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1、高一数学任意角本讲稿第一页，共三十四页初中角是如何定义的？初中角是如何定义的？定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角顶顶点点边边边边【回忆往事】【回忆往事】角的范围角的范围：00o o,360,360o o)本讲稿第二页，共三十四页生活中很多实例会不在该范围：生活中很多实例会不在该范围：想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围00,360,360)而且有方向，有而且有方向，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角
2、任意角，跳水运动员向内、向外转体两周半跳水运动员向内、向外转体两周半;经过经过1 1小时，秒针、分针各转了多少度小时，秒针、分针各转了多少度本讲稿第三页，共三十四页定义：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转旋转到另一个位置所成的图形叫做角到另一个位置所成的图形叫做角1 1、角的概念的推广、角的概念的推广旋转开始的射线旋转开始的射线OAOA叫做角叫做角的的始边始边旋转终止的射线旋转终止的射线OBOB叫做角叫做角的的终边终边射线的射线的端点端点O O叫做角叫做角的的顶点顶点怎么旋转？怎么旋转？本讲稿第四页，共三十四页 顺时针顺时针正角：按正角：按逆时针逆时针
3、方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：射线零角：射线不作不作旋转时形成的角旋转时形成的角任任意意角角记法：角记法：角 或或 可简记为可简记为 OABA顶顶点点始边始边 逆时针逆时针B 终边终边本讲稿第五页，共三十四页注意：注意：1 1：角的正负由：角的正负由旋转方向旋转方向决定决定2 2：角可以任意大小，绝对值大小由：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数旋转次数及及终边位置终边位置决定决定3 3：角的终边重合时角不一定相等：角的终边重合时角不一定相等本讲稿第六页，共三十四页思考下面的角度如何表示？思考下面的角度如何表示？（）你的手表慢
4、了分钟，想将它校准，（）你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？（）假如你的手表快了（）假如你的手表快了2.52.5小时，想将它校准，小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？-30900本讲稿第七页，共三十四页2 2、象限角象限角：1)1)角的顶点与坐标原点重合角的顶点与坐标原点重合2)2)始边与始边与X X的的非负非负半轴重合半轴重合终边终边落在落在第几象限第几象限就称角是就称角是第几象限角第几象限角坐标轴上的角坐标轴上的角：（：（轴线角轴线角）思考：思考：终边终边落在坐标轴上怎么办？落在坐标轴上怎么办？如果角的终边落在了坐标轴上，如果角的终边
5、落在了坐标轴上，这个角不属于任何象限。这个角不属于任何象限。例如：角的终边落在例如：角的终边落在X X轴或轴或Y Y轴上。轴上。本讲稿第八页，共三十四页练习：练习：1 1、锐角是第几象限的角？、锐角是第几象限的角？2 2、第一象限的角是否都是锐角？、第一象限的角是否都是锐角？举例说明举例说明3 3、小于、小于9090的角都是锐角吗？的角都是锐角吗？答答：锐角是第一象限的角。：锐角是第一象限的角。答答：第一象限的角并不都是锐角：第一象限的角并不都是锐角 370 370o o答答：小于：小于9090的角并不都是锐角，它也的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。有可能是零角或负角。00 9090的
6、角的角:0,900,90）本讲稿第九页，共三十四页xyo始边始边终边终边 终边终边 终边终边 终边终边 4、判断下列角所在的象限？判断下列角所在的象限？本讲稿第十页，共三十四页oxy在坐标轴上画出角在坐标轴上画出角-32-32o o,328,328o o,-392,-392o o并找出它们的共同点并找出它们的共同点?它们的终边都相同它们的终边都相同.3 3终边相同的角的表示终边相同的角的表示 探究（一）：探究（一）：与与终边终边(射线射线)相同的角都可以表示成集合：相同的角都可以表示成集合：|=K3600，K Z与与终边终边(直线直线)相同的角都可以表示成：相同的角都可以表示成：|=K1800
7、，K Z本讲稿第十一页，共三十四页xy o3003900-33003900=300+3600=300+1x3600-3300=300-3600=300-1x3600 300 =300+0 x3600与与30300 0终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为30300 0+K K3603600 0，KZ本讲稿第十二页，共三十四页终边在坐标轴上角的表示终边在坐标轴上角的表示xyo900+K36001800+K360000+K3600或或3600K36002700+K3600或或-90-900 0K K3603600 0本讲稿第十三页，共三十四页思考：思考：写出终边落在写出终边落在y y轴上
8、的角的集合轴上的角的集合。解：终边落在解：终边落在轴轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S1=|=900+K3600,KZZ =|=900+2K1800,KZ=|=900+1800 的的偶偶数倍数倍终边落在终边落在轴轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=|=2700+K3600,KZ=|=900+1800+2K1800,KZ=|=900+（2K+1）1800，KZ=|=900+1800 的的奇奇数倍数倍本讲稿第十四页，共三十四页S=S1S2所以终边落在所以终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为=|=90=900 0+180+1800 0 的的偶偶数倍数倍|=90=900 0+
