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1、第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律5.5 对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律1第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点系的角动量定理一、质点系的角动量定理一、质点系的角动量定理一、质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理的微分形式：的微分形式：质点系的角动量的质点系的角动量的时间变化率时间变化率质点受外力矩质点受外力矩的矢量和的矢量和质点系的角动量定理质点系的角动量定理的积分形式：的积分形式：质点系所受质点系所受的冲量矩的冲量矩 质点系的角质点系的角动量增量动量
2、增量某给定参考点某给定参考点内力矩内力矩内力矩内力矩成对成对相消，矢量相消，矢量和为零。和为零。内内内内外外外外d2第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 若各质点的若各质点的速度或所受外力与参考点共面速度或所受外力与参考点共面，则其则其角动量或力矩角动量或力矩角动量或力矩角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。针为正向，用代数和代替矢量和。可得：可得：可得：可得：质点系的角动量守恒定律：质点系的角动量守恒定律：质点系的角动量守恒定律：质点系的角动量守恒定律：由由质点系的角动量定理质点系的角
3、动量定理的积分形式：的积分形式：若：若：则：则：或：或：当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。3第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律1 1、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量O(所有质元的动量矩之和所有质元的动量矩之和
4、)质点对点质点对点的的角动量：角动量：作圆周运动的质点作圆周运动的质点的的角动量：角动量：强调：强调：对于刚体的定轴转动，对于刚体的定轴转动，只能用角动量来描述，而不能只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。用动量来描述。4第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律2 2、刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理由转动定律：由转动定律：由转动定律：由转动定律：（角动量定理的积分形式）（角动量定理的积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增
5、量。其角动量的增量。（角动量定理的微分形式）（角动量定理的微分形式）5第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律非刚体非刚体非刚体非刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动的角动量定理：说明：说明：当当变形体变形体变形体变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元）绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量变形体对该轴的角动量为：为：刚体刚体刚体刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动的角动量定理：（J J 不变）不变）不变）不变）（J J 变）变）变）变）6第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5
6、角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。内力矩不改变系统的角动量。内力矩不改变系统的角动量。刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理三、刚体定轴转动的角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量当刚体受到的合外力矩为当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动量保持不变。时，其角动量保持不变。讨论讨论讨论讨论7第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律说明说明说明说明1
7、）刚体定轴转动的角动量守恒条件：）刚体定轴转动的角动量守恒条件：当合外力不为当合外力不为 0 时，时，合外力矩可以为合外力矩可以为 0。当合外力为当合外力为 0 时，时，合外力矩不一定为合外力矩不一定为 0；2）角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：若若 不变，不变，不变；不变；若若 变，变，也变，但也变，但 不变。不变。8第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律即刚体在受合外力矩为即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。保持静止，原来转动的将永远转动下去。定轴转动的刚体，定轴转动的刚体
8、，不变，不变，若若则则大小方向都不变。大小方向都不变。比如：比如：可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其转轴的方向始终不变。转轴的方向始终不变。角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：例如：例如：地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的方向与公转平面的垂线成方向与公转平面的垂线成 2327角。角。地球在轨道上不同位地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。置，形
9、成春、夏、秋、冬四季的变化。9第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 定轴转动的定轴转动的非非非非刚性物体刚性物体，转动惯量可变，转动惯量可变，转动惯量可变，转动惯量可变，如如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。角动量守恒，则有：角动量守恒，则有：10第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律定轴转动的定轴转动的非非非非刚性物体刚性物体，11第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律张臂张臂先使自己转动起来先使自己转动起来收臂收臂大小大小
10、12第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律3）物体系的角动量守恒）物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，各物体对同一个转若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为轴的角动量分别为 ，则则总角动量总角动量为：为：，比如：比如：当研究当研究质点与刚体的碰撞问题质点与刚体的碰撞问题质点与刚体的碰撞问题质点与刚体的碰撞问题时，可以把质时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以的合外力矩为零，所以系统的系统的角动量角动量角动量角动量守恒守恒。只要整个系统受到的合
