连续型随机变量 .ppt

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1、连续型随机变量 现在学习的是第1页，共70页3.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件X x的概率PX x称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P X x.易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).现在学习的是第2页，共70页二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性：单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一归一 性：性：对任意实数x，0F(x)1，且 3、左连续性：对任意实数左连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必

2、是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。现在学习的是第3页，共70页一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 例 设随机变量X具分布律如右表解解X012P0.1 0.6 0.3试求出X的分布函数。现在学习的是第4页，共70页例例 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1现在学习的是第5页，共70页3.2 3.2 连续型随机变量连续型随机变量一、一、概率密度概率密度 1.定义定义

3、对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)现在学习的是第6页，共70页密度函数的几何意义为现在学习的是第7页，共70页2.密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；例 设随机变量X的概率密度为求常数a.答:现在学习的是第8页，共70页(3)若x是f(x)的连续点，则例例 设随机变量X的分布函数为求f(x)现在学习的是第9页，共70页（4 4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=

4、b0。于是现在学习的是第10页，共70页二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数c,d(acd0的指数分布。其分布函数为现在学习的是第13页，共70页正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3 3.正态分布正态分布正态分布正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？现在学习的是第14页，共70页其中 为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可

5、表为XN(,2).若随机变量现在学习的是第15页，共70页(1)单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正态分布有两个特性：现在学习的是第16页，共70页(2)的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯(Gauss)分布现在学习的是第17页，共70页4.标准正态分布 参数 0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。现在学习的是第18页，共70页分布函数表示为其密度函数表示为现在学习的是第19页，共70页一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若ZN（0，1）,（

6、0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则现在学习的是第20页，共70页例例 设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?例例 设 X X N(N(,2 2),),求 PP-3-3 XX3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.现在学习的是第21页，共70页3.3多维随机变量及其分布l二维随机变量二维随机变量l联合密度联合密度l边际密度边际密度l相互独立的随机变量相互独立的随机变量现在学习的是第22页，

7、共70页设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F()表表示随机点示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：现在学习的是第23页，共70页对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),则 Px1X x2，y1yy2 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)现在学习的是第24页，共70页分布函数F(x,y)具有如

8、下性质：且(1)归一性归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,现在学习的是第25页，共70页 (2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续右连续 对任意xR,yR,现在学习的是第26页，共70页(4)矩形不等式矩形不等式 对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。现在学习的是第27页，共7

9、0页例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY现在学习的是第31页，共70页 3.两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X,Y)在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布。服从均匀分布。易见，若（易见，若（X，Y）在区域）在区域D上上(内内)服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有，有现在学习的是第32页，共70页其中，其中，1、2为实数，为实数，10、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2

10、,1,2,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为(P101)现在学习的是第33页，共70页分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，的分布函数，或随机变量或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。的联合分布函数。定义定义 n n维随机变量维随机变

11、量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体现在学习的是第34页，共70页定义定义 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的有限上的有限或可列无穷多个点，称或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维离散型的，维离散型的，称称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.

12、xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的概率密度。的概率密度。现在学习的是第35页，共70页FY(y)F(+,y)PYy 称为二维称为二维随机变量随机变量(X,Y)关于关于Y的边际分布函数的边际分布函数.边际分布与独立性边际分布与独立性 边际分布函数边际分布函数FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二

13、维随机变量(X,Y)关于关于X的边际分布函数；的边际分布函数；边际分布实际上是高维随机变量的某个边际分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。现在学习的是第36页，共70页边际密度函数边际密度函数为为(X,Y)关于关于Y的边际密度函数。的边际密度函数。设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称则称为为(X,Y)关于关于X的边际密度函数；的边际密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)的边际密度函数的边际密度函数fX(x)是是N(1,12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N(2,22)的密度函数，故的密度函数，故二维二维正态分布的边

14、际分布也是正态分布。正态分布的边际分布也是正态分布。现在学习的是第37页，共70页随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性定定义义 称称随随机机变变量量X X与与Y Y独独立立，如如果果对对任任意意实实数数ab,cdab,cd，有，有 paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即即事事件件aXaX bb与与事事件件cYcY dd独独立立，则则称称随随机机变变量量X X与与Y Y独立。独立。定理定理 随机变量随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y)现在学习的是第38页，共70页定定理理 设设(X,Y

