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1、第五章第五章角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 51 角动量与角动量守恒定律 52 刚体的定轴转动 5 53 3 刚体定轴转动中的功能关系刚体定轴转动中的功能关系第五章第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动角动量守恒与刚体的定轴转动 5 54 4 刚体进动刚体进动 5 55 5 对称性和守恒定律对称性和守恒定律教学基本要求教学基本要求 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量,并掌描写刚体定轴转动的物理量,并掌握角量与线量的关系握角量与线量的关系.二二 理解理解力矩和转动惯量概念,掌握刚体绕力矩和转动惯量概念,掌握刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理.三三 理解理解角动量概念
2、,掌握质点在平面内运角动量概念,掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题的简单系统的力学问题.四四 理解理解刚体定轴转动的转动动能概念,能刚体定轴转动的转动动能概念,能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律守恒定律 5 51 1 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 动量和位矢是描述物体运动状态的状态参量。动量和位矢是描述物体运动状态的状态
3、参量。但是,动量并不适合描述物体的转动。比如,绕轴但是,动量并不适合描述物体的转动。比如,绕轴转动转动的飞轮,在质心的飞轮,在质心系中,质心静止,飞轮系中,质心静止,飞轮总动量为零总动量为零。类似于描述转动运动时的引入的角量类似于描述转动运动时的引入的角量(角速度和角加速度角速度和角加速度),引入一个与动量对应的角量引入一个与动量对应的角量-角动量角动量,也称也称动量矩动量矩.1.质点的角动量(angular momentum)一般运动的描述转动的描述位矢角度速度角速度加速度角加速度动量角动量 5 51 1 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律角动量角动量(也称(也称动量矩动量矩)定义
4、)定义 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在在空间运动空间运动,某时刻相对原点某时刻相对原点 O 的位的位矢为矢为 ,质点相对于原点的角动量质点相对于原点的角动量定义为定义为:角动量角动量在动量的基础上考虑了角度的因素。在动量的基础上考虑了角度的因素。5 51 1 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律角动量角动量(也称(也称动量矩动量矩)方向与大小)方向与大小方向方向:的方向垂直于的方向垂直于 和和 所组成的平面所组成的平面,符合右手法符合右手法则则.z右手四个手指指向位矢的正方向沿右手四个手指指向位矢的正方向沿着小于着小于180度的方向转向动量的正度的方向转向动量的正方向。大拇
5、指的方向即为角动量的方向。大拇指的方向即为角动量的方向。方向。大小大小:单位单位:是从位矢转到动量且小于是从位矢转到动量且小于180度的角度的角量纲?量纲?(圆运动)(圆运动)说明a).并非质点作周期性曲线运动才有角动量.b).质点的角动量是相对于选定的参考点定义的.abco质点以动量质点以动量 p 在在沿直线运动,原沿直线运动,原点与直线的距离点与直线的距离是是dd是矢量是矢量,是状态量是状态量.它与参考系和它与参考系和参考点参考点都有关都有关.如图质点如图质点m以速率以速率v 做圆锥运动做圆锥运动,求对求对O 点和对点和对O点点的角动量的角动量.设摆长为设摆长为b.解解 如图对如图对O点点
6、 方向方向:向上向上,是常矢量是常矢量.对对O点点 方向方向:垂直摆线向外垂直摆线向外,方向始终在变方向始终在变,其端亦在其端亦在水平面内画一圆水平面内画一圆.不是常矢不是常矢.2.质点的角动量定理(牛顿第二定律):质点所受合力等于质点动量随时间的变化率。角动量随时间的变化?力的作用点相对于参考点的位矢与力的叉乘积定义为力对参考点的力矩,以M表示力矩参考点指向质点的位置矢量参考点指向质点的位置矢量.P*O力矩是一个矢量方向方向:右手四个手指指向位矢的右手四个手指指向位矢的正方向沿着小于正方向沿着小于180度的方向转向度的方向转向力的正方向。大拇指的方向即为力力的正方向。大拇指的方向即为力矩的方
