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1、 例例1 赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续的刻度，范围为的刻度，范围为01,。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在刻度上。这样，产生的实验结果是刻度上。这样，产生的实验结果是0,1之间的一个数，是指针之间的一个数，是指针所指向的位置的刻度。所指向的位置的刻度。因此样本空间为因此样本空间为=0,1。如果随机变量如果随机变量X表示指针所指向的刻度，则表示指针所指向的刻度，则X是一个连续型的是一个连续型的随机变量，取值随机变量，取值0,1,且每一个且每一个x，事件，事件X=x概率均为概率均为0。一般
2、的，连续型随机变量一般的，连续型随机变量X X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间,每一个取值对应的概率均为每一个取值对应的概率均为0.0.因此，连续型随机变量不能象离散型随机变量那样因此，连续型随机变量不能象离散型随机变量那样,用分布列用分布列的方法，对它的每个值指定概率的方式的方法，对它的每个值指定概率的方式,给出其概率分布给出其概率分布.为此，我们考虑一个包含为此，我们考虑一个包含x的一个邻域：的一个邻域：1、连续随机变量和概率密度函数、连续随机变量和概率密度函数若对若对考虑区间考虑区间(x,x+)上的概率：上的概率：如果存在极限如果存在极限则近似的有：则近似的有：于是对于于
3、是对于取取称为随机变量称为随机变量X X的的“概率密度函数概率密度函数”1导数的定义：导数的定义：3定积分：分割、近似、定积分：分割、近似、求和、取极限求和、取极限2不定积分：不定积分：为为的原函数的原函数的所有原函数的所有原函数称为称为的不定积分记为：的不定积分记为：如果如果则则4牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式对于随机变量对于随机变量X如果存在一个非负可积的函数如果存在一个非负可积的函数 f(x),x R，使得对，使得对任一区间任一区间a,b都有都有则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称f(x)为为X的概率分布密度函数，简称的概率分布密度函数，简称密度，简记为密度，简记为X
4、f(x)，x R2、概率密度函数的定义：、概率密度函数的定义：样本空间样本空间abx对于单点集对于单点集a，有：，有：所以：所以：所以概率密度函数的性质：所以概率密度函数的性质：故密度函数故密度函数f(x)也可以理解为：也可以理解为：X落入落入x附近的单位长度的概率。附近的单位长度的概率。对于很小的对于很小的，我们有：，我们有：由于由于f(x)是概率律，不是某一事件的概率，故是概率律，不是某一事件的概率，故f(x)可以大于可以大于1.密度函数必须是非负的，且必须满足归一性条件：密度函数必须是非负的，且必须满足归一性条件：连续型随机变量的概率密度未必是连续函数。连续型随机变量的概率密度未必是连续
5、函数。例例(连续的均匀随机变量连续的均匀随机变量)赌客在赌场转动幸运轮，幸运轮上具赌客在赌场转动幸运轮，幸运轮上具有连续的刻度，从有连续的刻度，从0到到1.每次轮子停止转动时，指针会指向轮子每次轮子停止转动时，指针会指向轮子的一个数。假定指针指向幸运轮上任意两个长度相同的区间的概的一个数。假定指针指向幸运轮上任意两个长度相同的区间的概率相等，试将这样的的随机试验用一个随机变量率相等，试将这样的的随机试验用一个随机变量X来刻画。来刻画。X的密度函数为：的密度函数为：应用归一化条件：应用归一化条件：故故c=1.更一般的有：更一般的有：取值于区间取值于区间a,b上的随机变量，如果上的随机变量，如果X
6、取值于取值于a,b的任意的任意两个长度相同的子区间的概率是相同的，称这种随机变量为两个长度相同的子区间的概率是相同的，称这种随机变量为具具有均匀分布的随机变量。有均匀分布的随机变量。密度函数为：密度函数为：1 1、均匀分布、均匀分布若随机变量若随机变量X X的密度函数为的密度函数为则称则称X X服从在服从在aa，bb上的均匀分布上的均匀分布显然，显然，且且若若则则在数值计算中，由于四舍五在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后第一位小数引起的入，小数点后第一位小数引起的误差服从误差服从-0.5,0.5-0.5,0.5上均匀分布；在上均匀分布；在a,ba,b上随机的掷质点，上随机的掷质点，X X表
7、示质点坐标，表示质点坐标，X X服从服从a,ba,b上均匀分布上均匀分布P53P53例例1010f(x)=则称则称X为指数随机变量。其中为指数随机变量。其中是分布的参数，是分布的参数，02、指数分布、指数分布 若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为其中：其中：较小较小较大较大 指数随机变量具有广泛的用处。例如：一台仪器的使用寿命，指数随机变量具有广泛的用处。例如：一台仪器的使用寿命，一辆汽车出一次车祸所用时间等等。指数随机变量与离散的几何一辆汽车出一次车祸所用时间等等。指数随机变量与离散的几何随机变量十分相似。随机变量十分相似。无后效性无后效性例（教材例（教材P54P54）已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X有概率密度有概率密度求（求（1 1）常数）常数A A（2 2）解（解（1 1）（2 2）例（教材例（教材P55P55）已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X有概率密度有概率密度且且P(1X3)=0.25P(1X1.5)a,b,P(X1.5)解解附：定积分方法附：定积分方法1、直接用牛顿莱布尼兹公式、直接用牛顿莱布尼兹公式是常数是常数);2、凑微分法、凑微分法其中其中例：例：3、第二类还原积分法、第二类还原积分法其中其中例例 求求当当x=0时，时，t=0；当；当x=8时，时，t=2，例例 求求解解 原式原式4、分部积分法、分部积分法