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1、第2讲 空间几何体的表面积和体积,1.柱、锥、台和球的侧面积和体积,2rh,(续表),4R2,2.几何体的表面积,(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.,(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇,环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.,3.等积法的应用,(1)等积法：包括等面积法和等体积法.,(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通 过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高 或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回 避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计 算得到高的数值.,1.以边长为 1 的正方形
2、的一边所在直线为旋转轴，将该正,方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(,),A,A.2,B.,C.2,D.1,解析：由已知得，圆柱的底面半径和高均为 1，其侧面积 S 2112.,2.若两个球的表面积之比为 14，则这两个球的体积之比,为(,),C,A.12,B.14,C.18,D.116,解析：因为球的表面积 S4R2，两个球的表面积之比为 所以这两个球的体积之比为 18.,球 O 的体积为 V2，则 的值是_.,3.(2017 年江苏)如图 8-2-1，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该 球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2 的体积为 V1，,V1 V2,图 8-2-1,4.(2
3、016 年新课标)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球,面上，则该球的表面积为(,),A,A.12,B.,32 3,C.8,D.4,考点 1,几何体的面积,例 1：(1)(2017 年新课标)长方体的长、宽、高分别为 3,2, 1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_.,答案：14,(2)(2017 年广东揭阳一模)如图 8-2-2，网格纸上小正方形的 边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表,面积为(,),图 8-2-2,答案：C,(3)一个六棱锥的体积为,，其底面是边长为 2 的正六边,形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.,答案：12,(4)(2015
4、年福建)某几何体的三视图如图 8-2-3，则该几何体,的表面积等于(,),图 8-2-3,解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形， 高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰,答案：B,(5)(2017 年河北定州中学统测)如图 8-2-4 为某几何体的三,),视图，则该几何体的外接球的表面积为( 图 8-2-4,解析：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底,面的四棱锥，,其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3，,其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球， 所以外接球的表面积为 S4R227.故选 B. 答案：B,【规律方法】第(1)(3)小题是求实
5、体的面积；第(2)(4)小题 是只给出几何体的三视图，求该几何体的表面积，先要根据三 视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关 公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.,考点 2,几何体的体积,例 2：(1)(2017 年新课标)已知圆柱的高为 1，它的两个底 面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为,(,),A.,B.,3 4,C., 2,D., 4,答案：B,(2)(2016 年山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三,),视图如图 8-2-5.则该几何体的体积为( 图 8-2-5,答案：C,(3)(2014 年新课标)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长
6、为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为,(,),A.3,B.,3 2,C.1,D.,解析：如图 D52，显然 AD平面 BCC1B1，,答案：C,图 D52,算.另外不要忘了锥体体积公式中的 .,【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几 何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直 观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计,考点 3,立体几何中的折叠与展开,例 3：(2017 年新课标)如图 8-2-6，圆形纸片的圆心为 O， 半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 A
7、BC 的中心为 O.D，E， F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB ，使得 D，E，F 重合，得 到三棱锥 当.ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为_. 图 8-2-6,图 D53,【互动探究】 1.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆 心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图 8-2-7)，用这块 扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm3 .,图 8-2-7,解析：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，根据
8、公式即可 算出底面半径 r，则容积易得.,难点突破 组合体的相关运算 例题：RtABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c(其 中 c 为斜边)，分别以 a，b，c 边所在的直线为旋转轴，将ABC,旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1，V2，V3，则(,),答案：D,【互动探究】,2.如图 8-2-8(单位：cm)，则图中的阴影部分绕 AB 所在直,线旋转一周所形成的几何体的体积为_.,图 8-2-8,答案：,140 3, cm3,1.长方体的外接球：长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体,2.(1)圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形. 圆锥的计算一般归结为
9、解这个直角三角形，关系式是 l2h2 R2.,(2)圆台的母线 l、高 h 和上、下底面圆的半径 r，R 组成直 角梯形.圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，关系式是 l2 h2(Rr)2.,母线长为 l 时，扇环的圆心角,3.球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做 中 r 为截面圆半径，R 为球的半径，d 为球心 O 到截面圆的距 离，即 O 到截面圆心 O1 的距离). 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展 开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是 圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r，r，,rr l,360.,5.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题 时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间 的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点 为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接 于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等 于球的直径.,