7、向。矩的方向。大小大小:d参考点到力的作用线的垂直距离参考点到力的作用线的垂直距离.单位单位:Nm 量纲量纲:ML2T-2 角动量随时间的变化角动量随时间的变化 质点所受合外力对任一参考点的力矩等质点所受合外力对任一参考点的力矩等于质点对该点角动量随时间的变化率于质点对该点角动量随时间的变化率.这是质点角动量定理的微分形式这是质点角动量定理的微分形式冲量矩(或者角冲量)定义:冲量矩(或者角冲量)定义:力矩对时间的积分力矩对时间的积分冲量矩反应的是冲量矩反应的是力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应.这是质点角动量定理的积分形式这是质点角动量定理的积分形式质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量
8、质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量.牛顿定律牛顿定律质点角动量定理质点角动量定理导出导出惯性系惯性系适用适用3.质点的角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 质点所受质点所受合外力对某一固定点的力矩为合外力对某一固定点的力矩为零零,则质点则质点对该点的角动量对该点的角动量保持不变保持不变.b)合外力不为零,合外力是有心力.力矩为零的两种可能 a)合外力为零,质点不受外力作用.即力的作用线始终通过某一个固定点,这样的力成为有心力,这个即力的作用线始终通过某一个固定点,这样的力成为有心力,这个固定点称为力心。此时,力平行于位矢,两者夹角为固定点称为力心。此时,力平行于位矢,两者夹角为0,力矩为零,力
9、矩为零在有心力作用下,质点角动量守恒。比如,行星绕太阳的运动比如,行星绕太阳的运动分析:分析:卫星绕地球运行,所受力主要是地球引力,其他力忽略不计。万有卫星绕地球运行,所受力主要是地球引力,其他力忽略不计。万有引力是有心力,故卫星在运动过程中角动量守恒,建立如图坐标系,则:引力是有心力,故卫星在运动过程中角动量守恒,建立如图坐标系,则:卫星绕地球运行,近地点到地面距离是卫星绕地球运行,近地点到地面距离是l1=439km,远地点离地面距,远地点离地面距离是离是l2=2384km,若卫星在近地点速率为,若卫星在近地点速率为v1=8.1km/s,求卫星在远地,求卫星在远地点速率点速率v2O角动量守恒
10、:角动量守恒:O二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律定义定义:组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的组成质点系的各质点对给定参考点的角动量的矢量和矢量和.1.质点系的角动量2.质点系的角动量定理内力矩:系统内其他质点对质点i 的力矩对其求导,有:质点系角动量:对其中的一个质点i而言:外力矩:系统所受外力对质点i 的力矩2.质点系的角动量定理系统的内力矩:表示整个系统内各质点间相互作用对参考点的力矩的矢量和。对其中的一个质点i而言:对整个质点系而言:2.质点系的角动量定理内力的力矩内力的力矩 ijOd因质点因质点i与质点与质点 j 间的相互间的相互 作用力关系为作用力关系为且二力到参考点且二
11、力到参考点O的垂直距离相等,的垂直距离相等,故成对故成对出现的内力对出现的内力对O点的力矩矢量和为零点的力矩矢量和为零.即即 力矩的大小:力矩的大小:质点系的角动量随时间的变化率等于它所受到的质点系的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩合外力矩.这称之为质点系角动量定理的微分形式这称之为质点系角动量定理的微分形式 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理.力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理.作业:课后列一个表格,指出上述每个物理量作业:课后列一个表格,指出上述每个物理量(定律)的定义(或者方程)(定
12、律)的定义(或者方程)质点系所受到的合外力矩:质点系所受到的合外力矩:是每个合外力对同一个参考点的力矩的矢量和,即:是每个合外力对同一个参考点的力矩的矢量和,即:外力矢量和的力矩:外力矢量和的力矩:一般情况下,两者不相等,即一般情况下,两者不相等,即质点系角动量定理的积分形式质点系角动量定理的积分形式质点系获得的质点系获得的冲量矩冲量矩等于其角动量的增量等于其角动量的增量.左边:质点系获得的左边:质点系获得的冲量矩冲量矩右边:角动量的增量右边:角动量的增量3.质点系的角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 质点质点系系所受所受合外力矩为合外力矩为零零时时,其其角动量角动量在任意时刻在任意时刻都保持不变都
