《第3节初等多值函数精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3节初等多值函数精选文档.ppt（55页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第3节初等多值函数节初等多值函数本讲稿第一页，共五十五页 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz函数有无穷个不同的值：本讲稿第二页，共五十五页 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz)考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数。对一个固定的整数k，也是一个单值连续函数。本讲稿第三页，共五十五页 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。沿负实轴的割线：上沿下沿本讲稿第四页，共五十五页
2、一 单叶区域1.定义2.8注1 单值不一定单叶注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.本讲稿第五页，共五十五页本讲稿第六页，共五十五页或本讲稿第七页，共五十五页本讲稿第八页，共五十五页或本讲稿第九页，共五十五页本讲稿第十页，共五十五页二 根式函数1.定义2.8注注本讲稿第十一页，共五十五页结论本讲稿第十二页，共五十五页本讲稿第十三页，共五十五页例1解本讲稿第十四页，共五十五页定义定义注1多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值,且在支割线不连续.本讲稿第十五页，共五十五页注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一支为主值支.例2解本讲稿第十六页，共五十五页本讲稿第十
3、七页，共五十五页三 对数函数1.复对数的定义定义2.10我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数.本讲稿第十八页，共五十五页本讲稿第十九页，共五十五页2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有本讲稿第二十页，共五十五页例3解本讲稿第二十一页，共五十五页3.对数函数的基本性质本讲稿第二十二页，共五十五页从而本讲稿第二十三页，共五十五页uvw-平面xz-平面y本讲稿第二十四页，共五十五页结论本讲稿第二十五页，共五十五页6.对数函数的单值化：相应与幅角函数的单
4、值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域G。显然，在G内，对数函数可以分解为无穷多个单值解析分支。本讲稿第二十六页，共五十五页沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿本讲稿第二十七页，共五十五页一般区域：本讲稿第二十八页，共五十五页例例4解解本讲稿第二十九页，共五十五页例例5解解由故所求的分支为从而本讲稿第三十页，共五十五页由于四 一般幂函数与一般指数函数定义2.11因此，对同一个 的不同数值的个数等于不同数值的因子 个数。当a为正实数，且z=0时，还规定1.一般幂函数定义.本讲稿第三十一页，共五十五页2.一般幂函数的基本性质：本讲稿第三十二页，共五十五页本讲稿第三
5、十三页，共五十五页本讲稿第三十四页，共五十五页定义2.123.一般指数函数的概念注1:有无穷多个单值解析分支.注2:注3:以上定义两种函数都可看作复合函数.本讲稿第三十五页，共五十五页例例6 6解解本讲稿第三十六页，共五十五页五 具有多个有限支点的情形可能支点:本讲稿第三十七页，共五十五页本讲稿第三十八页，共五十五页注注1注注2本讲稿第三十九页，共五十五页结论结论本讲稿第四十页，共五十五页例7、作出一个区域，使得函数在这个区域内可以分解成单值解析分支.解可能的支点为0、1、2与无穷，易知函数因本讲稿第四十一页，共五十五页结论：0、1、2与无穷都是支点。具体分析见下图本讲稿第四十二页，共五十五页
6、 可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到因此也可以用0，1与 作割线。本讲稿第四十三页，共五十五页例8、验证函数在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值。解：我们知道由于故：0、1是支点，无穷远点不是支点。本讲稿第四十四页，共五十五页结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。本讲稿第四十五页，共五十五页 因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定其四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，所以本讲稿第四十六页，共五十五页本讲稿第四十七页
7、，共五十五页例9解(法1)而故本讲稿第四十八页，共五十五页(法2)本讲稿第四十九页，共五十五页六、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得由得方程的根为本讲稿第五十页，共五十五页 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上重复以上步骤步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义由得故反双曲余弦函数为故反双曲正弦函数为故反双曲正切函数为本讲稿第五十一页，共五十五页例例1010解解本讲稿第五十二页，共五十五页解解例例1111本讲稿第五十三页，共五十五页作业wP93习题(一)w23w 20(1)(3),24w 22,26 本讲稿第五十四页，共五十五页本节结束谢谢！本讲稿第五十五页，共五十五页