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1、计算动力学1本讲稿第一页，共五十一页2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面法由庞加莱相平面法由庞加莱18851885年首先提出。该方法通过图解年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响影响。2本讲稿第二页，共五十一页相平面法概述相平面法概述 相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法相平面法是一种求解一、二
2、阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点移通过研究这个点移动的轨迹动的轨迹,就能获得系统运动规律的全部信息就能获得系统运动规律的全部信息.3本讲稿第三页，共五十一页相平面法的基本概念相平面法的基本概念式中式中,是是 的线性或非线性函数的线性或非线性函数.设二阶系统的常微分方程如下设二阶系统的常微分方程如下：由微分方程的理论可知，只要由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么在给是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的定的初始条件下，方
3、程的解是唯一的解是唯一的。这个唯一的解可以写这个唯一的解可以写成时间解的形式成时间解的形式x(t),也可以写成以也可以写成以t为参变量的形式，用为参变量的形式，用 来表示。来表示。tx(t)x4本讲稿第四页，共五十一页相轨迹相轨迹1.1.相轨迹相轨迹：如果我们取：如果我们取 x 和和 作为平面的直角坐标，则作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当均相应于平面上的一点。当 t t 变变化时，这一点在化时，这一点在 平面上将绘出一条相应的轨迹平面上将绘出一条相应的轨迹-相轨迹相轨迹。它描述系统的运动过程。它描述系统的运动过程。5本讲稿第五页，共五十一页相轨迹
4、相轨迹二阶系统微分方程：二阶系统微分方程：两个独立变量：两个独立变量：位置量位置量速度量速度量构成相平面构成相平面 为相变量。给定初始条件为相变量。给定初始条件 相变量相变量 在相平面上的在相平面上的运动坐标轨迹称为运动坐标轨迹称为相轨迹相轨迹。6本讲稿第六页，共五十一页相平面相平面2.2.相平面相平面:平面称为平面称为相平面相平面。对于一个系统，初始条件。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到
5、一组相轨迹族。则可得到一组相轨迹族。7本讲稿第七页，共五十一页相平面图相平面图3.3.相平面图相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的的相平面图相平面图。它表示系统在各种初始条件下的。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。运动过程。8本讲稿第八页，共五十一页相轨迹的斜率方程相轨迹的斜率方程设二阶系统的方程为：设二阶系统的方程为：改写为：改写为：两边除以两边除以 可得：可得：-相轨迹的相轨迹的 斜率方程斜率方程9本讲稿第九页，共五十一页等倾线等倾线等倾线等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即即
6、 等倾线应满足方程：等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：则等倾线方程为：则等倾线方程为：10本讲稿第十页，共五十一页等倾线等倾线可见，等倾线为过原点、斜率为可见，等倾线为过原点、斜率为 的直线的直线。11本讲稿第十一页，共五十一页等倾线等倾线注意：两等倾线之间用其平注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。均值来表示相轨迹。若给定系统参数：若给定系统参数：=0.5,=1.取不同的取不同的 值，求得等倾线如值，求得等倾线如右图所示：右图所示：若给定初始条件为若给定初始条件为A,A,则可则可作出相轨迹为作出相轨迹为ABCDE.ABCDE.等倾线和等倾
7、线和相轨迹相轨迹=-=-1.41.4=-1.6=-1.6=-2=-2=-3=-3=1=1=2=2ABCDEx0=-1 1=0=0则等倾线为：则等倾线为：12本讲稿第十二页，共五十一页所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率13本讲稿第十三页，共五十一页普通点普通点 这样的点称为这样的点称为普通点普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）相轨迹曲线不会在普通点相交）由相轨迹的斜率方程由相轨迹的斜率方程 可知可知,相平面相平面上的点上的点 只要只要不同时不同时满足满足 ,则该点相轨则该点相轨迹的斜率是迹的斜