13、保持不变.即若外力对参考点的即若外力对参考点的力矩的矢量和(注意不是外力矩的矢量和(注意不是外力的矢量和)力的矢量和)始终为零,则质点系对该点的角动始终为零,则质点系对该点的角动量保持不变量保持不变.根据根据某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量保持不变。保持不变。角动量守恒条件是角动量守恒条件是合外力矩始终为零合外力矩始终为零,而非冲量矩为零,而非冲量矩为零(只要初末状态角动量相等)(只要初末状态角动量相等)注意注意 恒矢量恒矢量 以以O为参考点,球运动一周,始末状态角动量相为参考点,球运动一周,始末状态角动量相等,但是这个过程角
14、动量不守恒。等,但是这个过程角动量不守恒。系统动量守恒的条件与角动量守恒的条件系统动量守恒的条件与角动量守恒的条件注意注意 恒矢量恒矢量 系统所受合外力为系统所受合外力为0 0,动量守恒;,动量守恒;系统所受合外力矩为系统所受合外力矩为0 0,角动量守恒;,角动量守恒;系统系统动量守恒但角动量不一定守恒,反之亦然动量守恒但角动量不一定守恒,反之亦然 恒矢量恒矢量 随堂小议(1)(2)(3)(4)两人两人同时到达;同时到达;用力上爬者先到;用力上爬者先到;握绳不动者先到;握绳不动者先到;以上结果都不对。以上结果都不对。(请点击你要选择的项目)两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人
15、人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略2012-11-8小议链接1(请点击你要选择的项目)两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略(1)(2)(3)(4)两人两人同时到达;同时到达;用力上爬者先到;用力上爬者先到;握绳不动者先到;握绳不动者先到;以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接2(请点击你要选择的项目)两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮
16、绳摩擦又忽略(1)(2)(3)(4)两人两人同时到达;同时到达;用力上爬者先到;用力上爬者先到;握绳不动者先到;握绳不动者先到;以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接3(请点击你要选择的项目)两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略(1)(2)(3)(4)两人两人同时到达;同时到达;用力上爬者先到;用力上爬者先到;握绳不动者先到;握绳不动者先到;以上结果都不对。以上结果都不对。小议链接4(请点击你要选择的项目)两人两人质量相等质量相等一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬可能出现
17、的情况是可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略(1)(2)(3)(4)两人两人同时到达;同时到达;用力上爬者先到;用力上爬者先到;握绳不动者先到;握绳不动者先到;以上结果都不对。以上结果都不对。小议分析同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零,角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱,两人等速上升。若系统受合外力矩不为零,角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。T1T2m1gm2g分析:证明分析:证明运动过程中角动量守恒运动过程中角动量守恒,根据角动量守恒的条件,应该首先证根据角动量守恒的条件,应该首先证明质点在运动
18、过程中所受合外力矩为明质点在运动过程中所受合外力矩为零零.例例1 质量为质量为m的质点,在的质点,在 xy 平面内运动,平面内运动,质点的矢径为质点的矢径为 其中其中a,b,均均为为正常量,且正常量,且ab,证证明运明运动过动过程中程中角角动动量守恒求其大小及方向量守恒求其大小及方向.m证:先证明质点在运动过程中所受力矩为零先证明质点在运动过程中所受力矩为零.例例1 质量为质量为m的质点,在的质点,在 xy 平面内运动,平面内运动,质点的矢径为质点的矢径为 其中其中a,b,均均为为正常量,且正常量,且ab,证证明运明运动过动过程中程中角角动动量守恒求其大小及方向量守恒求其大小及方向.质点的角动
19、量守恒质点的角动量守恒.恒矢量恒矢量 m这个力是有心力.质点在运动过程中所受力矩为零质点在运动过程中所受力矩为零.质点的角动量守恒质点的角动量守恒.恒矢量恒矢量 按定义按定义,有有m角动量是常矢量,指向角动量是常矢量,指向z轴,大小为轴,大小为mabw例例2 在光滑的水平面上在光滑的水平面上,质量为质量为M的木的木块连在劲度系数为块连在劲度系数为k原长为原长为 的轻弹簧的轻弹簧上上,弹簧的另一端固定在平面上的弹簧的另一端固定在平面上的O点点.一质量为一质量为m的子弹的子弹,以水平速度以水平速度 (与与OA垂直垂直)射向木块射向木块,并停在其中并停在其中,然后然后一起由一起由A点沿曲线运动到点沿
