《第3节初等多值函数PPT讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3节初等多值函数PPT讲稿.ppt（55页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第3节初等多值函数节初等多值函数第1页，共55页，编辑于2022年，星期一 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：第2页，共55页，编辑于2022年，星期一 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz)考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。第3页，共55页，编辑于2022年，星期一 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续
2、分支。沿负实轴的割线：上沿下沿第4页，共55页，编辑于2022年，星期一一 单叶区域1.定义2.8注1 单值不一定单叶注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.第5页，共55页，编辑于2022年，星期一第6页，共55页，编辑于2022年，星期一或第7页，共55页，编辑于2022年，星期一第8页，共55页，编辑于2022年，星期一或第9页，共55页，编辑于2022年，星期一第10页，共55页，编辑于2022年，星期一二 根式函数1.定义2.8注注第11页，共55页，编辑于2022年，星期一结论第12页，共55页，编辑于2022年，星期一第13页，共55页，编辑于2022年，星期一例
3、1解第14页，共55页，编辑于2022年，星期一定义定义注1多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值,且在支割线不连续.第15页，共55页，编辑于2022年，星期一注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一支为主值支.例2解第16页，共55页，编辑于2022年，星期一第17页，共55页，编辑于2022年，星期一三 对数函数1.复对数的定义定义2.10我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数.第18页，共55页，编辑于2022年，星期一第19页，共55页，编辑于2022年，星期一2.对数函数
4、的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有第20页，共55页，编辑于2022年，星期一例3解第21页，共55页，编辑于2022年，星期一3.对数函数的基本性质第22页，共55页，编辑于2022年，星期一从而第23页，共55页，编辑于2022年，星期一uvw-平面xz-平面y第24页，共55页，编辑于2022年，星期一结论第25页，共55页，编辑于2022年，星期一6.对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域G。显然，在G内，对数函数可以分解为无穷多个单值解析分支。第26页，共55页，编辑于
5、2022年，星期一沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿第27页，共55页，编辑于2022年，星期一一般区域：第28页，共55页，编辑于2022年，星期一例例4解解第29页，共55页，编辑于2022年，星期一例例5解解由故所求的分支为从而第30页，共55页，编辑于2022年，星期一由于四 一般幂函数与一般指数函数定义2.11因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。当a为正实数，且z=0时，还规定1.一般幂函数定义.第31页，共55页，编辑于2022年，星期一2.一般幂函数的基本性质：第32页，共55页，编辑于2022年，星期一第33页，共55页，编辑于2022年，星期一第34页，
6、共55页，编辑于2022年，星期一定义2.123.一般指数函数的概念注1:有无穷多个单值解析分支.注2:注3:以上定义两种函数都可看作复合函数.第35页，共55页，编辑于2022年，星期一例例6 6解解第36页，共55页，编辑于2022年，星期一五 具有多个有限支点的情形可能支点:第37页，共55页，编辑于2022年，星期一第38页，共55页，编辑于2022年，星期一注注1注注2第39页，共55页，编辑于2022年，星期一结论结论第40页，共55页，编辑于2022年，星期一例7、作出一个区域，使得函数在这个区域内可以分解成单值解析分支.解可能的支点为0、1、2与无穷，易知函数因第41页，共55
7、页，编辑于2022年，星期一结论：0、1、2与无穷都是支点。具体分析见下图第42页，共55页，编辑于2022年，星期一 可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到因此也可以用0，1与 作割线。第43页，共55页，编辑于2022年，星期一例8、验证函数在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值。解：我们知道由于故：0、1是支点，无穷远点不是支点。第44页，共55页，编辑于2022年，星期一结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。第45页，共55页，编辑于2022年，星期一 因此，在区域D=C-
8、0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定其四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，所以第46页，共55页，编辑于2022年，星期一第47页，共55页，编辑于2022年，星期一例9解(法1)而故第48页，共55页，编辑于2022年，星期一(法2)第49页，共55页，编辑于2022年，星期一六、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得由得方程的根为第50页，共55页，编辑于2022年，星期一 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步重复以上步骤骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义由得故反双曲余弦函数为故反双曲正弦函数为故反双曲正切函数为第51页，共55页，编辑于2022年，星期一例例1010解解第52页，共55页，编辑于2022年，星期一解解例例1111第53页，共55页，编辑于2022年，星期一作业wP93习题(一)w23w 20(1)(3),24w 22,26 第54页，共55页，编辑于2022年，星期一本节结束谢谢！第55页，共55页，编辑于2022年，星期一