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1、二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入3.53.5、两个随机变量的函数的分布、两个随机变量的函数的分布3.5.13.5.1、二维离散型随机变量函数的分布律、二维离散型随机变量函数的分布律 例例1概率概率解解等价于等价于概率概率结论结论例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解可得可得所以所以例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独
2、立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为于是于是解解解：依题意解：依题意 例例4 若若 和和 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明=+服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.则则i=0,1,2,j=0,1,2,即即 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.称泊松称泊松分布是一个可加性分布分布是一个可加性分布.r=0,1，3.5.23.5.2、二维连续型随机变量函数的分布、二维连续型随机变量函数的分布 1.Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为以上两个公式称为以上两
3、个公式称为卷积公式卷积公式例例5 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.得得一般地，有如下定理一般地，有如下定理 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例6 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的
4、概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式也即也即为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是同理可得同理可得故有故有当当 X,Y 独立时独立时,由此可得分布密度为由此可得分布密度为解解由由公式公式例例7得所求得所求密度函数密度函数得得3.极值分布极值分布则有则有故有故有推广推广若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量,X的的分布密度为分布密度为f(x),则则M与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同
5、分布相互独立同分布,令令 则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为四、小结四、小结1.离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布若随机变量（若随机变量（X,Y)X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,yf(x,y)，则则 (4)Z=XY的概率密度为（5 5）Z=Z=kx+Y,(kkx+Y,(k0)0)的概率密度为的概率密度为（6 6）Z=XYZ=XY的概率密度为的概率密度为例例1 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立,且其分布密且其分布密度分别为度分别为其它其它.其它其它.求随机变量求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度的分布密度.由于由于 X 与与Y 相互独立相互独立,所以所以(X,Y)的分布的分布密度函数为密度函数为解解备份题备份题随机变量随机变量 Z 的分布函数为的分布函数为所以随机变量所以随机变量 Z 的分布密度为的分布密度为解解例例2解解例例3此时此时例例9解解例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为于是于是解解2.连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布方法方法2注意条件注意条件.方法方法1