20、曲线运动到B点点.已知已知OB=l,求物体在求物体在B点的速度的大小和点的速度的大小和 角的大小角的大小.分析:首先要对问题的物理过程有一个明确的认识ABmMMl0l过程一:过程一:m与与M碰撞,直到两者相对静止;碰撞,直到两者相对静止;过程二:过程二:m与与M从相对静止开始,一起运动到从相对静止开始,一起运动到B处处ABmMMl0l过程一:过程一:m与与M碰撞,直到两者相对静止;碰撞,直到两者相对静止;在这个过程中,时间很短,以在这个过程中,时间很短,以m与与M为一个系为一个系统,对于这个由统,对于这个由m与与M 组成的系统而言,合外组成的系统而言,合外力虽然不为零力虽然不为零,但是在这类碰
21、撞、打击、爆炸但是在这类碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中等相互作用时间极短的过程中,内力内力外力外力,则可略去外力则可略去外力,可以认为受到的合外力为零,可以认为受到的合外力为零,认为系统动量守恒认为系统动量守恒.ABmMMl0l过程二:过程二:m与与M从相对静止开始,一起运动到从相对静止开始,一起运动到B处处;在这个过程中,在这个过程中,m与与M 以及弹簧组成一个系统。由于重以及弹簧组成一个系统。由于重力和弹性力为保守力,所以体系只有保守内力做功。因力和弹性力为保守力,所以体系只有保守内力做功。因此机械能守恒。此机械能守恒。在整个物理过程在整个物理过程m与与M是在光滑的水平桌面上是
22、在光滑的水平桌面上ABmMMl0l在整个物理过程(一和二)中在整个物理过程(一和二)中m与与M是在光滑的水平桌面上,其受到弹簧的拉力,重是在光滑的水平桌面上,其受到弹簧的拉力,重力和支持力。拉力是有心力指向力和支持力。拉力是有心力指向O,重力和支持力垂直,重力和支持力垂直两者的位矢方向。所以,对两者的位矢方向。所以,对m和和M而言,而言,合外力矩为零,合外力矩为零,整个过程角动量守恒整个过程角动量守恒例例2 在光滑的水平面上在光滑的水平面上,质量为质量为M的木的木块连在劲度系数为块连在劲度系数为k原长为原长为 的轻弹簧的轻弹簧上上,弹簧的另一端固定在平面上的弹簧的另一端固定在平面上的O点点.一
23、质量为一质量为m的子弹的子弹,以水平速度以水平速度 (与与OA垂直垂直)射向木块射向木块,并停在其中并停在其中,然后然后一起由一起由A点沿曲线运动到点沿曲线运动到B点点.已知已知OB=l,求物体在求物体在B点的速度的大小和点的速度的大小和 角的大小角的大小.联立三式联立三式,可解得可解得:解:设子弹入射木块后的速度为设子弹入射木块后的速度为 .根据动量守恒根据动量守恒,机械能机械能守恒和角动量守恒守恒和角动量守恒,有有试问试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么为什么?5 52 2 刚体刚体的定轴的定轴转动转动一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量现只
24、考虑刚体绕固定轴转动的情况:现只考虑刚体绕固定轴转动的情况:刚体上各质点都在各自的转动平面刚体上各质点都在各自的转动平面上绕固定轴以相同的角速度上绕固定轴以相同的角速度w 转动。转动。1.定轴转动刚体的角动量 刚体刚体:在外力作用下,形状和大小都:在外力作用下,形状和大小都不发生变化的物体不发生变化的物体.(任意两质点间距离(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组);保持不变的特殊质点组);刚体可以看作质点系刚体可以看作质点系方向方向:沿轴方向沿轴方向,若在轴上选定正方向若在轴上选定正方向,则定轴转动刚体的则定轴转动刚体的角动量沿着该方向角动量沿着该方向.质量为质量为 的第的第 个质点到转个质点
25、到转轴的距离为轴的距离为 ,刚体以角速度刚体以角速度 绕绕定轴转动时定轴转动时,可得可得定轴转动定轴转动刚体的角动量刚体的角动量为为:据据2.转动惯量定轴转动定轴转动刚体的角动量刚体的角动量角角速度速度平动问题中的动量平动问题中的动量类似于平动中质量,质量又是惯性的量度,故定类似于平动中质量,质量又是惯性的量度,故定义一个新的重要物理量:转动惯量义一个新的重要物理量:转动惯量J转动惯量转动惯量:转动惯量等于各质量元的质量与其到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量等于各质量元的质量与其到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量的物理意义:转动惯量的物理意义:转动惯性的量度转动惯性的量度单位单位:转动惯量具有
