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1、1.2函数及其表示函数及其表示1.2.1函数的概念函数的概念学习目标学习目标学习目标学习目标1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的语言来刻画函数2了解构成函数的要素了解构成函数的要素 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练1.2.1课前自主学案课前自主学案1初中学初中学习习的函数的定的函数的定义义一一般般地地，在在某某个个变变化化过过程程中中，有有两两个个变变量量x、y，如如果果给给定定一一个个x值值，相相应应的的就就确确定定了了一一个个y值
2、值，那那么么我我们们称称_是是_的的函函数数，其其中中x是是自自变变量量，y是因是因变变量量2初初中中学学习习的的正正比比例例函函数数表表达达式式为为ykx(k0)，反比例函数表达式反比例函数表达式为为y(k0)yx课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基温故夯基温故夯基1函数的概念函数的概念(1)设设A，B是是非非空空的的_，如如果果按按照照某某种种确确定定的的对对应应关关系系f，使使对对于于集集合合A中中的的任任意意一一个个数数x，在在集集合合B中中都都有有_的的数数f(x)和和它它对对应应，那那么么就就称称f：AB为为从从集集合合A到到集集合合B的的一一个个函函数数，记记作作_.(2)在
3、在函函数数yf(x)中中，x叫叫做做_，x的的取取值值范范围围A叫叫做做函函数数的的_，与与x值值相相对对应应的的y值值叫叫做做_，函函数数值值的的集集合合f(x)|xA叫叫做做函函数数的的_，显显然然值值域是集合域是集合B的子集的子集知新益能知新益能知新益能知新益能数集数集唯一确定唯一确定yf(x)，xA自自变变量量定定义义域域函数函数值值值值域域2函数的构成要素及函数相等函数的构成要素及函数相等(1)_、_和和_是是一一个个函函数的构成要素数的构成要素(2)由由于于值值域域是是由由_和和_决决定定的的，所所以以，如如果果两两个个函函数数的的_相相同同，并并且且_完全一致，就称完全一致，就称
4、这这两个函数相等两个函数相等3区区间间的分的分类类(1)满满足足不不等等式式axb的的实实数数x的的集集合合叫叫做做闭闭区区间间，表示表示为为_；定定义义域域对应对应关系关系值值域域定定义义域域对应对应关系关系定定义义域域对应对应关系关系a，b(2)满满足足不不等等式式axb的的实实数数x的的集集合合叫叫做做_，表示，表示为为_；(3)满满足足不不等等式式axb或或axb的的实实数数x的的集集合合叫叫做做半半开开半半闭闭区区间间，分分别别表表示示为为_其中其中实实数数a、b表示区表示区间间的两端点的两端点开区开区间间(a，b)a，b)，(a，b1A三三角角形形，Bx|x0，对对应应法法则则f：
5、对对A中中元元素素求求面面积积与与B中中元元素素对对应应这这个个对对应应是是A到到B的函数的函数吗吗？提示：提示：不是函数，集合不是函数，集合A不是数集不是数集2数集都能用区数集都能用区间间表示表示吗吗？提提示示：不不能能区区间间是是数数集集的的又又一一种种表表示示方方法法，但但并并不不是是所所有有数数集集都都能能用用区区间间表表示示，如如1,2,3,4，就不能用区就不能用区间间表示表示问题探究问题探究问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一判断对应关系是否为函数判断对应关系是否为函数f(x)是一个整体，表示一个函数，是一个整体，表示一个函数，f是对
6、自变量是对自变量x进进行操作的程序或方法，是连接行操作的程序或方法，是连接x与与y的纽带，按照的纽带，按照这一这一“程序程序”，从定义域集合，从定义域集合A中任取一个中任取一个x，可，可得到值域得到值域y|yf(x)且且xA中唯一的中唯一的y值与之对应值与之对应例例例例1 1下列下列对应对应是否是从是否是从A到到B的函数？的函数？AR，Bx|x0，f：AB，求，求绝对值绝对值；AZ，BN，f：AB，求平方；，求平方；AZ，BZ，f：AB，求算，求算术术平方根；平方根；AN，BR，f：AB，求平方根；，求平方根；A x|2x2，xR，B x|3x3，xR，f：AB，求立方，求立方【思思路路点点拨
