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1、第2讲 空间几何体的表面积和体积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2rh(续表)4R22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：包括等面积法和等体积法.(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方
2、形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()AA.2B.C.2D.1解析：由已知得，圆柱的底面半径和高均为 1，其侧面积 S2112.2.若两个球的表面积之比为 14，则这两个球的体积之比为()CA.12B.14C.18D.116解析：因为球的表面积 S4R2，两个球的表面积之比为所以这两个球的体积之比为 18.球 O 的体积为 V2，则 的值是_.3.(2017 年江苏)如图 821，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2 的体积为 V1，V1V2图 8214.(2016 年新课标)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()AA.12B
3、.323C.8D.4考点 1 几何体的面积例 1：(1)(2017 年新课标)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_.答案：14(2)(2017 年广东揭阳一模)如图 822，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图 822答案：C(3)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.答案：12(4)(2015 年福建)某几何体的三视图如图 823，则该几何体的表面积等于()图 823解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，
4、且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰答案：B(5)(2017 年河北定州中学统测)如图 824 为某几何体的三)视图，则该几何体的外接球的表面积为(图 824解析：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3，其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球，所以外接球的表面积为 S4R227.故选 B.答案：B【规律方法】第(1)(3)小题是求实体的面积；第(2)(4)小题是只给出几何体的三视图，求该几何体的表面积，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.考点 2 几何体的体积
5、例 2：(1)(2017 年新课标)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.34C.2D.4答案：B(2)(2016 年山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三)视图如图 825.则该几何体的体积为(图 825答案：C(3)(2014 年新课标)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1 的体积为()A.3B.32C.1D.解析：如图 D52，显然 AD平面 BCC1B1，答案：C图 D52算.另外不要忘了锥体体积公式中的 .【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱
6、体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计考点 3 立体几何中的折叠与展开例 3：(2017 年新课标)如图 826，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥 当.ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_.图
7、 826图 D53【互动探究】1.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图 827)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm3.图 827解析：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，根据公式即可算出底面半径 r，则容积易得.难点突破组合体的相关运算例题：RtABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c(其中 c 为斜边)，分别以 a，b，c 边所在的直线为旋转轴，将ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1，V2，V3，则()答案：D【互动探究】2.如图 828(单位：cm)，则图中的阴影部分绕 AB 所在直线旋转
8、一周所形成的几何体的体积为_.图 828答案：1403 cm31.长方体的外接球：长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体2.(1)圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形.圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，关系式是 l2h2R2.(2)圆台的母线 l、高 h 和上、下底面圆的半径 r，R 组成直角梯形.圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l2h2(Rr)2.母线长为 l 时，扇环的圆心角3.球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做中 r 为截面圆半径，R 为球的半径，d 为球心 O 到截面圆的距离，即 O 到截面圆心 O1 的距离).4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r，r，rrl360.5.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.