26、可加性。即一个具有复杂形状的刚体,转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体,如果可以分割成若干个简单部分,则整个刚体对某一轴的如果可以分割成若干个简单部分,则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。定轴转动定轴转动刚体的角动量刚体的角动量转动惯量转动惯量:对于质量连续分布刚体的转动惯量,对于质量连续分布刚体的转动惯量,积分取代求和积分取代求和:质量元:质量元:质量元到转轴距离:质量元到转轴距离1)1D问题,对质量线分布的刚体问题,对质量线分布的刚体:质量线密度:质量线密度2)2D问题,对质量面分布的刚体问题,对质量面分布
27、的刚体:质量面密度:质量面密度3)3D问题,对质量体分布的刚体问题,对质量体分布的刚体:质量线密度:质量线密度例1 求质量为求质量为 ,半径为半径为 的均匀薄圆盘的均匀薄圆盘,对通过盘中心且与盘面垂直对通过盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量的轴的转动惯量.ORO分析:这样一类问题,首先要明确问题的分析:这样一类问题,首先要明确问题的维数。然后,采用对应的方程,通过微元维数。然后,采用对应的方程,通过微元的思想求解。的思想求解。该题是一个二维圆盘的转动惯量的求解该题是一个二维圆盘的转动惯量的求解:质量面密度:质量面密度2D问题,对质量面分布的刚体问题,对质量面分布的刚体:微元的转动惯量:微元的转动
28、惯量:例1 求质量为求质量为 ,半径为半径为 的均匀薄圆盘的均匀薄圆盘,对通过盘中心且与盘面垂直对通过盘中心且与盘面垂直的轴的转动惯量的轴的转动惯量.ORO 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ,在盘,在盘上取半径为上取半径为 ,宽为宽为 的圆环的圆环.dr圆环质量:圆环质量:dr圆环对轴的转动惯量:圆环对轴的转动惯量:dr圆环面积:圆环面积:分析:这样一类问题,首先要明确问题的维数。然后,采用分析:这样一类问题,首先要明确问题的维数。然后,采用对应的方程,通过微元的思想求解对应的方程,通过微元的思想求解 O例例2 2 一一质量为质量为 ,长为长为 的的均匀细杆的转动惯量均匀细杆的转动惯量.(
29、1)转轴垂转轴垂直于杆并通过杆的中点直于杆并通过杆的中点;(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端转轴垂直于杆并通过杆的一端.O1D问题,对质量线分布的刚体问题,对质量线分布的刚体:是质量线密度是质量线密度微元的转动惯量:微元的转动惯量:解解 在杆上任取一长度元在杆上任取一长度元 ,该线元的质量为该线元的质量为 O例例2 2 一一质量为质量为 ,长为长为 的的均匀细杆的转动惯量均匀细杆的转动惯量.(1)转轴垂转轴垂直于杆并通过杆的中点直于杆并通过杆的中点;(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端转轴垂直于杆并通过杆的一端.O转轴过端点转轴过端点:故对中心转轴故对中心转轴:对于质量连续分布刚体的转动惯量,对于质
30、量连续分布刚体的转动惯量,积分取代求和积分取代求和:质量元:质量元:质量元到转轴距离:质量元到转轴距离1)1D问题,对质量线分布的刚体问题,对质量线分布的刚体:质量线密度:质量线密度2)2D问题,对质量面分布的刚体问题,对质量面分布的刚体:质量面密度:质量面密度3)3D问题,对质量体分布的刚体问题,对质量体分布的刚体:质量线密度:质量线密度*平行轴定理平行轴定理该题说明该题说明转动惯量取决于转动惯量取决于刚体的质量刚体的质量,形状形状及及转轴的位置转轴的位置.质量为质量为 的刚体的刚体,如果对其质如果对其质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ,则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行,相距为相距为
31、的转轴的转动的转轴的转动惯量惯量:CO例例2 2第二问结果可改写为第二问结果可改写为几何形状不规则的刚体的转动惯量几何形状不规则的刚体的转动惯量,由实验测定由实验测定.求:钟摆绕求:钟摆绕o轴转动惯量轴转动惯量.例:例:已知杆长为已知杆长为 质量为质量为 ,圆盘半径为,圆盘半径为 质量为质量为 .钟摆绕钟摆绕o轴转动轴转动转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体,如果可以分割成若干转动惯量具有可加性。即一个具有复杂形状的刚体,如果可以分割成若干个简单部分,则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴个简单部分,则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。转动惯