7、拨】函函数数是是一一种种特特殊殊的的对对应应，要要检检验验给给定定两两个个变变量量之之间间是是否否具具有有函函数数关关系系，只只要要检验检验：(1)定定义义域和域和对应对应关系是否关系是否给给出；出；(2)根根据据给给出出的的对对应应关关系系，自自变变量量x在在其其定定义义域域中中的的每每一一个个值值，是是否否都都有有唯唯一一确确定定的的函函数数值值y与与之之对应对应【解解】只有只有是从是从A到到B的函数，的函数，都不是都不是对于对于，A中的元素中的元素0在在B中无元素和它对应，故中无元素和它对应，故不是函数不是函数对于对于，A中的负数没有算术平方根，故中的负数没有算术平方根，故B中无元中无元
8、素和它们对应素和它们对应对于对于，A中的每一个元素中的每一个元素(除除0外外)都有都有2个平方根，个平方根，所以所以B中有中有2个元素和它对应，故不是函数个元素和它对应，故不是函数对于对于，集合，集合A中的一些元素，如中的一些元素，如2，立方后不在，立方后不在集合集合B中，所以在中，所以在B中无元素和它对应中无元素和它对应【名师点拨名师点拨】函数的定义中函数的定义中“任一任一x”与与“有唯有唯一确定的一确定的y”说明函数中两变量说明函数中两变量x，y的对应关系是的对应关系是“一对一一对一”或者是或者是“多对一多对一”而不能是而不能是“一对多一对多”考点二考点二相等函数的判定相等函数的判定由两个
9、函数相等的定义可知：由两个函数相等的定义可知：(1)定义域不同，两个函数也就不同；定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)只有定义域，对应关系都相同，才是相等函数只有定义域，对应关系都相同，才是相等函数例例例例2 2【思思路路点点拨拨】分分别别判判断断每每对对函函数数的的定定义义域域及及对应对应法法则则是否相同是否相同【名名师师点点拨拨】从从函函数数的的表表达达式式中中分分析析出出对对应应法法则则和定和定义义域，从而判断域，从而判断互互动动探探究究1对对于于本本例例中中的的(2)，g(x)改改为为g(x)x22x1.解：都是
10、相等函数解：都是相等函数(2)定义域都为定义域都为R，解析式相同，故是相等函数，解析式相同，故是相等函数(3)两函数自变量所用字母虽然不同，但其定义域两函数自变量所用字母虽然不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数和对应关系一致，故是相等函数(4)g(x)就是就是f(x)的化简形式，是相等函数的化简形式，是相等函数求函数的定义域就是构造关于自变量求函数的定义域就是构造关于自变量x的不等式，的不等式，使使f(x)的每一个组成部分都有意义的每一个组成部分都有意义考点三考点三求函数的定义域求函数的定义域例例例例3 3【名名师师点点拨拨】求求函函数数的的定定义义域域往往往往需需要要将将问问题题转转
11、化化成成解解不不等等式式或或不不等等式式组组的的问问题题，最最后后再再将将它它们们正正确确合合并并，定定义义域域的的表表达达形形式式可可以以是是集集合形式，也可以用区合形式，也可以用区间间表示表示方法技巧方法技巧1判断两个函数判断两个函数f(x)和和g(x)是否是相等函数的步骤是否是相等函数的步骤是：是：(1)先求函数先求函数f(x)和和g(x)的定义域，如果定义域不的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；一步；(2)化简函数的解析式，如果化简后的函数解化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它
12、们不相等析式相同，那么它们相等，否则它们不相等(如例如例2)2函数定义域的求法函数定义域的求法(如例如例3)(1)如果如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集是整式，那么函数的定义域是实数集R；方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟(2)如果如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分是分式，那么函数的定义域是使分母不为母不为0的实数的集合；的实数的集合；(3)如果如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；的实数的集合；(4)如果如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况外，还要符合实际情况失误防范失误防范