15、)(X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，X X与与Y Y独独立立的的充充分分必要条件是必要条件是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定定理理 设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，其其分分布布律律为为P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi,i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.，则则X X与与Y Y独独立立的的充充分分必必要要条条件是对任意件是对任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i.P P j j。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X

16、与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边际分布，的独立性，只需求出它们各自的边际分布，再看是否对再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值点的每一对可能取值点,边缘分边缘分布的乘积都等于联合分布即可布的乘积都等于联合分布即可现在学习的是第39页，共70页定义定义.设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,.xn),(X1,X2,.Xn)的的k（1 kn)维边际维边际分布函数就随之确定，如关于分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的）的边际分布函数是边际分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,.)若若Xk 的边际分布函数为的边际

17、分布函数为FXk(xk),k=1,2,n,n n维随机变量的边际分布与独立性维随机变量的边际分布与独立性 则称则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立的。是独立的。现在学习的是第40页，共70页对于离散型随机变量的情形，若对任意整数对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,in及实数及实数 有有则称离散型随机变量则称离散型随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立。设设X1，X2，Xn为为n 个连续型随机变量，若对任意个连续型随机变量，若对任意的的(x1,x2,xn)Rn，f(x1,x2,xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立

18、，则称几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。相互独立。现在学习的是第41页，共70页定义定义 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为的分布函数为FX(x1,x2,.,xn)；m维随机变量维随机变量(Y1,Y2,Ym)的的分布函数为分布函数为FY(y1,y2,ym),X1,X2,.,Xn,Y1,Y2,Ym组成的组成的n+m维随机变量（维随机变量（X1,X2,.,Xn,Y1,Y2,Ym)的分布函数为的分布函数为F（x1,x2,.,xn,y1,y2,ym).如果如果F（x1,x2,.xn,y1,y2,ym).=FX(x1,x2,.xn)FY(y1,y2,ym)则称则称n

19、维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)与与m维随机维随机变量变量(Y1,Y2,Ym)独立。独立。现在学习的是第42页，共70页定理定理 设(X1,X2,Xn)与(Y1,Y2,，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,n)与Yi(i=1,2,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,X2,Xn)与g(Y1,Y2,，Ym)相互独立.现在学习的是第43页，共70页多个随机变量函数的密度函数多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法 若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求

20、出Y的密度函数:现在学习的是第44页，共70页2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 现在学习的是第45页，共70页例 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则现在学习的是第46页，共70页 (2)商的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(

21、x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。现在学习的是第47页，共70页 3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N的分布函数分别为：FM(z)F1(z)Fn(z)现在学习的是第48页，共70页 特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(

22、z)n1f(z).现在学习的是第49页，共70页 3.4 3.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法 若Xf(x),-Xf(x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”现在学习的是第50页，共70页2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.现在学

23、习的是第51页，共70页3.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随随机机变变量量的的协协方方差差和和相相关关系系数数现在学习的是第52页，共70页定义定义 若若Xf(x),-x,为为X的的数学期望数学期望.则称则称一一.数学期望的定义数学期望的定义数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征现在学习的是第53页，共70页例例 若随机变量若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函服从拉普拉斯分布，其密度函 数为数为试求试求E(X).解解现在学习的是第54页，共70页二二.几个重要几个重要r.v.的期望的期望1.均匀分布均匀分布U(a,

24、b)现在学习的是第55页，共70页2.2.指数分布指数分布现在学习的是第56页，共70页3.正态分布正态分布N(,2)现在学习的是第57页，共70页 定理定理 若若 XPX=xk=pk,k=1,2,则则Y=g(X)的期的期望望E(g(X)为为 推论推论:若若(X,Y)(X,Y)PX=xPX=xi i,Y=y,Y=yj,j,=p=pij ij,i,j=1,2,i,j=1,2,则则Z=gZ=g(X(X，Y)Y)的期望的期望三三.随机变量函数的期望随机变量函数的期望现在学习的是第58页，共70页定理定理 若Xf(x),-x,则Y=g(X)的期望推论推论 若若(X,Y)f(x,y),-x,-y0,DY0，则称为X与Y的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且现在学习的是第64页，共70页2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;例例 设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0y0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 现在学习的是第69页，共70页若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时，.类似定义，当 时现在学习的是第70页，共70页