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1、1勾股定理及逆定理的综合应用勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理逆定理逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中abc222abc为斜边。c逆定理说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们22ab2c相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若时，以，为三abc222abcabc边的三角形是钝角三角形；若时，以，为三边的三角形是锐角三角形。222abcabc二、实际应用定理中的注意问题二、实际应用定理中的注意问题
2、1. 定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形abc222abc三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是abc222acbabc为斜边；b2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的几种典型应用三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。例题例题 1 1 如图，ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且 AD=8.5，则 BC 的长为（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 解
3、解析析：延长 AD 至 E 使 ED=AD，利用好“AD 是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出 BD 的长度了，再根据 BC=2BD，所以 BC 的长也就求出了。2答答案案：解：延长 AD 至 E，使 DE=AD；连接 B E，AD=8.5，AE=28.5=17，在ADC 和EDB 中，ADDEADCEDB BDCD，ADCEDB（SAS），BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，ABE=90，在 RtBED 中，BD 是中线，BD=AE=8.5，BC=2BD=28.5=1
4、7。故选 C。21例题例题 2 2 勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC=90，AB=2，AC=3，则 D，E，F，G，H，I 都在长方形 KLMJ 的边上，则长方形 KLMJ 的面积为（ ）A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 解解析析：延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，可得四边形 AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形 KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公
5、式列式计算即可得解。答答案案：解：如图，延长 AB交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，所以，四边形 AOLP 是正方形，边长 AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形 KLMJ 的面积为78=56。故选 D。 3利用勾股定理计算角度利用勾股定理计算角度例题例题 如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置。若 AE=1，BE=2，CE=3，则BEC= 度。解解析析：首先根据旋转的性质得出EBE=90，BE=BE=2，AE=EC=1，进而根据勾股定理的逆定理求出EEC
6、 是直角三角形，进而得出答案。答案答案：解：连接 EE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到CBE的位置，AE=1，BE=2，CE=3，EBE=90，BE=BE=2 ，AE=EC=1，EE=2，BEE=45，2EE2+EC2=8+1=9，EC2=9，EE2+EC2=EC2，EEC 是直角三角形，EEC=90，BEC=135。故答案为：135。开放性试题开放性试题开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优
7、点。可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。例题例题 如图，已知一个边长分别为 6、8、10 的直角三角形，请设计出一个有一条边长为 8 的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。请给出 4 种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。解解析析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用4图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。答案：答案：解：4 种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：图 1：拼成的等腰三角形的周长为 10+6+4+=20+4；2248 5图 2：拼成的等腰三角形的周长为 10+10+12=32；图 3：根据图示知，64+x2=（x+6）2，
8、解得，x=，37拼成的等腰三角形的周长为 2（+6）+10=26；37 32图 4：拼成的等腰三角形的周长为 10+10+8+8=36。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1. 有下面的判断：若ABC 中，a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形。ABC 是直角三角形，C=90，则 a2+b2=c2。若ABC 中，a2b2=c2，则ABC 是直角三角形。若ABC 是直角三角形，则（a+b）（ab）=c2。以上判断正确的有（ ）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个2. 若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（