9、180+1800 0 的的奇奇数倍数倍=|=90=900 0+180+1800 0 的整数倍的整数倍=|=900+K1800，KZZ变式练习：变式练习：写出终边落在写出终边落在 x x 轴上的角的集合轴上的角的集合本讲稿第十五页，共三十四页探究（二）：探究（二）：终边终边(射线射线)落在象限内表示成集合：落在象限内表示成集合：第一象限：第一象限：|k k3603600 0 90 900 0+k+k3603600 0，kZkZ第二象限：第二象限：|90900 0+k+k3603600 0 1801800 0+k+k3603600 0，kZkZ第三象限：第三象限：|1801800 0+k+k360
10、3600 0 270 2700 0+k+k3603600 0，kZkZ第四象限：第四象限：|2702700 0+k+k3603600 0 360 3600 0+k+k3603600 0，kZkZ本讲稿第十六页，共三十四页注意以下四点：注意以下四点：k kZZ；是任意角；是任意角；k k360360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k k3603603030,应应看成看成k k360360+(+(3030)；终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360360的整数倍的整
11、数倍.本讲稿第十七页，共三十四页方法介绍：方法介绍：已知已知的象限，求的象限，求n n象限象限step1step1：把各象限：把各象限n n等分等分step2step2：从：从x x轴正方向起逆时针依次轴正方向起逆时针依次 标上标上、step3step3：标号与：标号与的象限一致的的象限一致的 即为即为n n的象限的象限几几何何法法例：例：在第在第一一象限，象限，n=3n=3时时xyo3在第在第1、3、4象限象限本讲稿第十八页，共三十四页代代数数法法因为因为在第一象限在第一象限,即即k k3603600 0 90 900 0+k+k3603600 03在第在第1、2、3象限象限万万能能方方法法
12、本讲稿第十九页，共三十四页例例1 1、在、在0 0到到360360度范围内，找出与下列各角度范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角（1）-120（2）640（3）-950o12解解（1 1）-120=-360+240-120=-360+240所以与所以与-120-120角终边相同的角是角终边相同的角是240240角，角，它是第三象限角。它是第三象限角。例题选讲例题选讲本讲稿第二十页，共三十四页（2 2）640=360+280640=360+280所以与所以与640640角终边相同的角是角终边相同的角是280280角，它角，它是第四象限角
13、。是第四象限角。（3 3）-950-950o1212=-3360+129=-3360+129o o4848所以与所以与-950-950o1212角终边相同的角是角终边相同的角是129129o o48 48 角，它是第二象限角。角，它是第二象限角。本讲稿第二十一页，共三十四页例例2.2.写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S S，并把并把S S中在中在360360 720 720的角写出来：的角写出来：(1)60 (1)60；(2)(2)2121；(3)363(3)36314.14.解：解：(1)S=(1)S=|=k=k360360+60+60(kZ),(kZ),S
14、S中在中在360360720720间的角是间的角是 13601360+60+60=280280；0360 0360+60+60=60=60；1360 1360+60+60=420=420本讲稿第二十二页，共三十四页(2)S=(2)S=|=k=k3603602121(kZ)(kZ)S S中在中在360360720720间的角是间的角是 0360 03602121=2121；1360 13602121=339=339；2360 23602121=699=699(3)(3)|=k=k360360+363+3631414(kZ)(kZ)S S中在中在360360720720间的角是间的角是 23602
15、360+363+3631414=3563564646；13601360+363+3631414=3=31414；0360 0360+363+3631414=363=3631414本讲稿第二十三页，共三十四页例例3 3 写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分(含边界含边界)的角的集合的角的集合变式练习：把下图中终边落在阴影部分的角用变式练习：把下图中终边落在阴影部分的角用集合表示出来集合表示出来(包括边界包括边界)oxy本讲稿第二十四页，共三十四页小结：小结：1.1.任意角任意角 的概念的概念正角正角：射线按逆时针方向旋转形成的角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角负角：射线按顺时针方向旋转形成
