正弦函数和余弦函数以2为周
3、期； (iv) sinz=0，则 cosz=0，则,0, 1,znn (1/ 2) ,0, 1,znn (v) 在复数域中，不能判定cos( )1, sin( )1zz证明：(ii) 112211221212coscossinsin11 44izizizizizizizizzzzzeeeeeeee1212121cos()2i zzi zzeezz2、初等多值函数、初等多值函数(I) 根式函数： , 0,1,2nwzn根式函数的多值性 例如： 0023333niiwezre 很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：3002, 0,1,233rnn显然，对
4、于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w) 2/3)，称为z=w3的单叶性区域单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支单值分支。 (II) 支点 如图，在平面上任选一点z(r,)，则利用第一个单值分支得：0331iwre若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1
5、。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：023332iwre我们称z=0为 的支点。3wz定义定义(支点支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点支点。对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。 (III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。注：注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得
6、单值分支的区域定义也不相同。(IV) 对数函数： Ln , 0wzz2LnLnln2inwzrerin显然：( , )ln, ( , )2u x yz v x yn很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。若限定- Arg(z) 很明显，即- v(x,y)0，计算Ln(-a).解：Lnln2 ,0, 1,wzzi nn 而：izaae 所以：ln21 ,0, 1,wainn 例2：计算Ln(i).解： 因为：/21izie 所以：12 ,0, 1,2winn例3：计算ii。解：Lniie所以：(2)(2)22, 0, 1iikkiieek因为：(III) 反三角函数： Arcsin , Arccoswz wz由于： 1()2iwiwzeei则： 2210i wiweeiz 则： 21iweizz所以： 221ArcsinLn11 Ln12wzizzizzi同理，由反余弦函数得： 21ArccosLn1wzzzi由于对数函数的多值性，显然反三角函数也是多值函数。