32、量之和。解解:钟摆绕钟摆绕o轴转动惯量轴转动惯量Jo等于杆绕等于杆绕o的转动惯量加上盘绕的转动惯量加上盘绕o的转动惯量的转动惯量 圆环转轴通过中心圆环转轴通过中心与盘面垂直与盘面垂直r圆环转轴沿直径圆环转轴沿直径r*常见刚体转动惯量常见刚体转动惯量薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴rlr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴lr 圆柱体转轴通过中圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直心与几何轴垂直l 细棒转轴通细棒转轴通过中心与棒垂直过中心与棒垂直l 细棒转轴通过端细棒转轴通过端点与棒垂直点与棒垂直2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径2r球壳转轴
33、沿直径球壳转轴沿直径质点系的角动量定理:质点系的角动量随时间的变化率质点系的角动量定理:质点系的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩。等于它所受到的合外力矩。二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角动量定理刚体刚体的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩的角动量随时间的变化率等于它所受到的合外力矩.刚体定轴转动角动量定理的微分形式刚体定轴转动角动量定理的微分形式刚体可以看作质点系:刚体可以看作质点系:刚体定轴转动角动量定理的积分形式刚体定轴转动角动量定理的积分形式 刚体刚体角动量的增量等于刚体受到的冲量矩角动量的增量等于刚体受到的冲量矩.根据根据定轴转动定轴转
34、动刚体的角动量刚体的角动量转动惯量转动惯量:2.角动量守恒定律 恒矢量恒矢量 刚体刚体所受所受合外力矩为合外力矩为零零时时,其其角动量角动量守恒守恒.角动量守恒实例角动量守恒实例茹科夫斯基转椅 分析分析:首先明确物理过程首先明确物理过程这个问题有两个物理过程。一个是子弹这个问题有两个物理过程。一个是子弹射击棒,在合格过程中,棒给子弹以阻射击棒,在合格过程中,棒给子弹以阻力,从而改变子弹的速度即动量,可以力,从而改变子弹的速度即动量,可以通过动量定理分析;一个过程是,棒在通过动量定理分析;一个过程是,棒在子弹的反作用下,开始绕子弹的反作用下,开始绕o o点转动,可以点转动,可以通过角动量定理分析
35、。通过角动量定理分析。例例例例 一一质量为质量为M,长度为长度为l的均匀细棒的均匀细棒,可绕过其顶端的水平可绕过其顶端的水平轴轴O自由转动自由转动,质量为质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入静止的细射入静止的细棒下端棒下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒所获得的角速求子弹穿出后棒所获得的角速度度.解法一解法一:用动量定理和角动量定理求解用动量定理和角动量定理求解.设棒对子弹的阻力为设棒对子弹的阻力为f ,对子弹使用则由动量定理对子弹使用则由动量定理,子弹对棒的冲击力为子弹对棒的冲击力为f ,则由角动量定理则由角动量定理,而而得得:则则解法二解法二:用角动量守恒定律
36、求解用角动量守恒定律求解.以细棒和子弹为一个系统,在打击的过程中,弹与棒的以细棒和子弹为一个系统,在打击的过程中,弹与棒的作用力为内力,而作用力为内力,而o o点对轴的作用以及重力在子弹接触棒点对轴的作用以及重力在子弹接触棒和离开棒瞬间这个过程中,由于位矢与力的方向一致,和离开棒瞬间这个过程中,由于位矢与力的方向一致,故都不产生力矩,所以系统所受合力矩为零故都不产生力矩,所以系统所受合力矩为零,角动量守恒角动量守恒.由此解得由此解得:三、刚体定轴转动定律(law of rotation)刚体在作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比,刚体在作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的
37、合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比与刚体的转动惯量成反比。这就是刚体定轴转动。这就是刚体定轴转动定律定律注意注意 刚体定轴转动中得刚体定轴转动中得转动定律转动定律与牛顿定律在质点直线与牛顿定律在质点直线运动中得地位相当运动中得地位相当.定轴转动刚体的转动惯量是一定轴转动刚体的转动惯量是一个为常量,与时间无关个为常量,与时间无关 例例 质量为质量为m,长为长为l 的均质细杆的均质细杆,可绕水平的光滑轴在竖可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动直平面内转动,转轴在杆的转轴在杆的A 端端.若若使棒从静止开始由水平使棒从静止开始由水平位置下摆位置下摆,求:杆摆至铅直位置时的角速度和角加速度求:杆摆至铅直位置时的角速度和角加速度.解:考虑摆动到如图位置解:考虑摆动到如图位置,力力N 对轴无力矩对轴无力矩,重力的力矩为重力的力矩为:OAcmgN根据转动定律根据转动定律,有有:分离变量分离变量,求积分可得求积分可得:解之得解之得:将将代入代入,得得因为在铅直位置因为在铅直位置,