11、外力矩为只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统，则系统的总角动量守恒，即：的总角动量守恒，即：恒量恒量13第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例如如：直直升升飞飞机机在在未未发发动动前前总总角角动动量量为为零零，发发动动以以后后旋旋翼翼在在水水平平面面内内高高速速旋旋转转必必然然引引起起机机身身的的反反向向旋旋转转。为为了了避避免免这这种种情情况况，人人们们在在机机尾尾上上安安装装一一个个在在竖竖直直平平面面旋旋转转的的尾尾翼翼，由由此此产产生生水水平平面面内内的的推推动力来阻碍机身的旋转运动。动力来阻碍机身的旋转运动。与与此此类类似似，
12、鱼鱼雷雷尾尾部部采采用用左左右右两两个个沿沿相相反反方方向向转转动动的的螺螺旋旋浆浆来来推推动动鱼鱼雷雷前前进进，也也是是为为了了避避免免鱼鱼雷雷前进中的自旋。前进中的自旋。安安装装在在轮轮船船、飞飞机机、导导弹弹或或宇宇宙宙飞飞船船上上的的回回转转仪仪（也也叫叫“陀陀螺螺”）的的导导航航作作用用，也也是是角角动动量量守守恒恒应用的最好例证。应用的最好例证。角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。14第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律万万向向支支架架基基 座座回转体回转体（转动惯量转动惯量 ）回转
13、体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴轴摩擦及空气阻力很小。摩擦及空气阻力很小。合外力矩为零，合外力矩为零，角动量守恒。角动量守恒。恒恒矢量矢量其中转动惯量其中转动惯量为常量。为常量。若将若将回转体转轴指向任一方向，回转体转轴指向任一方向，使使其以角速度其以角速度 高速旋转，高速旋转，则则转轴将保持该方向不变，转轴将保持该方向不变，而而不会受基座改向的影响。不会受基座改向的影响。回转仪定向原理回转仪定向原理15第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律直升飞机防止机身旋动的措施：直升飞机防止机身旋动的措施：用尾浆或用两个对转的顶浆用尾浆或用
14、两个对转的顶浆16第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律直升飞机防止机身旋动的措施直升飞机防止机身旋动的措施用用 两两 个个 对对 转转 的的 顶顶 浆浆（支奴（支奴干干 CH47)用用 尾尾 浆浆（美洲豹（美洲豹 SA300）（海豚海豚 ）装置尾浆推动大气产生装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消反向角动量而相互抵消17第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律18第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.
15、5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2 能量守恒定律能量守恒定律2 角动量守恒定律角动量守恒定律2 电荷守恒定律电荷守恒定律2 质量守恒定律质量守恒定律2 宇称守恒定律等宇称守恒定律等19第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 1 2例：例：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0，伸臂时，伸臂时臂长为臂长为 l1，收臂时臂长为，收臂时臂长为 l2。人站在人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为每只手抓有质量为 m的哑铃
16、。伸臂时的哑铃。伸臂时转动角速度为转动角速度为 1，求：求：收臂时的角速度收臂时的角速度 2。解：解：整个过程合外力矩为整个过程合外力矩为0，角动量守恒，角动量守恒，转动惯量减小，转动惯量减小，角速度增加。角速度增加。20第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律例：例：匀质圆盘（匀质圆盘（M、R）与人（）与人（m，视为质，视为质 点）一起以点）一起以角速度角速度 o 绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此当此人从人从盘的盘的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，求：求：圆盘的角速度是多少？圆盘的角速度是多少？解：解：系
17、统（圆盘系统（圆盘+人）什么量守恒？人）什么量守恒？o系统角动量守恒：系统角动量守恒：21第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律解：解：两飞轮通过摩擦达到两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒系统角动量守恒。共同角速度：共同角速度：例例：两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分角速度分别为别为 1、2，求：求：两飞轮啮合后共同的角速度两飞轮啮合后共同的角速度 。22第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律解：解：1）杆杆+子弹：
18、竖直位置，外力（轴子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的处的 力和重力）均不产生力矩，力和重力）均不产生力矩，解得：解得：例：例：长为长为l、质量为质量为M 的匀质杆，可绕水平光滑固定轴的匀质杆，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：求：1）子子弹射入后瞬间杆的角速度；弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度。故碰撞过程中故碰撞过程中角动量守恒：角动量守恒：m oOA 系统的动量守恒吗？系统的动量守恒吗？系统的动量守恒吗？
19、系统的动量守恒吗？23第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律2）杆在转动过程，机械能守恒：杆在转动过程，机械能守恒：由前：由前：转动动能转动动能零势面零势面m oOA 24第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律解：解：碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒:例：例：长为长为 2L、质量为质量为 m 的匀质细杆，静止在光的匀质细杆，静止在光滑的水平桌面上。滑的水平桌面上。两个质量、速率均为两个质量、速率均为 m 和和 的小球，的小球，在水平面内与杆的两端同时发生完全在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：求：两小球与两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？m m.O解得解得25