8、率是唯一唯一确定的。确定的。14本讲稿第十四页，共五十一页奇点奇点 若相平面中的某点，同时满足若相平面中的某点，同时满足 ,则该点则该点相轨迹的斜率相轨迹的斜率 ,为不定值，这类特殊点称为为不定值，这类特殊点称为奇点奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。15本讲稿第十五页，共五十一页相平面分析方法相平面分析方法 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，由于相平面图表示了系统在各种
9、初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3 3）稳态误差。）稳态误差。1 1）系统的稳定性；）系统的稳定性；2 2）瞬态响应性能；）瞬态响应性能；16本讲稿第十六页，共五十一页例题例题例例2-12-1.设系统的微分方程为：设系统的微分方程为：图中的箭头表示系图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移统的状态沿相轨迹的移动方向。动方向。其相平面图如右图其相平面图如右图所示所示相平面图相平面图1 1x0 pDABCE17本讲稿第十七页，共五十一页例题例题 （1）在各种初始条件下（）在各种初始条件下（任意一条相轨迹任意一条相
10、轨迹），），系统系统都趋向都趋向原点原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：由图可知：可将其状态转化为转化可将其状态转化为转化为时间响应曲线为时间响应曲线x(t)来验证如图所示来验证如图所示 （2）如果初始条件为：）如果初始条件为：x(0)=1，。则相应的相则相应的相轨迹为轨迹为ABCDE0。系统的瞬系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为大超调量为 p，稳态误差为，稳态误差为零。零。1 10 x(t)tABCDE 时间响应曲线时间响应曲线18本讲稿第十八页，共五十一页2.2 奇点与极限环奇点与极限环 由前
11、述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点以不同的斜率通过或逼近该点。所以奇点是所以奇点是平衡点平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。性问题。一、奇点一、奇点19本讲稿第十九页，共五十一页奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.1.趋向趋向于奇点
12、于奇点 2.2.远离远离奇点奇点 3.3.包围包围奇点奇点20本讲稿第二十页，共五十一页非线性系统奇点非线性系统奇点非线性系统的方程非线性系统的方程相平面上孤立奇点的位置可以从下列方程21本讲稿第二十一页，共五十一页非线性系统奇点非线性系统奇点在原点在原点处，处，展成台劳级数展成台劳级数22本讲稿第二十二页，共五十一页非线性系统奇点非线性系统奇点用矩阵表示用矩阵表示其中其中23本讲稿第二十三页，共五十一页非线性系统奇点非线性系统奇点采用变换采用变换b为为a的复模态矩阵，得到的复模态矩阵，得到24本讲稿第二十四页，共五十一页结点结点如果特征值如果特征值 1和和 2为两个不同的实根且同号，对应于此
13、种情为两个不同的实根且同号，对应于此种情况的奇点称为况的奇点称为结点结点。稳定结点25本讲稿第二十五页，共五十一页鞍点鞍点如果特征值如果特征值 1和和 2为两个不同的实根且异号，对应于此为两个不同的实根且异号，对应于此种情况的奇点称为种情况的奇点称为鞍点鞍点。26本讲稿第二十六页，共五十一页焦点焦点如果特征值如果特征值 1和和 2为共轭复数，对应于此种情况的奇点为共轭复数，对应于此种情况的奇点称为称为焦点焦点。稳定焦点27本讲稿第二十七页，共五十一页中心中心如果特征值如果特征值 1和和 2为共轭虚数，对应于此种情况的奇点称为共轭虚数，对应于此种情况的奇点称为为中心中心。中心28本讲稿第二十八页
14、，共五十一页极限环极限环 相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。孤立的封闭轨线称作极限环，极限环，振幅取决于系统参数。极限环稳定性的几何解释29本讲稿第二十九页，共五十一页稳定极限环稳定极限环特点特点:极限环内外的相轨迹都卷向极限环极限环内外的相轨迹都卷向极限环,自振荡自振荡 是稳定的是稳定的.环内环内:不稳定区域不稳定区域,相轨迹发散相轨迹发散环外环外:稳定区域稳定区域,相轨迹收敛相轨迹收敛稳定极限环稳定极限环0 x(t)t030本讲稿第三十页，共五十一页不稳定极限环不稳定极限环特点特点:极限环内外的相