16、的角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角零角：射线不作旋转形成的角：射线不作旋转形成的角1)1)置角的顶点于原点置角的顶点于原点2)2)始边重合于始边重合于X X轴的非负半轴轴的非负半轴2.2.象限角象限角终边落在第几象限就是第几象限角终边落在第几象限就是第几象限角3.3.终边与角相同的角终边与角相同的角 K3600，KZ4 4：判断一个角是第几象限角的方法：判断一个角是第几象限角的方法本讲稿第二十五页，共三十四页动手试一试动手试一试 1 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于锐角？小于9090的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间00,90,
17、90 内的角内的角是锐角吗？是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于于9090的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间区间00,90,90 内的角不是锐角内的角不是锐角 本讲稿第二十六页，共三十四页2 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x x轴的轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？角？(1)410(1)410，(2)(2)420420，(3)500(3)500，(4)(4)11
18、0110 答：答：(1)(1)第一象限角；第一象限角；(2)(2)第四象限角，第四象限角，(3)(3)第二象限角，第二象限角，(4)(4)第三象限角第三象限角.本讲稿第二十七页，共三十四页 3 3、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边 在（在（）A A x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B B y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C C x x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D D y y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4 4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A A|=k=k360360(kZ)(kZ)B B|=k=k180180(kZ)(
19、kZ)C C|=k=k9090(kZ)(kZ)D D|=k=k180180+90+90(kZ)(kZ)C本讲稿第二十八页，共三十四页5 5、已知角、已知角2 2的终边在的终边在x x轴的上方，那么轴的上方，那么是是()()A A 第一象限角第一象限角 B B 第一、二象限角第一、二象限角 C C 第一、三象限角第一、三象限角 D D 第一、四象限角第一、四象限角C6 6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180180是（是（）A A 第一象限角第一象限角 B B 第二象限角第二象限角 C C 第三象限角第三象限角 D D 第四象限角第四象限角C本讲稿第二十九页，共三十四页7 7、在直角坐标
20、系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，那终边互相垂直，那么么与与之间的关系是（之间的关系是（）A.A.=+90+90o o B B =9090o o C C =k k360360o o+90+90o o+,k kZ Z D D =k k360360o o9090o o+,k kZZD8 8、若、若9090 135135，则，则的范围是的范围是_，+的范围是的范围是_;_;(0,45)(180,270)本讲稿第三十页，共三十四页9 9、若、若的终边与的终边与6060角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在00,360,360 范围内，终边与角范围内，终边与角 的终边相同的终边相同的角为的
21、角为_;_;解：解：=k=k360360+60+60，k kZ.Z.所以所以 =k k120120+20+20，k kZ.Z.当当k k=0=0时，得角为时，得角为2020，当当k k=1=1时，得角为时，得角为140140，当当k k=2=2时，得角为时，得角为260260.本讲稿第三十一页，共三十四页作业作业1 1、下列命题正确的是、下列命题正确的是 （）A A、终边相同的角一定相等、终边相同的角一定相等B B、第一象限角都是锐角、第一象限角都是锐角C C、锐角都是第一象限角、锐角都是第一象限角D D、小于、小于9090的角都是锐角的角都是锐角2 2、A=A=小于小于9090的角，的角，B
22、=B=第一象限角，第一象限角，则则AB=AB=（）A A、锐角、锐角 B B、小于、小于9090的角的角C C、第一象限角、第一象限角D D、以上都不对、以上都不对CD本讲稿第三十二页，共三十四页3 3、已知角、已知角是第三象限角是第三象限角,则角则角-的终边在（的终边在（）A A、第一象限、第一象限 B B、第二象限、第二象限 C C、第三象限、第三象限 D D、第四象限、第四象限 4 4、已知角、已知角的终边在下图中阴影所表示的范的终边在下图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么围内（不包括边界），那么 xyOB本讲稿第三十三页，共三十四页5 5 若若 是第二象限的角，则是第二象限的角，则1801800 0-是（是（）A A 第一象限第一象限 B B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限 讨论：若讨论：若 是第二象限角时，则是第二象限角时，则2 2，分别分别是第几象限的角？是第几象限的角？A本讲稿第三十四页，共三十四页