9、）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定*3. 已知正实数 a、b、c 满足=k，以 2k，2k+1，2k1 为三边的bca cba acb三角形面积是（ ）A. 12 B. 6 C. D. 3512*4. 如图，以ABC 的每一条边为边作三个正三角形ABD、BCE 和ACF。已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则FCE=（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160 *5. 如图，已知正方形 ABED 与正方形 BCFE，现从 A，B，C，D，E，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这
10、样的直角三角形共有（ ）A. 10 个B. 12 个C. 14 个D. 16 个二、填空题5*6. 如图，RtABC 中，C=90 度。将ABC 沿折痕 BE 对折，C 点恰好与 AB 的中点 D 重合，若 BE=4，则 AC 的长为 。*7. 如图，在 45 的方格中，A、B 为两个格点，再选一个格点 C，使ACB 为直角，则满足条件的点 C 个数为 个。*8. 如图，在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于 M，若CM=5，则 CE2+CF2= 。三、解答题9. 阅读以下解题过程：已知 a，b，c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试
11、判断ABC 的形状。错解：a2c2b2c2=a4b4，c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2），c2=a2+b2 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号 。（2）错误的原因是 。（3）本题正确的结论是 。*10. 如图，点 D 是ABC 内一点，把ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5。（1）判断DEC 的形状，并说明理由；（2）求ADB 的度数。*11. 如图，四边形 ABCD 中，AD=DC，ABC=30，ADC=60。试探索以 AB、BC、BD6为边，能否组成直角三角形，并说明理由。*12. 已知：ABC 的周长是 4
12、+2，AB=4，AC=+。662（1）判断ABC 的形状；（2）若 CD 是 AB 上的中线，DEAB，ACB 的平分线交 DE 于 E，交 AB 于 F，连接BE。求证：DC=DE，并求DBE 的面积。71. C 解析：c 不一定是斜边，故错误；正确；正确；若ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b）（ab）c2，故错误。共 2 个正确。故选 C。2. C 解析：ABC 是直角三角形。理由是：a2+b2+c2=10a+24b+26c338，（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，a5=0，b12=0，c13=0，即 a=5，b=12，c=13。52+122=132，ABC 是直角三
13、角形。故选 C。3. B 解析：，c（b+c）=a（a+b），b（a+b）=c（a+c），bca cba acb化简后得：（ca）（a+b+c）=0，（cb）（a+b+c）=0，a+b+c0，a=b=c，k=2，以 2k，2k+1，2k1 为三边分别为4，5，3；32+42=52，三角形为直角三角形，直角边的长分别为 3，4，根据直角三角形的面积公式，S=34=6。故选 B。214. C 解析：由题意，得 SACF+SBCE=SABD，即AC2+BC2AB2。从而43 43 43AC2+BC2=AB2。所以ACB=90，FCE=360（90+60+60）=150。故选 C。5. C 解析：可得
14、到 14 个直角三角形，分别为ABE、ADE、ABD、BED、BCE、CFE、BCF、BEF、ACF、ADF、ACD、CDF、AEC、DBF。故选 C。6. 6 解析：根据题意，得 DE 垂直平分 AB，则 AE=BE，得A=ABE。根据折叠，得ABE=CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余得A=ABE=CBE=30CE=BE 21=2，则 AC=4+2=6。7. 6 解析：如图，根据勾股定理知 AB2=12+32=10。12+32=10，（）2+（2）222=10，（）2+（）2=10，符合条件的 点 C 有 6 个。558. 100 解析：CE 平分ACB，CF 平分ACD，ACE=ACB
15、，ACF=ACD，21 21即ECF=（ACB+ACD）=90，又EFBC，CE 平分ACB，CF 平分21ACD，ECB=MEC=ECM，DCF=CFM=MCF，CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知 CE2+CF2=EF2=100。9. 解：（1）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2）应有 c2（a2b2）（a2b2）8（a2+b2）=0 得到（a2b2）c2（a2+b2）=0，（a2b2）=0 或c2（a2+b2）=0，即a=b 或 a2+b2=c2，根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，知三角形为等腰三角形或直角三角形。故填。（2）不能确定 a2b2是否为 0。（3）
16、ABC 为等腰三角形或直角三角形。10. 解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又因为DBE=ABC=60，所以ABC 和DBE 均为等边三角形，于是 DE=BD=3，EC=AD=4，又因为 CD=5，所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC 为直角三角形。（2）因为DEC 为直角三角形，所以DEC=90，又因为BDE 为等边三角形，所以BED=60，故BEC=90+60=150，即ADB=150。11. 解：以 AB、BC、BD 为边，能够组成直角三角形。理由如下：以 BC 为边作等边BCE，连接 AE、AC。如下图所示。ABC=30，CBE=60，ABE=9
17、0，AB2+BE2=AE2，AD=DC，ADC=60，ADC 是等边三角形，在DCB 和ACE 中，DC=AC，DCB=DCA+ACB=ECB+ACB =ACE，又BC=CE，DCBACE，BD=AE，BC=BE，由式，可得 BD2=AB2+BC2。以AB、BC、BD 为边，能够组成直角三角形。12. （1）解：ABC 是直角三角形。ABC 的周长是4+2，AB=4，AC=+，BC=（4+2）4（+）=，（66266262+）2+（）242，AC2+BC2=AB2，ABC 是直角三角形；（2）证明：6262过点 C 作 CMAB 交 AB 于 M，DEAB，CMDE，DEF=MCF，又AD=CD，A=ACD，BCM=A，ACD=BCM，CE 平分ACB，ACE=BCE，DCF=MCF，DCF=DEF，DC=DE=AB=2，DBE 的21面积=222=2。