15、轨迹都卷离极限环极限环内外的相轨迹都卷离极限环环内环内:稳定区域稳定区域,相轨迹收敛相轨迹收敛环外环外:不稳定区域不稳定区域,相轨迹发散相轨迹发散 这种系统是小范围稳定这种系统是小范围稳定,大范围不稳定大范围不稳定.设计时设计时应尽量增大稳定区域应尽量增大稳定区域(即增大极限环即增大极限环).).不稳定极限环不稳定极限环x(t)t0031本讲稿第三十一页，共五十一页半稳定的极限环半稳定的极限环环内环内,环外都不稳定环外都不稳定.具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的,系系统的状态最终是发散的。统的状态最终是发散的。a)半稳定的极限环半稳定的极限环0 x(t
16、)t032本讲稿第三十二页，共五十一页半稳定的极限环半稳定的极限环 环内环内,环外都是稳定的环外都是稳定的.具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的,系系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。.b)半稳定的极限环半稳定的极限环0 x(t)t033本讲稿第三十三页，共五十一页2.3 相平面分析相平面分析 对于非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：对于非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：（1 1）写出一阶微分方程；）写出一阶微分方程；（2 2）求出奇点位置；）求出奇点位置；（3 3）画出相轨迹。）画出相轨迹。34本讲稿第三十四
17、页，共五十一页单摆例题单摆例题例例2-2 2-2 无阻尼单摆的自由振荡无阻尼单摆的自由振荡摆锤质量为m 的单摆的运动方程为(1)(1)35本讲稿第三十五页，共五十一页单摆例题单摆例题令得(2)(2)36本讲稿第三十六页，共五十一页单摆例题单摆例题当当很小时，很小时，平衡点两个：（平衡点两个：（0 0，0 0）和（）和（，0 0）1.1.在（在（0 0，0 0）处）处37本讲稿第三十七页，共五十一页单摆例题单摆例题特征值为共轭虚根，奇点为中心特征值为共轭虚根，奇点为中心38本讲稿第三十八页，共五十一页单摆例题单摆例题2.2.在（在（，0 0）处）处39本讲稿第三十九页，共五十一页单摆例题单摆例题
18、特征值为实数且符号相反，奇点为鞍点特征值为实数且符号相反，奇点为鞍点40本讲稿第四十页，共五十一页单摆例题单摆例题由式由式(2)(2)中的两式相除并消去中的两式相除并消去t t ，则可得：，则可得：再将式再将式(5)(5)改写为改写为(3)(3)积分上式，可得：积分上式，可得：(4)(4)(5)(5)41本讲稿第四十一页，共五十一页单摆例题单摆例题式中式中h h是一个积分常数，它正比于系统的总能量，可由是一个积分常数，它正比于系统的总能量，可由初始条件来确定其值。初始条件来确定其值。(6)(6)42本讲稿第四十二页，共五十一页自激振动例题自激振动例题例例2-3 2-3 范得波（范得波（Van
19、der PolVan der Pol）方程）方程范得波方程存在着和起始条件无关的定常解，称为自激振动系统。43本讲稿第四十三页，共五十一页自激振动例题自激振动例题将它化为两个一阶方程将它化为两个一阶方程 上面两式相除，则得相迹的微分方程为上面两式相除，则得相迹的微分方程为 它有唯一的奇点它有唯一的奇点(0(0，0)0)。44本讲稿第四十四页，共五十一页自激振动例题自激振动例题其一次近似系统其一次近似系统显然有显然有45本讲稿第四十五页，共五十一页自激振动例题自激振动例题其特征值为其特征值为当当2 2时时,平衡点平衡点(0(0，0)0)为不稳定结点。为不稳定结点。46本讲稿第四十六页，共五十一页
20、自激振动例题自激振动例题 当当22时时,平衡点平衡点(0(0，0)0)为不稳定焦点。当为不稳定焦点。当=2=2时时,平衡点平衡点(0(0，0)0)为不稳定退化结点。为不稳定退化结点。由此可知，不论由此可知，不论为何值；平衡点为何值；平衡点(0(0，0)0)都是都是不稳定的，且相迹均以平衡点为渐近点，而相点沿不稳定的，且相迹均以平衡点为渐近点，而相点沿相迹的运动总是背离平衡点的。相迹的运动总是背离平衡点的。47本讲稿第四十七页，共五十一页自激振动例题自激振动例题给出任一初始条件,通过计算机数值求解,可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合曲线,这一条闭合曲线,称为极限环.极限环以外的相轨道向里盘旋,而极限环以内的相轨道则向外盘旋,都趋向极限环,说明不论初始情况如何,系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。48本讲稿第四十八页，共五十一页本章习题本章习题 【1 1】试确定系统】试确定系统的平衡点的平衡点,并指出其类型及其稳定性。并指出其类型及其稳定性。49本讲稿第四十九页，共五十一页本章习题本章习题 【2 2】试确定系统】试确定系统的平衡点的平衡点,并指出其类型及其稳定性。并指出其类型及其稳定性。50本讲稿第五十页，共五十一页51本讲稿第五十一页，共五十一页