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1、第三讲第三讲 解析函数的充要条件解析函数的充要条件初等函数初等函数&1.解析函数的充要条件解析函数的充要条件&2.举例举例2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内内处处可导，则函数处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断
2、函数在一个点处的可导性或如何判断函数在一个点处的可导性或 一个区域上的解析性呢？一个区域上的解析性呢？一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C.-R.方程方程).定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导（可微）的处可导（可微）的 充要充要条件是条件是 (1)u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，可微，(2)u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)满足满足C.-R.方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有
3、证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须方程满足上面已证！只须证证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y所以所以u(x,y)，v
4、(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内内解析的充解析的充 要条件是要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微，可微，且满足且满足C.-R.方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或
5、虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断哪些函数是不可导（不解利用该定理可以判断哪些函数是不可导（不解 析）的析）的.使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C.-R.条件条件.iii)求导数求导数：A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解
6、析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny仅在点仅在点z=0处满足处满足C.-R.条件，故条件，故解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C.-R.条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为例例3 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且
7、f (z)0，那么曲线族那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，解解i)均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线，由隐函数求导法则知曲线，中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由由C.-R.方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。利用利用C.-R.方程方程 则有则有即两族曲线正
8、交。即两族曲线正交。练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2&1.指数函数指数函数&2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&3.对数函数对数函数&4.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数内内 容容 简简 介介本节将实变函数的一些常用的初等函本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。等函数的性质，并说明它的解析性。一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：定义定义A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质
9、是实变指数函数所没有的。A 例例1例例2例例3练习题：练习题：二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质思考题思考题其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P63)这四个函数都在这四个函数都在z平面上使分母不为零的点处解析，且平面上使分母不为零的点处解析，且它们的周期同各自对应的实函数相同。它们的周期同各自对应的实函数相同。三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数函数的定义对数函数的定义故故特别特别A (2)对数函数的性质对数函数的性质例
10、例4（根据教材（根据教材P91第九题的定理可证得）。第九题的定理可证得）。四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 q 乘幂乘幂ab定义定义多值多值一般为多一般为多值值q支支(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。解解例例5q 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在在整个复平面上是单值解析函数整个复平面上是单值解析函数 除去除去b为正整数外，为多值函数，为正整数外，为多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。